一類2個(gè)自由度Hamilton系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)＊

林路嬋， 趙曉華

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

考慮一類關(guān)于電場(chǎng)中沿著z軸傳播的、緩慢變化的復(fù)包絡(luò)或分量φm(z，t)的N耦合非線性類Schr?dinger方程

式(1)中:φ*m是φm的共軛函數(shù);p，q，κ是媒介的特征參量;下標(biāo)m表示φ的不同分量;下標(biāo)z，t表示對(duì)φ 關(guān)于 z，t求導(dǎo)．

將駐波解φm(z，t)=xm(t)exp(iΩ z)代入方程(1)，可得如下的耦合非線性方程:

對(duì)于系統(tǒng)(2)，文獻(xiàn)［1］通過待定系數(shù)法得到了在參數(shù)bmn=±1，?m，n=1，2，…，N的情況下的Legendre函數(shù)形式的解

筆者將考慮N=2的情形，系統(tǒng)(2)即為

系統(tǒng)(3)在許多實(shí)際物理問題中有著廣泛的運(yùn)用．文獻(xiàn)［2-4］中所涉及的非線性偏微分方程，通過求其特殊形式的解均可轉(zhuǎn)化為本文所要研究的二階常微分方程組．

對(duì)于系統(tǒng)(3)，文獻(xiàn)［5-6］在一些特定參數(shù)條件下分別給出了另一個(gè)與Hamilton量H是函數(shù)獨(dú)立且對(duì)合的首次積分，從而說明系統(tǒng)(3)是完全可積的;文獻(xiàn)［2］給出了可積情況下，對(duì)于一些特定的參數(shù)條Schr?dinger方程的同宿軌問題．

對(duì)于參數(shù)b12，b21都不為零的情況，若b12，b21同號(hào)，則經(jīng)過適當(dāng)?shù)某叨茸儞Q之后，可以得出系統(tǒng)(3)是具有2個(gè)自由度的Hamilton系統(tǒng);若b12，b21異號(hào)，則經(jīng)過相應(yīng)的變換后，系統(tǒng)(3)是一個(gè)四維反轉(zhuǎn)對(duì)稱系統(tǒng)．

本文主要考慮在b12，b21均大于零的情形下，利用Hamilton系統(tǒng)的相關(guān)知識(shí)對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行定性研究．

1 平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)及其類型分析

由于系統(tǒng)(3)含有6個(gè)非零參量，為了便于研究，將通過尺度變換以減少參量個(gè)數(shù)．

先令 A1=sgn(A1)ω21，A2=sgn(A2)ω22，其中 sgn(x)是符號(hào)函數(shù)．假設(shè) b11＞0，b22＞0，作尺度變換

從而系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

令˙x1=y1，˙x2=y2，則系統(tǒng)(4)可以改寫為

易知系統(tǒng)(5)對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

其對(duì)應(yīng)的特征方程為

因此，求系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)即為求方程組

的零點(diǎn)．對(duì)系統(tǒng)(5)分以下幾種類型進(jìn)行討論:

1)原點(diǎn)(0，0，0，0)是系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的特征方程為

從而

①當(dāng)A1＞0，A2＞0時(shí)，所對(duì)應(yīng)的特征值為±i，±ωi，平衡點(diǎn)的類型為中心;

②當(dāng)A1＜0，A2＞0時(shí)，所對(duì)應(yīng)的特征值為±1，±ωi，平衡點(diǎn)的類型為鞍-中心;

③當(dāng)A1＞0，A2＜0時(shí)，所對(duì)應(yīng)的特征值為±i，±ω，平衡點(diǎn)的類型為鞍-中心;

④當(dāng)A1＜0，A2＜0時(shí)，所對(duì)應(yīng)的特征值為±1，±ω，平衡點(diǎn)的類型為鞍點(diǎn)．

這里先假設(shè)根號(hào)下的式子為正，由于β-ω2=0或者αω2-1=0的情形可以歸結(jié)到第2)，3)種情形，所以只考慮 β - ω2，αβ -1，αω2-1 三者同號(hào)．根據(jù)矩陣 J在 Pj(x1，x2，0，0)(j=5，6，7，8)處的特征方程

并記

因此 C ＞0，且

①當(dāng)αβ-1＜0，即D＜0時(shí)，方程(7)有特征值

因此平衡點(diǎn) Pj(x1，x2，0，0)(j=5，6，7，8)的類型為鞍-中心型．②當(dāng) αβ-1＞0，即 D ＞0時(shí)，由于

所以方程(7)有特征值

因此平衡點(diǎn) Pj(x1，x2，0，0)(j=5，6，7，8)的類型為中心型．

綜上，可以得到關(guān)于系統(tǒng)(5)平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)及其類型的定理．

定理1 系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其類型為:

1)當(dāng)A1＞0，A2＞0時(shí)，有唯一的平衡點(diǎn)(原點(diǎn))，其類型為中心．

2)當(dāng) A1＞0，A2＜0 時(shí)，原點(diǎn)為鞍-中心，平衡點(diǎn) P1，P2均為中心．

3)當(dāng) A1＜0，A2＞0 時(shí)，原點(diǎn)為鞍-中心，平衡點(diǎn) P3，P4均為中心．

4)當(dāng) A1＜0，A2＜0 時(shí)，原點(diǎn)為鞍點(diǎn)，且

①當(dāng)β-ω2＞0時(shí)，平衡點(diǎn)Pj(j=1，2)為鞍-中心;

②當(dāng)β-ω2≤0時(shí)，平衡點(diǎn)Pj(j=1，2)為中心;

③當(dāng) αω2-1＞0時(shí)，平衡點(diǎn) Pj(j=3，4)為鞍-中心;

④當(dāng)αω2-1≤0時(shí)，平衡點(diǎn)Pj(j=3，4)為中心;

⑤當(dāng) β -ω2＞0，αω2-1 ＞0 時(shí)，平衡點(diǎn) Pj(j=1，2，3，4)均為鞍-中心;

⑥當(dāng) β -ω2＞0，αω2-1≤0 時(shí)，平衡點(diǎn) Pj(j=1，2)為鞍-中心，平衡點(diǎn) Pj(j=3，4)為中心;

⑦當(dāng) β -ω2≤0，αω2-1 ＞0 時(shí)，平衡點(diǎn) Pj(j=1，2)為中心，平衡點(diǎn) Pj(j=3，4)為鞍-中心;

⑧當(dāng) β -ω2≤0，αω2-1≤0 時(shí)，平衡點(diǎn) Pj(j=1，2，3，4)均為中心;

⑨當(dāng) β-ω2＞0，αω2-1 ＞0，αβ -1 ＞0 時(shí)，平衡點(diǎn) Pj(j=1，2，3，4)均為鞍-中心，Pj(j=5，6，7，8)均為中心;

⑩當(dāng) β-ω2＜0，αω2-1 ＜0，αβ-1 ＜0 時(shí)，平衡點(diǎn) Pj(j=1，2，3，4)均為中心，Pj(j=5，6，7，8)均為鞍-中心．

2 動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究

由于平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)眾多，因此將主要針對(duì)原點(diǎn)的不同類型來分析系統(tǒng)(5)的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)于其他的平衡點(diǎn)可以進(jìn)行類似的研究．

1)A1＞0，A2＞0．根據(jù)定理1可知，原點(diǎn)O是系統(tǒng)(5)唯一的平衡點(diǎn)，且其對(duì)應(yīng)的特征值為±i，±ωi．因此，根據(jù)Hamilton系統(tǒng)的Lyapunov中心定理可知，當(dāng)ω≠整數(shù)，即±i與±ωi非共振時(shí)，在原點(diǎn)O的小鄰域內(nèi)存在2個(gè)二維不變流形，在每個(gè)不變流形中都含有一族單參數(shù)的周期軌，且當(dāng)軌道的初始條件趨

2)A1＜0，A2＞0．此時(shí)系統(tǒng)(5)即為

且其對(duì)應(yīng)的Hamilton量為

筆者將運(yùn)用文獻(xiàn)［8］的方法對(duì)原點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析．

若令 x=(x1，y1)，y=(x2，y2)，那么系統(tǒng)(8)可以簡(jiǎn)寫成

易知系統(tǒng)(9)具有如下性質(zhì):

①DxH(0，0)=DyH(x，0)=0，意味著x-平面({(x，y)|y=0})是它的不變平面．將˙x=JDxH(x，y)限制到x-平面上，可得˙x=JDxH(x，0)，不動(dòng)點(diǎn)x=0是它的雙曲鞍點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)的同宿軌為

方程(11)可以改寫為

它所對(duì)應(yīng)的解為

使得

計(jì)算式(14)可得

在其能量面上存在Smale馬蹄．

4)A1＜0，A2＜0．此時(shí)系統(tǒng)(5)即為

此處令 α =α0+εα1，β =β0+εβ1，ω2=ω0+εω1，并取 α0=β0=ω0=1，則系統(tǒng)(16)變?yōu)?/p>

當(dāng)ε=0時(shí)，系統(tǒng)(17)是具有2個(gè)自由度的可積的Hamilton系統(tǒng)，它存在2個(gè)函數(shù)獨(dú)立的首次積分

根據(jù)文獻(xiàn)［2］可知系統(tǒng)(17)的無擾動(dòng)系統(tǒng)存在一族同宿軌

其中，θ是任意參量．

接下來將考慮在ε≠0時(shí)，運(yùn)用Melnikov方法討論系統(tǒng)(17)是否仍然存在同宿軌．此時(shí)可以將系統(tǒng)(17)寫成

根據(jù)文獻(xiàn)［9］計(jì)算其Melnikov函數(shù)，可得

并且

3 結(jié)語

主要考慮了b12，b21均大于零的情況下2個(gè)自由度的Hamilton系統(tǒng)在原點(diǎn)的附近鄰域內(nèi)所具有的周期軌、同宿軌以及混沌現(xiàn)象．對(duì)于b12，b21均小于零和b12，b21異號(hào)的情況，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為需進(jìn)一步分析研究．

［1］Hioe F T．Solitary waves and N coupled nonlinear equations［J］．J Phys:A Math Gen，1999，32(7):1217-1223．

［2］Yang Jianke．Classification of the solitary waves in coupled nonlinear Schr?dinger equations［J］．Physica:D，1997，108(1/2):92-112．

［3］Alagesan T，Chung Y，Nakkeeran K．Soliton solutions of coupled nonlinear Klein-Gordon equations［J］．Chaos Solitons and Fractals，2004，21(4):879-882．

［4］Li Y．Singularly perturbed vector and scalar nonlinear schr?dinger equations with persistent homoclinic orbits［J］．Stud Appl Math，2002，109(1):19-38．

［5］Hioe F T．Hamiltonian systems with a certain stability property［J］．J Phys:A Math Gen，1988，21(7):L377-L380．

［6］Baumann G，Glockle W G，Nonnenmacher T F．Singular point analysis and integrals of motion for coupled nonlinear Schr?dinger equations［J］．Proc R Soc Lond:A，1991，434(1891):263-278．

［7］張芷芬，丁同仁，黃文灶，等．微分方程定性理論［M］．北京:科學(xué)出版社，2006:101-119．

［8］Kazuyuki Yagasaki．Horseshoes in Two-Degree-of-Freedom Hamiltonian Systems with Saddle-Centers［J］．Arch Rational Mech Anal，2000，154(4):275-296．

［9］Wiggins S．Global Bifurcations and Chaos［M］．New York:Springer-Verlag，1988:334-457．