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    一種積分因子的存在定理及應(yīng)用

    2011-12-20 03:49:24張若峰
    城市建設(shè)理論研究 2011年23期

    張若峰

    摘要本文給出了微分方程 的一種積分因子的定義,得出了這

    種積分因子存在的充要條件和計(jì)算公式。

    關(guān)鍵詞積分因子;通積分;全微分方程

    An Existence Theorem of Integral Factor and Application

    Zhang Ruofeng

    (Tianshui Norm college, Tianshui Gansu 741001)

    Abstract: This paper gives an existence theorem of integral defination, and finally gets the necessary and sufficient condition and fomula of the subject.

    ? Key Words: integral factor, application, total differential equation

    一引言

    由于全微分方程計(jì)算方便和簡單,因此尋求微分方程)(1)

    , (1)

    的積分因子 ,使得微分方程(2)

    (2)

    成為全微分方程,使問題得以有效且簡便解決。對一些特殊結(jié)構(gòu)的積分因子,如 中僅含 或 ,或者型等,已經(jīng)得到了判別定理和求積分因子 的計(jì)算公式(詳見文 )。本文主要對積分因子 中既含 又含 的比較復(fù)雜的一種情形,給出定義和判定定理,并建立積分因子的計(jì)算公式。

    二主要結(jié)果

    定義 1若連續(xù)可微函數(shù),(x,y) ,使方程(2)為全微分方程,則 稱為方程(1)的積分因子。

    定義2若方程(1)積分因子 為

    = ,(x,y)(3)

    則稱 為復(fù)合型積分因子(這里 為連續(xù)函數(shù))

    引理 方程(2)為全微分方程的充要條件是

    (x,y) (4)

    定理若方程(1)滿足 ,(x,y) ,則方程(1)存在復(fù)合型積分因子 = 的充要條件是存在連續(xù)函數(shù) ,使得

    (5)

    并且,積分因子 由下式確定

    = ,(6)

    (6)式中的 由(5)給出。

    證明必要性:由引理,積分因子 滿足

    (7)

    將 = 代入(7)整理后得

    (8)

    由 可得

    (9)

    所以有

    (10)

    取一元函數(shù) ,由(10)得知(5)式的正確性。

    再證明充分性:取二元函數(shù) 滿足

    = , (11)

    式中 由(5)使給出。下面證明 為方程(1)的積分因子。

    (12)

    (13)

    (13)減(12),并利用(5)得

    推論 方程(1)有復(fù)合型積分因子 的充分必要是存在連續(xù)函數(shù) ,滿足

    并且積分因子為

    證明取 ,由定理即知結(jié)論的正確性。

    容易看出,當(dāng)取 時,是一般文獻(xiàn)中所介紹的存在 型積分因子的條件。

    三應(yīng)用

    例求方程 的通解。(14)

    解這里 ,所以有

    (15)

    取 (16)

    將(15),(16)代入(5)式左端得

    (17)

    因此?。?8)

    由(17),(18)式可知,定理中條件(5)成立.根據(jù)定理,方程(14)具有復(fù)合型積分因子 ,經(jīng)計(jì)算得

    =(19)

    所以,方程(14)可化為全微分方程

    =0(20)

    =

    = +

    故得原方程通解為:

    = , 為任意常數(shù)。

    參考文獻(xiàn)

    1 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。常微分方程 。高等教育出版社,2001,12,35~45

    2 王高雄等編。常微分方程 。北京:高等教育出版社,1984,3,44~49

    Existence Theorem of a Integrating Factor and its Application

    Zhangruofeng

    (Department of Mathematics and statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu )

    AbstractThis paper give the definition of a integrating factor about differential equation,then obtains thenecessary and sufficient condition of the existence of the integrating factor and its calculating formula..

    Key WordsComplex integrating factor;General integral;Fully differential equation

    注:文章內(nèi)所有公式及圖表請以PDF形式查看。

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