兩類平圖對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù)

周 靚 蘋

(漳州城市職業(yè)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理系，福建 漳州 363000)

兩類平圖對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù)

周 靚 蘋

(漳州城市職業(yè)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理系，福建 漳州 363000)

在紐結(jié)理論中，符號平圖與鏈環(huán)投影圖之間有著一一對應(yīng)關(guān)系，圖的對應(yīng)的鏈環(huán)投影圖的分支數(shù)與符號平圖的符號無關(guān)，確定平圖的對應(yīng)的鏈環(huán)投影圖的分支數(shù)是用平圖研究鏈環(huán)的基本問題之一.給出并證明 8.8.6格圖和 Aztec diamond圖對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù).

8.8.6格圖；Aztec diamond圖；鏈環(huán)；分支數(shù)；R-變換

0 引言

如果一個圖能畫在平面上使得它的邊僅在端點(diǎn)相交，則稱這個圖為平面圖.平面圖的平面嵌入稱為平圖.一個符號平圖指每條邊都標(biāo)有±號的平圖.

在紐結(jié)理論中，鏈環(huán)分支數(shù)是鏈環(huán)的一個不變量，符號平圖與鏈環(huán)投影圖之間有著一一對應(yīng)關(guān)系，圖的對應(yīng)的鏈環(huán)投影圖的分支數(shù)與符號平圖的符號無關(guān).這就提供了用平圖研究鏈環(huán)的一種方法，在20世紀(jì)80年代末，這種對應(yīng)就被用于紐結(jié)理論的Jones多項(xiàng)式[1]和圖論的Tutte多項(xiàng)式[2]之間的聯(lián)系.

本文運(yùn)用無符號平圖的Reidemeister變換(以下簡記為R-變換)給出并證明8.8.6格圖和Aztec diamond圖對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù).

本文約定，G指符號平圖，D(G)是圖G對應(yīng)的鏈環(huán)投影圖，p(G)，q(G)和k(G)分別是圖G的頂點(diǎn)數(shù)，邊數(shù)和連通分支數(shù).μ(D(G))是圖G對應(yīng)的鏈環(huán)投影圖的分支數(shù)(也即圖G對應(yīng)的鏈環(huán)的分支數(shù)).則μ(D(G))與圖G的符號無關(guān)，μ(D(G))也可看作是圖G的中間圖M(G)直走路數(shù)目.

下面是有關(guān)μ(D(G))的兩個已知結(jié)論：

1）設(shè)G是一個平圖，T(x,y)是G的Tutte多項(xiàng)式.則T(?1,?1 )=(? 1)q(G)(? 2)μ(D(G))?k(G).G是連通平圖且

GG τ(G) =TG(1,1)是G的生成樹數(shù)目，則μ(D(G))＝1當(dāng)且僅當(dāng)τ(G)是奇數(shù).

2）G是無環(huán)平圖，L(G)是G的拉普拉斯矩陣，則μ(D(G))等于L(G)的余秩.

從上述結(jié)論可知這樣一個事實(shí)，由一個平圖得到的鏈環(huán)的分支數(shù)不依賴于平面圖的平面嵌入方式.

在紐結(jié)理論中，鏈環(huán)在三類 R-變換下不改變其分支數(shù)，而這三類變換正對應(yīng)著符號平圖的三類 R-變換，從而，這三類符號平圖的 R-變換不改變平圖的對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù)，且它對應(yīng)著無符號平圖的 R-變換.所以，可以用無符號平圖的R-變換確定圖的對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù).

1 無符號平圖的R-變換

無符號平圖的R-變換(如圖1):

圖1 平圖的R-變換示意圖

下面是有關(guān)無符號平圖的R-變換的已知結(jié)論[3]:

引理1設(shè)G是平圖.

下面給出無符號平圖R-變換的等價類的定義.給定兩個無符號圖G和H，如果G能由R-變換及它的逆變換變換為H的同構(gòu)圖，則稱G和H是 Reidemeister等價的.記為G~RH.由引理 1知平圖的 R-變換不改變平圖的對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù)，故若G~RH，則μ(D(G))＝μ(D(H)).

無符號平圖的 R-變換 I(a),I(b),II(a),II(b)和III分別對應(yīng)于對應(yīng)的鏈環(huán)投影圖所對應(yīng)的無符號平圖的Reidemeister的3種變換類型.根據(jù)Reidemeister定理和這樣一個事實(shí):任何鏈環(huán)投影圖都能通過改變其交叉點(diǎn)的上下交叉關(guān)系使它變?yōu)槠椒叉湱h(huán)的投影圖，可得到下面定理.

定理1G是一個平圖，則μ(D(G))＝k當(dāng)且僅當(dāng)G能通過有限次無符號平圖的R-變換變?yōu)榭請DOk.

證明從上述結(jié)論，充分性顯然.下面證必要性，適當(dāng)?shù)亟o圖G標(biāo)定符號，使D(G)是某個平凡鏈環(huán)的投影圖.由Reidemeister定理，D(G)能變換為平凡鏈環(huán)的標(biāo)準(zhǔn)形式US，即通過有限次R-變換使它在平面上是一些不交圈的并.因平凡鏈環(huán)的標(biāo)準(zhǔn)形式US對應(yīng)于空圖Eμ(D(G)).因此，平圖G可通過有限次無符號圖的 R-變換，變換為空圖Eμ(D(G)).定理得證.

2 8.8.6格圖對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù)

定義1由四邊形、六邊形及八邊形按如圖2的方式疊加構(gòu)成的平圖稱為8.8.6格圖，記為Gm×n.

定理2設(shè)m,n是兩個正整數(shù)，則μ(D(Gm×n))=2 +(m? 1)gcd(2,n)，其中g(shù)cd(2,n)為2和n的最大公約數(shù).

證因Gm×n可由 R-變換變?yōu)閙?1個不交的方格圖和 2條不交的路Pn，如圖3所示.又有μ(D(Pn))=1，μ(D(L2×n)) = gcd(2,n)，由定理1知，μ(D(Gm×n))=2μ(D(Pn)) + (m? 1)μ(D(L2×n))=2+(m? 1)gcd(2,n)，從而定理得證.

定義 2由 8.8.4格圖增添加邊(ai,bi)所得的平圖稱為循環(huán)邊的 8.8.6格圖，記為GmP×n.

圖2 8.8.6格圖

定理3設(shè)m,n是兩個正整數(shù)，則

1) 當(dāng)n是奇數(shù)時，=2 +(m? 1)gcd(4,n);

2) 當(dāng)n是偶數(shù)時，=4 +(m? 1)gcd(4,n).

圖3 證明定理2示意圖

圖4 證明定理3示意圖

3 Aztec diamond圖對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù)

定義3n階Aztec diamond圖是指一個關(guān)于第n行對稱的，由2n?1行若干正方形的疊加所得，且第i行有2i?1個正方形(1≤i≤n)的平圖，記為An[5].

圖5分別是兩個Aztec diamond圖A2和A3.

定理4設(shè)n是一個正整數(shù)，則μ(D(An))=2n.

證 因An可由R-變換變?yōu)閚個不交的4?圈C4，如圖6所示，又μ(D(C4)) =2，由定理1知，μ(D(An)) =n×μ(D(C4))= 2n，從而定理得證.

例如A3對應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù)為6，如圖7所示.

圖5 Aztec diamond圖

圖7 A3所對應(yīng)的中間圖直走路數(shù)目是6

[1] JONES V F R. A polynomial invariant for knots via von Neumann algbras[J]. Bull.Amer.Math.Soc., 1985(12):103-111.

參考文獻(xiàn)：

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[4] JIN Xian-an.Determining the component number of links corresponding to lattices[J]. Journal of Knot Theory and its Ramifications, 2009(12):1711-1726.

[5] ALFRED W. Covering the Aztec Diamond with One-sided Tetrasticks[EB/OL]. [2010-05-19]. http://did.mat.uni-bayreuth.de/ wassermann/tetrastick.pdf.

The Component Number of the Corresponding Link Diagram about Two Kinds of Plane Graphs

ZHOU Jing-ping
(Department of Economic Management, Zhangzhou City Vocational College, Zhangzhou, Fujian 363000, China)

In knot theory, there is a one-to-one correspondence between signed plane graphs and link diagrams via the medial construction. The component number of the corresponding link diagram is independent of the signs of the plane graph. Determining the component number of the corresponding link diagram may be one of the basic problems in studying links by using graphs. The paper gives and proves the component number of the corresponding link diagram about the 8.8.6-lattice graphs and the Aztec diamond-graphs.

8.8.6- lattice graphs; Aztec diamond-graphs; link; component number; Reidemeister move

O189.24

A

1673-2065(2011)04-0026-04

2010-05-19

周靚蘋(1966-),女,福建漳州人,漳州城市職業(yè)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理系副教授.

(責(zé)任編校：李建明英文校對：李玉玲)