一種積分因子的存在定理及應(yīng)用
2011-12-20 03:49:24張若峰
城市建設(shè)理論研究 2011年23期
張若峰
摘要本文給出了微分方程 的一種積分因子的定義，得出了這
種積分因子存在的充要條件和計(jì)算公式。
關(guān)鍵詞積分因子；通積分；全微分方程
An Existence Theorem of Integral Factor and Application
Zhang Ruofeng
(Tianshui Norm college, Tianshui Gansu 741001)
Abstract: This paper gives an existence theorem of integral defination, and finally gets the necessary and sufficient condition and fomula of the subject.
? Key Words: integral factor, application, total differential equation
一引言
由于全微分方程計(jì)算方便和簡單，因此尋求微分方程）（1）
， （1）
的積分因子 ,使得微分方程（2）
（2）
成為全微分方程，使問題得以有效且簡便解決。對一些特殊結(jié)構(gòu)的積分因子，如 中僅含 或 ，或者型等，已經(jīng)得到了判別定理和求積分因子 的計(jì)算公式（詳見文 ）。本文主要對積分因子 中既含 又含 的比較復(fù)雜的一種情形，給出定義和判定定理，并建立積分因子的計(jì)算公式。
二主要結(jié)果
定義 1若連續(xù)可微函數(shù)，（x,y） ,使方程（2）為全微分方程，則 稱為方程（1）的積分因子。
定義2若方程（1）積分因子 為
= ，（x,y）(3)
則稱 為復(fù)合型積分因子（這里 為連續(xù)函數(shù)）
引理 方程（2）為全微分方程的充要條件是
（x,y） (4)
定理若方程（1）滿足 ，（x,y） ，則方程（1）存在復(fù)合型積分因子 = 的充要條件是存在連續(xù)函數(shù) ，使得
(5)
并且，積分因子 由下式確定
= ，（6）
（6）式中的 由（5）給出。
證明必要性：由引理，積分因子 滿足
（7）
將 = 代入（7）整理后得
（8）
由 可得
(9)
所以有
（10）
取一元函數(shù) ，由（10）得知（5）式的正確性。
再證明充分性：取二元函數(shù) 滿足
= ， （11）
式中 由（5）使給出。下面證明 為方程（1）的積分因子。
(12)
(13)
(13)減（12），并利用（5）得
推論 方程（1）有復(fù)合型積分因子 的充分必要是存在連續(xù)函數(shù) ，滿足
并且積分因子為
證明取 ，由定理即知結(jié)論的正確性。
容易看出，當(dāng)取 時，是一般文獻(xiàn)中所介紹的存在 型積分因子的條件。
三應(yīng)用
例求方程 的通解。（14）
解這里 ，所以有
（15）
取 （16）
將（15），（16）代入（5）式左端得
（17）
因此?。?8）
由（17），（18）式可知，定理中條件（5）成立.根據(jù)定理，方程（14）具有復(fù)合型積分因子 ，經(jīng)計(jì)算得
=（19）
所以，方程（14）可化為全微分方程
=0（20）
又
=
= +
故得原方程通解為：
= ， 為任意常數(shù)。
參考文獻(xiàn)
1 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。常微分方程 。高等教育出版社，2001，12，35~45
2 王高雄等編。常微分方程 。北京：高等教育出版社，1984，3,44~49
Existence Theorem of a Integrating Factor and its Application
Zhangruofeng
(Department of Mathematics and statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu )
AbstractThis paper give the definition of a integrating factor about differential equation,then obtains thenecessary and sufficient condition of the existence of the integrating factor and its calculating formula..
Key WordsComplex integrating factor;General integral;Fully differential equation
注：文章內(nèi)所有公式及圖表請以PDF形式查看。
