一類新擬移位映射和M?bius帶上的吸引子*

俞春葉， 陳鳳娟

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

1967年，Smale［1］構(gòu)造了著名的馬蹄模型，并運(yùn)用2-符號(hào)空間Σ2上的移位映射刻畫了它的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．許多復(fù)雜的自映射存在子系統(tǒng)(X，f)與(Σ，σ)拓?fù)涔曹?，其中Σ為相?yīng)的符號(hào)空間，σ為移位映射．

近年來(lái)，一些文獻(xiàn)給出了不同于傳統(tǒng)移位映射的擬移位映射或部分變號(hào)移位映射，并用這些擬移位映射刻畫了某些自映射的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)［2-4］．

式(1)中

文獻(xiàn)［3］用該類映射描述了Cantor集及平面Cantor集上的混沌映射．

式(3)中，對(duì)稱元a^i的意義同式(2)．文獻(xiàn)［2］對(duì)τ2給出了一個(gè)具有奇異吸引子的模型，且證明了(Σ2，τ2)與移位映射(Σ2，σ)拓?fù)涔曹棧?/p>

本文了給出雙邊符號(hào)空間Σ2上的另一類新擬移位映射，它是半符號(hào)空間上的自同胚映射，并用它刻畫了M?bius帶上一類新映射?F的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．

1 一類新的擬移位映射

定義 1 設(shè)集合 A={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=0}?Σ2;B={a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2|a0=1}?Σ2．顯然，A∪B=Σ2．稱這樣的 A 和 B 為半符號(hào)空間．

定義 2 D={a=(… a-n…a-2a-1;a0a1a2… an…)∈Σ2|a-1=a0=a1=0}?A．

定義3 定義一類新的擬移位映射 τ3:Σ2→Σ2為:對(duì)?(…a-n…a-2a-1;a0a1a2…an…)∈Σ2，有

式(4)中，對(duì)稱元a^i的意義同式(2)．稱τ3為符號(hào)空間Σ2上的擬移位映射．

為便于說(shuō)明，用符號(hào)“-1”代替“0”，符號(hào)“1”不變．

定義映射 ζ:Σ2→Σ2為:對(duì)?a=(…a-n…a-1;a0a1…an…)∈Σ2，有

其中，“×”為傳統(tǒng)意義上的乘法運(yùn)算．于是

比較式(4)與式(5)，得ζ與τ3具有相同的作用．

定理1 映射ζ是半符號(hào)空間A的自同胚．

證明 先證映射ζ既是單射又是滿射．易證ζ是單射，故只證ζ為滿射．對(duì)?s=(…s-n…s-1;(-1)

因此，映射ζ在半符號(hào)空間A上既是一一映射，又是連續(xù)映射，從而映射ζ是半符號(hào)空間A的自同胚．定理1證畢．

性質(zhì)1 映射ζ有且僅有不動(dòng)點(diǎn)a=(…(-1)(-a0)(-1)(-a0);(-1)a0a0a0…)，a0∈{1，-1}．

性質(zhì)2 存在同胚映射 η:Σ2→Σ2，對(duì)?a ∈D?A，有 σ ?η(a)=η ?ζ(a)．

證明 取a=(…a-n…a-2(-1);(-1)(-1)a2…an…)∈D，作同胚映射η滿足

從而

同時(shí)

因此，σ ?η(a)=η ?ζ(a)．性質(zhì)2證畢．

2 M?bius帶上的奇異吸引子

文獻(xiàn)［1］將 M?bius帶表示為 M={(x，p)|p=reiπx，x ∈［0，1)，r∈［-0．5，0．5)}，同時(shí)在 M 上定義連續(xù)自映射F，且用一類擬移位映射刻畫了F在不變集Λ上的混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．本文給出M的另一種表示方法及其上一類新的映射?F，并研究了它的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．現(xiàn)將M?bius帶表示為

定義

M0與M1為M?bius帶M上相接的兩部分，如圖1所示．

圖1 M?bius帶及其上映射?F的作用

在M0∪M1上定義連續(xù)自映射?F為

由以上分析及Λ'的結(jié)構(gòu)知，為了得到?F在Λ'上的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，需在A中去除某些序列．記?A={s∈A| ?s=(…s-n…s-1;(-1)s1…sn…)，?N∈Z+，?i≥N，si≠1}．

定理2(?F，Λ')與(τ3，?A)拓?fù)涔曹棧?/p>

證明 關(guān)于符號(hào)的記法及二進(jìn)制展開等相關(guān)知識(shí)可參考文獻(xiàn)［2，5］．從M?bius帶的表示方法知，M數(shù)表示分別為:

同時(shí)

因此，τ3?φ =φ ?F．定理2證畢．

從(Σ2，σ)可知，?F在其吸引子Λ'上具有混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．

［1］Smale S．Differentiable dynamical systems［J］．Bull Amer Math Soc，1967(73):747-817．

［2］陳芳躍，陳鳳娟．符號(hào)空間的擬移位和M?bius帶上的奇怪吸引子［J］．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2003，23(7):747-754．

［3］李明軍，李開泰．一類描述混沌映射的符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)［J］．高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999，14(2):125-129．

［4］麥結(jié)華．用5-進(jìn)制小數(shù)描述 Smale馬蹄映射［J］．科學(xué)通報(bào)，1993，38(21):1432-1435．

［5］韓茂安，邢業(yè)朋，畢平．動(dòng)力系統(tǒng)導(dǎo)論［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2007:310-345．