上半平面的 空間和增長(zhǎng)型空間上的復(fù)合算子的譜＊Bloch

姬小斌, 于 濤

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)

0 引 言

令 C表示復(fù)平面,D表示復(fù)平面上的開(kāi)單位圓盤(pán),Π+表示復(fù)平面上的開(kāi)上半平面,即Π+={z∈C:Imz>0},I mz表示復(fù)數(shù) z的虛部.H(D)表示定義在 D上解析函數(shù)的全體,H(Π+)表示定義在Π+上解析函數(shù)的全體.設(shè)φ是Π+上的解析自映射,由φ誘導(dǎo)的復(fù)合算子 Cφ定義為 Cφ(f)=f°φ,?f∈H(Π+).

單位圓上的 Hardy空間定義為

關(guān)于 Hardy空間復(fù)合算子的討論可參閱文獻(xiàn)[1].

令 H2(Π+)表示上半平面上的 Hardy空間,即

關(guān)于這類(lèi)空間上復(fù)合算子的討論可參閱文獻(xiàn)[2-3].

單位圓盤(pán)上的 Bloch空間定義為

定義范數(shù)‖f‖B=|f(0)|+B(f),Bloch空間在此范數(shù)下成為一個(gè) Banach空間.

令 A-1(D)表示單位圓盤(pán)上的增長(zhǎng)型空間,即

A-1(D)是一個(gè)Banach空間.關(guān)于此空間的更多探討可參閱文獻(xiàn)[5-6].

文獻(xiàn)[7]給出了復(fù)合算子在 Bergman空間和 Hardy空間的譜結(jié)構(gòu),并提出猜想:復(fù)合算子在圓盤(pán)上的Bloch空間和BMOA空間的譜等于閉單位圓盤(pán);文獻(xiàn)[8]證明了復(fù)合算子在圓盤(pán)上的 Bloch空間的譜等于閉單位圓盤(pán);文獻(xiàn)[9]證明了復(fù)合算子在圓盤(pán)上的BMOA空間的譜等于閉單位圓盤(pán),其證明思想主要來(lái)源于文獻(xiàn)[10].本文主要利用復(fù)合算子在單位圓盤(pán)上的Bloch空間和增長(zhǎng)型空間的譜結(jié)構(gòu),得到了復(fù)合算子在上半平面Bloch空間和增長(zhǎng)型空間的譜.

設(shè) X是一個(gè) Banach空間,B(X)代表 X上所有有界算子形成的算子空間,設(shè) A∈B(X),用 re,X(A)代表算子A的本性譜半徑.

1 上半平面的 Bloch空間上的復(fù)合算子的譜

證明 對(duì) f∈H2(D),有

引理 3得證.

顯然 ,(2Cμ)-1Cφ(2Cμ)=Cλ,因此σB0(Π+)(Cφ)=σB0(D)(Cλ).

定理 1 設(shè)φ是Π+上的解析自映射,若φ是單射,不是自同構(gòu),φ(i)=i,re,H2(Π+)(wCφ)≠0,則σB∞(Π+)(Cφ)=D.

2 上半平面的增長(zhǎng)型空間上的復(fù)合算子的譜

引理 4[8]設(shè)φ是 D上的解析自映射,u∈H(D),若φ不是自同構(gòu),φ(0)=0,uCφ是 A-1(D)上的

證明 利用引理 4和引理 5,易證定理 2成立.

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