“自然坐標(biāo)系”下的角動(dòng)量定理及其應(yīng)用

吳義炳 劉銀春

（福建農(nóng)林大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，福建 福州 350002）

“自然坐標(biāo)系”下的角動(dòng)量定理及其應(yīng)用

吳義炳 劉銀春

（福建農(nóng)林大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，福建 福州 350002）

闡述在剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中，引入“自然坐標(biāo)系”來(lái)分析，往往可以使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單，物理意義變得更加清晰，并且通過(guò)具體實(shí)例加以驗(yàn)證，最后通過(guò)對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的分析，把剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理與定點(diǎn)的角動(dòng)量定理統(tǒng)一起來(lái).

自然坐標(biāo)；角動(dòng)量定理；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

引言

一般情況下，為了能夠定量地描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)常引用笛卡兒坐標(biāo)系；但同時(shí)也發(fā)現(xiàn)有些問(wèn)題，尤其是對(duì)那些運(yùn)動(dòng)軌跡已知的問(wèn)題的處理，引用自然坐標(biāo)系可以使問(wèn)題更簡(jiǎn)單，物理意義更加明了.如：在質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，引入自然坐標(biāo)系后，速度就只有切向分量；加速度可以分解成為切向分量at與法向分量an；合外力也可分解為切向力Ft與法向力Fn，由此容易理解切向分量Ft是引起速度大小發(fā)生變化的原因，而法向分量Fn是引起速度的方向發(fā)生改變的原因等.類似，也可把自然坐標(biāo)引入到剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情形，從而也會(huì)使某些定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

1 角動(dòng)量定理在“自然坐標(biāo)系”中的表達(dá)式

在力學(xué)中描述剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通常是通過(guò)建立特殊的隨體參考系（即慣量主軸坐標(biāo)系），然后應(yīng)用剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉動(dòng)力學(xué)方程來(lái)求解，其表達(dá)式如下

這是一組非線性常系數(shù)微分方程，一般情況下要求解出這個(gè)方程組相當(dāng)困難，且它也只在特殊的條件下才存在解析解.但是在有些情況，若引入“自然坐標(biāo)系”，卻有可能使剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，物理過(guò)程更加清晰，物理意義更加明確.

這里的“自然坐標(biāo)”是通過(guò)以下方式建立起來(lái)的，如圖1所示，O為固定點(diǎn)，角動(dòng)量與外力矩都是相對(duì)O點(diǎn)而言，首先把角動(dòng)量的方向作為“切向”坐標(biāo)（說(shuō)明：在定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體的角動(dòng)量方向一般是難以確定的，但在一些存在一定規(guī)律性的轉(zhuǎn)動(dòng)中是可以確定的，如我們下面要討論的幾個(gè)例題），那么角動(dòng)量矢量可表述成L＝Let形式，式中的et為“切向”的單位矢量，則角動(dòng)量定理可寫成如下形式

圖1

式中的Mt和Mn分別為合外力矩在“切向”與“法向”的分量的大小，式（3）為剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理在“自然坐標(biāo)系”中的表達(dá)式，從中可以清楚看到：“切向”力矩Mt即是改變角動(dòng)量大小的原因，也能反映出角動(dòng)量大小變化的快慢；而“法向”力矩Mn是引起角動(dòng)量L方向變化的原因.又因?yàn)棣亍浞从沉私莿?dòng)量方向變化的快慢，由可知，ω′與“法向”力矩Mn成正比，與角動(dòng)量的大小L成反比，也就是說(shuō)外力矩改變角動(dòng)量方向的難易程度是與角動(dòng)量本身的大小相關(guān).因此，引入“自然坐標(biāo)系”后，按“切向”與“法向”分解后，可以使剛體的角動(dòng)量定理物理意義變得更加清晰.另外，利用“自然坐標(biāo)”下的角動(dòng)量定理，也往往會(huì)使一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.如：當(dāng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀況較復(fù)雜時(shí)，可以利用式（3）通過(guò)外力矩來(lái)間接分析角動(dòng)量變化規(guī)律；反之，當(dāng)外力矩不易求解時(shí)，也可以利用式（3）由角動(dòng)量的變化規(guī)律來(lái)確定外力矩.下面通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)分析.

2 “自然坐標(biāo)系”下的角動(dòng)量定理的應(yīng)用舉例

例一已知一長(zhǎng)為l均勻細(xì)桿可以繞其上的距端點(diǎn)為的O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，用一根細(xì)線系著桿的另一端，并將線固定到O的豎直上方的A點(diǎn)，如果剛體繞OA軸以角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2所示，求細(xì)線相對(duì)于O點(diǎn)的拉力矩.

分析這是一個(gè)已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，求其所受外力矩的問(wèn)題.以下分析中的角動(dòng)量與力矩都是相對(duì)O點(diǎn)而言，細(xì)桿繞OA軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的定義式容易求出整個(gè)剛體的角動(dòng)量方向?yàn)榇怪庇诩?xì)桿斜向上.在理想狀況下，外力矩只有兩個(gè)，即重力矩與細(xì)線的拉力矩.在圖2的位置時(shí)，由M＝r×F可知，重力矩的方向垂直于角動(dòng)量L與OA軸組成的平面，指向里；細(xì)線的拉力矩垂直于角動(dòng)量L與OA軸組成的平面，指向外.其實(shí)在整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，重力矩與拉力矩兩者方向始終相反且都垂直于角動(dòng)量L，所以合外力矩只有垂直于角動(dòng)量的分量，即“自然坐標(biāo)系”中的“法向”分量.因此式（3）可簡(jiǎn)化為

圖3表示由t時(shí)刻到t＋dt時(shí)刻的“自然坐標(biāo)系”中“切向”單位矢量變化情況.又因?yàn)槭街械摩貫榧?xì)桿繞OA軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；而的方向是垂直于角動(dòng)量即為“法向”，因而式（4）可再化為

再由Mn＝MT＋MG＝Lsin α·ω·en（式中的MT為拉力矩，MG為重力矩），就可求出拉力矩了.

例二解釋陀螺的進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象.我們知道如果陀螺不轉(zhuǎn)動(dòng)或轉(zhuǎn)速很低時(shí)，在重力矩的作用下將發(fā)生傾倒，但當(dāng)陀螺急速旋轉(zhuǎn)時(shí)，盡管在重力矩作用下，卻居然不會(huì)倒下來(lái)，而是陀螺在繞本身對(duì)稱軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，其對(duì)稱軸還將繞豎直軸回轉(zhuǎn)，這就是陀螺的進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象.

分析由于陀螺的運(yùn)動(dòng)本身較復(fù)雜，而其所受外力矩卻比較簡(jiǎn)單，所以我們可以先分析外力矩，再用角動(dòng)量定量來(lái)判斷運(yùn)動(dòng)的情況.如圖4所示，當(dāng)轉(zhuǎn)軸OB與豎直軸OA重合時(shí)，陀螺沒有受到外力矩的作用，其會(huì)保持繞自身對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)的狀態(tài).當(dāng)陀螺重心不在豎直軸OA上，重力相對(duì)O點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)力矩，其方向始終垂直于角動(dòng)量方向，也就是只有“法向”力矩，這就與例一中的情況類似，因而式（3）可以簡(jiǎn)化為

圖4

式中的α是轉(zhuǎn)軸OB與豎直軸OA的夾角；ω是角動(dòng)量相對(duì)于OA的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，即進(jìn)動(dòng)的角速度.在這樣的外力矩的作用下，陀螺的角動(dòng)量的方向會(huì)不斷地發(fā)生變化，形成進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象就不難理解了.同時(shí)也正是由于剛體的進(jìn)動(dòng)，則會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與重力矩方向相反的力矩——回轉(zhuǎn)力矩.它有將陀螺的軸向上抬升的趨勢(shì)［1］，因而陀螺不會(huì)倒下來(lái).

式（6）還可再化為：mglcsin α＝L ω sin α，式中的lc為質(zhì)心到O點(diǎn)的距離，即有

對(duì)與某個(gè)具體的陀螺而言，左邊值是固定的，所以進(jìn)動(dòng)的角速度與陀螺的角動(dòng)量大小成反比，即L較大時(shí)，ω較小，而L變小時(shí)，ω反而變大.但隨L的減小，ω的增大也是受到限制的，因?yàn)橄到y(tǒng)不僅要滿足角動(dòng)量定理，也要滿足能量守恒定律，因此，當(dāng)L減小到一定的程度，ω增加的速度不夠快時(shí)，式（7）就會(huì)遭受破壞，造成左邊大于右邊，這樣在重力矩的作用下，陀螺就會(huì)發(fā)生傾倒.所以要使陀螺發(fā)生進(jìn)動(dòng)，那么陀螺繞自身對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量要遠(yuǎn)大于由進(jìn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的角動(dòng)量.

3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理與定點(diǎn)角動(dòng)量定理的“統(tǒng)一”

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量是相對(duì)某點(diǎn)而言的，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量卻是相對(duì)于某個(gè)軸，兩者關(guān)系如何？在大學(xué)物理的教材中有說(shuō)到“由于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只對(duì)軸向分量感興趣，所以把剛體上各質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的角動(dòng)量沿轉(zhuǎn)軸方向分量之和定義為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量”［2］.這里只用“感興趣”來(lái)帶過(guò)，并沒有說(shuō)明其具體原因.下面引入“自然坐標(biāo)系”來(lái)分析兩者的內(nèi)在聯(lián)系.

剛體是屬于質(zhì)點(diǎn)系的，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量是相對(duì)于某一點(diǎn)而言的，因此剛體的角動(dòng)量也應(yīng)相對(duì)某一點(diǎn)而言，而且這參考點(diǎn)應(yīng)該選擇在定軸上比較有意義［3］.先來(lái)計(jì)算剛體上任意一質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)于軸線上任意點(diǎn)O的角動(dòng)量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都是在作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖5所示，由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的定義Li＝Ri×mivi可知質(zhì)點(diǎn)P角動(dòng)量方向如圖5中的Li所標(biāo)示.如果這個(gè)質(zhì)點(diǎn)P受到外力，用Fi表示，那么這個(gè)外力必可分解為P點(diǎn)的徑向、速度方向和軸向三個(gè)分量，對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的質(zhì)點(diǎn)而言，只有平行速度方向的分力對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)有效，而且這個(gè)分力相對(duì)于O點(diǎn)的力矩（不妨稱為“有效力矩”M有效）方向正好與質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量Li一致.同樣以角動(dòng)量的方向?yàn)椤扒邢颉?，垂直于角?dòng)量的方向?yàn)椤胺ㄏ颉苯ⅰ白匀蛔鴺?biāo)系”，則

圖5

等式右邊的第一項(xiàng)為“切向”分量，第二項(xiàng)為“法向”分量；又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)所受的“有效力矩”M有效只有“切向”分量，而沒有“法向”分量.可知式（8）中法向分量不是由“有效力矩”提供的.所以在只考慮“有效力矩”情況下的質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理為

剛體屬于質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)式（9）兩邊求和，可得剛體在只考慮“有效力矩”的情況下的相對(duì)于軸線上任意點(diǎn)的角動(dòng)量定理

由于剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置不同，相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量方向也不同，單位矢量eit也就不同，式（10）右邊是一個(gè)矢量和，較為復(fù)雜.也可得其軸向分量表達(dá)式，并用Z軸表示軸向.

與式（10）相比，式（11）至少有兩點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：首先，所有質(zhì)點(diǎn)不論是角動(dòng)量，還是所受到的力矩，在Z軸的分量都在軸線上，這樣就由式（10）的矢量計(jì)算變成式（11）的代數(shù)計(jì)算；其次，再來(lái)討論不會(huì)產(chǎn)生“有效力矩”的另外兩個(gè)分力——徑向分力與軸向分力，這兩個(gè)力相對(duì)于軸線上的任意點(diǎn)O的力矩都是垂直于軸向的，或者說(shuō)這兩個(gè)力產(chǎn)生的力矩在Z軸的分量都為零，因此，分量表達(dá)式（11）中力矩不必局限于“有效力矩”，可以擴(kuò)充到外力矩.即

這就得到了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理，由此可知，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量可以定義為剛體相對(duì)于軸線上某點(diǎn)的角動(dòng)量在Z軸的分量.這樣既可以把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，也可以使剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理與定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理真正統(tǒng)一起來(lái).

總結(jié)

從以上分析可知，在研究剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下引入自然坐標(biāo)系，把外力矩與角動(dòng)量都按“切向”與“法向”分解，確實(shí)可以使某些問(wèn)題簡(jiǎn)單化.同時(shí)，也使剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程的物理意義清晰化，由于“切向”分量的力矩對(duì)角動(dòng)量的大小變化起作用，如許多阻力矩都是平行于角動(dòng)量并與之反向，所以在不斷地改變角動(dòng)量的大小.“法向”分量的力矩是起了改變角動(dòng)量方向的作用，如陀螺里的重力矩，使陀螺的角動(dòng)量方向不斷地發(fā)生變化，從而形成進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象.最后通過(guò)引入自然坐標(biāo)系對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這一特殊系統(tǒng)進(jìn)行分析，獲得了質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理的真正統(tǒng)一.但也存在不足的地方，就是“自然坐標(biāo)系”下的角動(dòng)量定理也只能對(duì)于一些較為特殊的場(chǎng)合才能體現(xiàn)出其優(yōu)越性，通用性不如歐拉動(dòng)力學(xué)方程.

［1］ 梁昆淼.力學(xué)（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.272～273

［2］ 程守洙，江之永.普通物理學(xué)上冊(cè)（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.124

［3］ 賈玉磊，賈瑞皋.剛體角動(dòng)量的定義和定義狀態(tài)量的原則［J］.物理與工程，2008，18（5）：13～16

ANGULAR MOMENTUM THEOREM AND ITS APPLICATION IN NATURAL COORDINATES

Wu Yibing Liu Yinchun
（College of Mechanical and Electrical Engineering，F(xiàn)ujian Agriculture and Forestry University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350002）

In the process of fixed point rotation of rigid body，it often make the problem much easier by introducing the natural coordinates，in which way the physical meaning becomes clearer.We combine the angular momentum theorems of fixed axis rotation and fixed point rotation of rigid body by analysis and specific cases.

natural coordinate；angular momentum theorem；fixed axis rotation

2011－07－25）

福建省大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心建設(shè)項(xiàng)目（閩教字（2008）27）資助；福建農(nóng)林大學(xué)青年教師基金項(xiàng)目（020763）資助.