利用AUTO軟件分析揚(yáng)聲器薄殼的分岔特性*

李小菊， 張志良

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

作為音響設(shè)備中保真性最薄弱的器件，揚(yáng)聲器的性能優(yōu)劣對(duì)音質(zhì)的影響很大．揚(yáng)聲器的非線(xiàn)性失真分為諧波失真和分諧波失真，人耳對(duì)中頻的分諧波失真更為敏感．1935年，Pedersen［1］第一次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了揚(yáng)聲器的1/2分諧波，并分析了分諧波產(chǎn)生的2種途徑——參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)和系統(tǒng)含有平方非線(xiàn)性．Cunningham［2］將揚(yáng)聲器薄殼振動(dòng)類(lèi)比為受軸向簡(jiǎn)諧力的彈性直桿的橫向振動(dòng)，以解釋揚(yáng)聲器產(chǎn)生分諧波失真的原因．國(guó)內(nèi)，魏榮爵等［3］1986年首次實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了揚(yáng)聲器的分諧波和混沌現(xiàn)象;Zhang Zhilang等［4］實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了揚(yáng)聲器的幅度調(diào)制振動(dòng)和非周期運(yùn)動(dòng)，其頻率均在中頻范圍．以上研究沒(méi)有采用薄殼模型分析揚(yáng)聲器非線(xiàn)性現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)制，基本為實(shí)驗(yàn)研究．

本文采用文獻(xiàn)［5］中閉合旋轉(zhuǎn)薄殼的幾何非線(xiàn)性模態(tài)方程，利用分岔分析軟件AUTO［6］分析了揚(yáng)聲器非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)處于2∶1內(nèi)共振情形下的分岔特性，所得分岔集與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合．

1 非線(xiàn)性方程

假設(shè)揚(yáng)聲器薄殼的幾何參數(shù)和材料參數(shù)沿周向完全均勻，在小端受到沿周向均勻分布的軸向驅(qū)動(dòng)力．為研究1/2分諧波，選擇受驅(qū)動(dòng)力直接共振激勵(lì)的軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)和1個(gè)固有頻率約為軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)固有頻率一半的非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)，即軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)和非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)2∶1內(nèi)共振．由文獻(xiàn)［5］的結(jié)果可寫(xiě)出這2個(gè)模態(tài)的非線(xiàn)性振動(dòng)方程

式(1)中:x和z分別表示軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)和非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的無(wú)量綱位移，無(wú)量綱因子為揚(yáng)聲器薄殼厚度;Ω0，Ωn和Ω分別為無(wú)量綱的軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)、非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的固有角頻率和驅(qū)動(dòng)角頻率，無(wú)量綱因子為揚(yáng)聲器的特征頻率ωtb，ωtb可認(rèn)為是揚(yáng)聲器作分割振動(dòng)的起始頻率［7］，其值略小于軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的最低固有頻率;無(wú)量綱時(shí)間τ=ωtbt，故無(wú)量綱量組合Ωτ等于有量綱量組合ωt;下標(biāo)n為非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的周向波數(shù);無(wú)量綱驅(qū)動(dòng)力幅F與驅(qū)動(dòng)電壓U成正比，其比例因子設(shè)為K．式(1)表明，在周向均勻假設(shè)下，僅有軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)受到驅(qū)動(dòng)力的直接激勵(lì)，而非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)僅受軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的耦合激勵(lì)．

為比較本文結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，筆者采用文獻(xiàn)［4］的揚(yáng)聲器，利用文獻(xiàn)［5］中由有限元法定得的方程(1)的系數(shù)進(jìn)行分析，結(jié)果見(jiàn)表1．揚(yáng)聲器振膜阻尼表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)阻尼，考慮到2個(gè)模態(tài)的振動(dòng)頻率均在各自的固有頻率附近，取μ0=δΩ0/2，μn=δΩn/2，其中δ為揚(yáng)聲器紙盆材料阻尼因子，取其標(biāo)準(zhǔn)值為0．04．

表1 方程(1)的系數(shù)

本文分析軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)處于共振激勵(lì)，而非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的固有頻率近似為軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)固有頻率的一半的情形，因此引入如下外失諧因子σ0和內(nèi)失諧因子σn:

方程(1)的線(xiàn)性解容易求得

由方程(1)中非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的方程可以看出，上述軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的線(xiàn)性解對(duì)非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)相當(dāng)于參數(shù)激勵(lì)，且非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)在本文研究情形下處于參數(shù)激勵(lì)主共振情形，因此，可以預(yù)計(jì)非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)將產(chǎn)生1/2分諧波振動(dòng)．下文采用AUTO軟件分析方程(1)的分岔．

2 分岔特性及穩(wěn)定性

AUTO軟件是由加拿大康考迪亞大學(xué)的Doedel等于1980年開(kāi)發(fā)的分岔分析軟件包，此軟件采用擬弧長(zhǎng)延拓算法跟蹤非線(xiàn)性系統(tǒng)的分岔分支，并能判斷解的穩(wěn)定性，穩(wěn)定解和非穩(wěn)定解分別用實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)標(biāo)出．軟件同時(shí)計(jì)算系統(tǒng)的弗洛凱乘子，并用不同的符號(hào)標(biāo)注出不同的分岔點(diǎn)．

圖1為2個(gè)模態(tài)的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)，xm，zm分別為軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)解和非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)解的幅值，實(shí)線(xiàn)代表穩(wěn)定解，虛線(xiàn)代表不穩(wěn)定解，TR，PD和LP分別代表內(nèi)衣馬克-沙克分岔點(diǎn)(Neimark-Sacker bifurcation)、倍周期分岔點(diǎn)和切分岔點(diǎn)．曲線(xiàn)上方和下方的箭頭表示解曲線(xiàn)隨頻率增加和減小的路徑，箭頭1，2，3所指頻率處的驅(qū)動(dòng)力響應(yīng)和時(shí)間歷程見(jiàn)下文．圖1中，有共振峰的曲線(xiàn)為軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的線(xiàn)性解，零解為非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的線(xiàn)性解．圖1表明:當(dāng)頻率由低到高增加時(shí)，在倍周期分岔點(diǎn)PD1，即σ0=－0．191處，2個(gè)模態(tài)的線(xiàn)性解變成不穩(wěn)定解，非線(xiàn)性解變成穩(wěn)定解，倍周期分岔表明1/2分諧波振動(dòng)出現(xiàn)，并發(fā)生跳變現(xiàn)象;當(dāng)頻率變化到2個(gè)內(nèi)衣馬克-沙克分岔點(diǎn)之間，即－0．053 4＜σ0＜－0．005 1時(shí)，系統(tǒng)不存在穩(wěn)定解，表明非周期振動(dòng)出現(xiàn);然后，經(jīng)過(guò)σ0=0．071處的切分岔點(diǎn)LP2，2模態(tài)又跳變到線(xiàn)性解穩(wěn)定區(qū)域．頻率由大減小時(shí)，在倍周期分岔點(diǎn)PD2處，即σ0=0．036 9時(shí)，兩模態(tài)進(jìn)入非線(xiàn)性解穩(wěn)定區(qū);而后同樣經(jīng)歷2個(gè)TR分岔點(diǎn)之間的無(wú)穩(wěn)定解區(qū)域;當(dāng)頻率減小到LP1，即σ0=－0．397時(shí)，2模態(tài)又跳變到線(xiàn)性解穩(wěn)定區(qū)．

圖1 驅(qū)動(dòng)電壓3 V時(shí)的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)

圖2 σ0=－0．22時(shí)的驅(qū)動(dòng)力響應(yīng)曲線(xiàn)

圖3 σ0=－0．13時(shí)的驅(qū)動(dòng)力響應(yīng)曲線(xiàn)

圖1 中，箭頭1，2和3所表示的幾個(gè)典型頻率下的驅(qū)動(dòng)力響應(yīng)見(jiàn)圖2～圖4．同樣，xm，zm分別為軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)和非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的幅值，實(shí)線(xiàn)代表穩(wěn)定解，虛線(xiàn)代表不穩(wěn)定解，LP和PD分別為切分岔點(diǎn)和倍周期分岔點(diǎn)．由式(3)可以看出，軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)線(xiàn)性解的幅值與驅(qū)動(dòng)力成正比關(guān)系．因此，圖2～圖4中軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)解的直線(xiàn)部分對(duì)應(yīng)線(xiàn)性解，非直線(xiàn)部分對(duì)應(yīng)著非線(xiàn)性解;對(duì)非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)，零解為線(xiàn)性解，非零解對(duì)應(yīng)其非線(xiàn)性解．圖2中，當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓增大和減小時(shí)將分別在分岔點(diǎn)PD和LP點(diǎn)發(fā)生跳變現(xiàn)象．圖3中無(wú)跳變現(xiàn)象，系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔點(diǎn)(F=0．023)，進(jìn)入非線(xiàn)性解穩(wěn)定區(qū)域，此后直接激勵(lì)的軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的幅值基本不變，出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，能量傳遞給了非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)，非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的幅值漸漸遠(yuǎn)大于軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的幅值．圖4中開(kāi)始情形類(lèi)似于圖3，但到分岔點(diǎn)TR處后，系統(tǒng)進(jìn)入無(wú)穩(wěn)定解區(qū)作非周期振動(dòng)．

圖4 σ0=－0．05時(shí)的驅(qū)動(dòng)力響應(yīng)曲線(xiàn)

3 時(shí)間歷程

對(duì)圖1中箭頭1，2和3所表示的頻率下求系統(tǒng)的時(shí)間歷程，結(jié)果分別示于圖5、圖6和圖7．圖5的頻率位于多值解區(qū)，計(jì)算中初始值設(shè)為零，因此圖中結(jié)果為線(xiàn)性解．圖5表明，此時(shí)軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)作穩(wěn)定的周期振動(dòng)，非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)沒(méi)有被激發(fā)．圖6為倍周期分岔后2個(gè)模態(tài)的時(shí)間歷程，清楚表明了軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)和非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的周期成2倍關(guān)系，揚(yáng)聲器出現(xiàn)1/2分諧波．圖7為系統(tǒng)進(jìn)入TR分岔后的時(shí)間歷程，此時(shí)振幅隨時(shí)間變化，2個(gè)模態(tài)作幅度調(diào)制振動(dòng)．

圖5 σ0=－0．22，驅(qū)動(dòng)電壓為3 V時(shí)，軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)和非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的時(shí)間歷程

圖6 σ0=－0．13，驅(qū)動(dòng)電壓3 V時(shí)，軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)和非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的時(shí)間歷程

圖7 σ0=－0．05，驅(qū)動(dòng)電壓3 V時(shí)，軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)和非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的時(shí)間歷程

4 分岔集和實(shí)驗(yàn)比較

AUTO軟件具有計(jì)算分岔集的功能．分別從圖1中的分岔點(diǎn)LP，PD，TR出發(fā)計(jì)算得到系統(tǒng)σ0-F的平面上的各相應(yīng)分岔點(diǎn)的分岔集，如圖8中的L1，L2和L3分別為:切分岔集、倍周期分岔集和內(nèi)衣馬克-沙克分岔集．這3條曲線(xiàn)將σ0-F平面分成3個(gè)區(qū)域:區(qū)域Ⅰ中，線(xiàn)性解不穩(wěn)定，非線(xiàn)性解穩(wěn)定且唯一;區(qū)域Ⅰ'中含有穩(wěn)定的線(xiàn)性解、穩(wěn)定的非線(xiàn)性解和不穩(wěn)定的非線(xiàn)性解，該區(qū)因而為跳變和滯后區(qū);區(qū)域Ⅱ中不存在穩(wěn)定的周期解．文獻(xiàn)［4］中實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果見(jiàn)圖9，其中Ⅰ區(qū)，單值穩(wěn)定非線(xiàn)性解區(qū);Ⅱ區(qū)，無(wú)穩(wěn)定周期解區(qū);Ⅰ'區(qū)，多值解區(qū)(跳變滯后區(qū))．本文數(shù)值模擬結(jié)果與其基本吻合，只是實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)明顯的右側(cè)跳變滯后區(qū)域，在數(shù)值分析結(jié)果中，此區(qū)域也出現(xiàn)了明顯的左右不對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，右側(cè)跳變滯后區(qū)域明顯小于左側(cè)．另外，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)II區(qū)中出現(xiàn)了I區(qū)窗口，數(shù)值分析中當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓達(dá)到8 V時(shí)，II區(qū)成為一個(gè)閉合的圈，這也和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)應(yīng)，只是此時(shí)的電壓已經(jīng)超出了揚(yáng)聲器正常工作時(shí)的驅(qū)動(dòng)電壓．

圖8 σ0-F平面的分岔集

圖9 文獻(xiàn)［4］中實(shí)測(cè)的解的區(qū)域

5 結(jié)論

本文結(jié)果和已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，表明采用的理論模型是正確的，即揚(yáng)聲器中頻的非線(xiàn)性來(lái)自揚(yáng)聲器薄殼的幾何非線(xiàn)性，揚(yáng)聲器的分諧波源自軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)和非軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)的耦合作用．同時(shí)表明分岔分析軟件AUTO是非線(xiàn)性分析的有力工具．

［1］Pedersen P O．Sub harmonics in forced oscillations in dissipative systems part I［J］．Journal of Acoustical Society of American，1935，6(4):227-238．

［2］Cunningham W J．The growth of subharmonic oscillations［J］．Journal of Acoustical Society of American，1951，23(4):418-422．

［3］Wei Rongjue，Tao Qingtian，Ni Wansun．Bifurcation and chaos of direct radiation loudspeaker［J］．Chinese Phys Lett，1986，3(10):469-472．

［4］Zhang Zhiliang，Tao Qingtian．Experimental study of non-linear vibrations in a loudspeaker cone［J］．J Sound and Vibration，2001，248(1):1-8．

［5］孟慶照，李小菊，張志良．閉合旋轉(zhuǎn)薄殼的非線(xiàn)性模態(tài)方程［J］．浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，33(1):63-69．

［6］Doedel E J，Champneys A R，Dercole F，et al．Auto-07P:Continuation and Bifurcation Software for Ordinary Differential Equations(with Homcont)，User'Guide［EB/OL］．［2008-11-20］．http://indy．cs．concordia．ca/auto．

［7］張志良．揚(yáng)聲器錐殼的全頻段振動(dòng)通解［J］．聲學(xué)學(xué)報(bào)，2010，35(5):554-561．