施加電場的單量子阱中束縛態(tài)的能級*

文 軍

(渭南師范學(xué)院物理與電子工程系，陜西渭南 714000)

0 引言

在半導(dǎo)體物理研究的基礎(chǔ)上，1969年Esaki和Tsu［1］提出了超晶格量子阱(superlattice quantumwell)的概念．他們設(shè)想用2種晶格常數(shù)相近的半導(dǎo)體材料A和B交替地生長周期性結(jié)構(gòu)的多層薄膜，且薄膜層厚度的周期小于電子的平均自由程，這種由人工設(shè)計的交替生長的多層薄膜稱為超晶格．超晶格中，電子沿多層膜生長方向在大尺度范圍出現(xiàn)了新的量子化運動現(xiàn)象稱為超晶格量子阱．超晶格量子阱現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)和概念的提出以及材料生長技術(shù)工藝的創(chuàng)新，開辟了人工設(shè)計與制作晶體結(jié)構(gòu)的新途徑，改變了半導(dǎo)體器件的設(shè)計思想．由此設(shè)計制作的一代新型半導(dǎo)體器件，其線度接近了電子或其他粒子量子化運動的微觀尺度，具有用常規(guī)器件所不具備的優(yōu)異特性，顯示出許多全新的物理圖像，使半導(dǎo)體光電材料的設(shè)計和制造從“雜質(zhì)工程”發(fā)展到“能帶工程”．

超晶格能帶形成的根本原因是周期性量子阱相互作用的結(jié)果．不同的半導(dǎo)體材料具有不同的能帶結(jié)構(gòu)，當(dāng)它們組成超晶格時，在2種晶體材料的交界處就出現(xiàn)了能帶失調(diào)現(xiàn)象．2種不同能帶結(jié)構(gòu)材料的禁帶、導(dǎo)帶、價帶的交錯，當(dāng)電子處于材料A的價帶或?qū)е袝r，在材料的生長方向上，材料B的能隙(禁帶)就形成了一個勢壘．2個相鄰勢壘之間是材料A的勢阱，2個相鄰勢阱之間是材料B的勢壘，具體見圖1．這種“勢壘-勢阱”結(jié)構(gòu)是超晶格能帶結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特性，由于超晶格能帶結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，人們采用理想化模型，如拋物型勢阱、三角勢阱、雙三角勢阱、正切平方勢阱等，分別討論和模擬計算了超晶格量子阱的能級結(jié)構(gòu)、透射率、折射率等問題，得到能夠近似說明超晶格量子阱的光電特性的結(jié)果［2-9］．文獻［8］討論了電場作用下半拋物量子阱中束縛態(tài)的能級結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)隨著電場強度的增大，束縛態(tài)的能量幾乎線性地下降，相鄰能級間隔則減?。墨I［9］指出量子阱中的能級在電場作用下發(fā)生了移動．本文采用理想方勢阱模型，在有效質(zhì)量近似下，研究了施加電場作用的超晶格中單量子阱束縛態(tài)的能級結(jié)構(gòu)和電子態(tài)密度，得到了單量子阱體系的本征能量與本征函數(shù)的表達式，表明處于電場中的超晶格量子阱能級向低能方向移動，施加電場不影響超晶格量子阱子能帶的電子態(tài)密度．

1 未加電場超晶格量子阱能級

圖1 超晶格的結(jié)構(gòu)

超晶格量子阱中的載流子在二維空間中自由運動，在量子阱生長方向上的運動受到限制．采用有效質(zhì)量近似，將晶格周期勢對電子的作用歸并到電子質(zhì)量中去［10］，導(dǎo)帶底附近的電子(或價帶頂?shù)目昭?滿足單粒子阱薛定諤方程

式(1)中:m*是電子(空穴)的有效質(zhì)量;U(z)是超晶格生長方向(z方向)的有效勢．電子(空穴)在x-y平面內(nèi)自由運動，在z方向受到有效勢U(z)的束縛．電子(空穴)在x-y平面內(nèi)的運動模擬為理想界面，則電子(空穴)波函數(shù)Ψ(r)為

Ψ(r)代入式(1)，得到電子(空穴)在x-y平面和z方向運動滿足的薛定諤方程:

電子的運動在x-y平面內(nèi)為平面波，電子的總能量連續(xù)，在波矢空間的等能量曲線是一個圓．

由于摻雜不同(摻雜超晶格)或組分不同(組分超晶格)，超晶格能帶邊畸變，形成拋物形或直角形量子阱．只要超晶格量子阱的勢壘層足夠厚，量子阱之間的相互作用可以忽略，就可以把超晶格視為單量子阱的周期重復(fù)，超晶格的整體行為可視為單個量子阱的線性疊加，而多量子阱的問題就退化為單量子阱的問題．組成超晶格量子阱的2種材料的禁帶寬度不同，材料B的禁帶大于材料A的禁帶，在兩材料交界處能帶突變，稱為帶階(band offset)，材料A兩側(cè)導(dǎo)帶帶階的勢壘高度就是量子阱的阱深．例如典型的AlxGa1－xAs(材料 B)-GaAs(材料 A)-AlxGa1－xAs(材料 B)量子阱的導(dǎo)帶帶階為300 mV左右［11］．對于單量子阱，由于勢阱兩邊的勢壘遠高于阱中電子的能量E，電子將完全被束約在阱中，量子阱理想化為無限深勢阱［12］．組分超晶格的有效勢U(z)取拋物形勢阱模型，摻雜超晶格有效勢U(z)取無限深勢阱模型．這里以摻雜超晶格模型為例討論，有效勢U(z)取無限深勢阱．

解式(4)得到電子(空穴)在單量子阱中的波函數(shù)和能級

式(7)～式(8)中，Lz為勢阱寬度，超晶格量子阱生長方向能級不連續(xù)．

2 電場作用下超晶格量子阱的能級

沿量子阱生長方向施加電場F，量子阱的勢能表示為

電子(空穴)在x-y平面內(nèi)仍為自由運動，沿超晶格生長方向的薛定諤方程為

在文獻［8］的討論中，施加的電場為107V/cm量級;文獻［9］研究了電場作用下耦合量子阱和超晶格中的電子態(tài)，電場強度大于105V/cm時為強電場作用;文獻［12］認為量子阱中激子在強于105V/cm的外電場作用下不會被電離，量子阱依然具有強的限制作用．以此為判據(jù)，當(dāng)外加電場強度小于105V/cm時，外電場視為弱電場，否則為強電場．

2．1 弱電場作用

弱電場中，eFz視為微擾，無微擾時的波函數(shù)和能級由式(7)、式(8)表示．弱電場微擾作用下，能量和波函數(shù)一級修正為:

式(12)中，

將式(7)代入式(11)，求能量一級修正

式(7)代入式(12)，求得波函數(shù)一級修正

由此得

超晶格量子阱的所有能級都具有相同的一級修正量值，在弱電場F作用下，能級線性地向低勢能方向移動．

2．2 強電場作用

超晶格量子阱生長方向施加較強的電場F，電勢eFz已不能視為微擾，沿超晶格生長方向的薛定諤方程仍為式(10)，在動量表象中，式(10)的第1式表示為

式(18)中，φ(p)是動量表象中的波函數(shù)．式(18)的解為

式(19)中，A是歸一化常數(shù)．通過表象變換，將式(19)變到坐標表象，有

式(20)中，右邊是以γ為變量的Airy函數(shù)，C是歸一化常數(shù)，其中:

圖2是Airy函數(shù)的圖像，由圖2可以看出，當(dāng)γ＜0時，A(－γ)呈衰減振蕩．當(dāng) γ0= － 2．338，γ1= － 4．087，γ2= － 5．520，γ3=－6．787，γ4= － 7．944，…等值時，Airy 函數(shù)的值為零［13］．波函數(shù)的邊界條件是Φ(γ)|z=0=0，即

由式(22)得到電子的本征能量為

式(26)中，γn是Airy函數(shù)的零點．由于施加較強的電場，相鄰量子阱間的相互作用可看成微擾，隨外加電場增大，量子阱能級非線性地向低能方向移動．

3 超晶格中電子態(tài)密度

圖2 Airy函數(shù)

超晶格中電子在x-y平面內(nèi)自由運動，在k空間的等能量曲線是一個圓，計及電子的自旋，在x-y平面內(nèi)單位面積上允許存在的態(tài)密度是常數(shù)，即

電子的總能量為

式(28)中，Ezn是由式(16)或式(26)決定的量子阱生長方向的量子化能量．量子化能量構(gòu)成了一系列子能帶(微帶)，各個子能帶中電子的態(tài)密度相同．第n個子能帶的電子數(shù)為

式(29)中，f(E)是電子的費米分布．將式(27)代入式(29)，得

式(30)中:EF是費米能:k是玻爾茲曼常數(shù)．對于所有子能帶，超晶格量子阱中電子數(shù)為

電荷分布為

式(33)中，Φn(z)是和量子化能級對應(yīng)的波函數(shù)．

4 結(jié)論

實際的超晶格量子阱是周期性有限深勢阱．為了使討論問題簡單，采用了單量子阱近似和有效質(zhì)量近似，把直角形量子阱視為無限深勢阱，求得施加電場作用的超晶格量子阱的本征能量與本征函數(shù)．在弱電場作用下，超晶格量子阱的所有能級都具有相同的一級修正量值，電子能級向勢能低的方向移動．在強電場作用下，相鄰量子阱間的相互作用能可看成微擾，超晶格量子阱的量子化能級非線性地向低能方向移動．文獻［8-9］表明超晶格量子阱的能級在外電場作用下能級向低能方向移動，這和本文討論的結(jié)果基本一致，表明施加電場作用對超晶格量子阱能級的影響，使超晶格能級發(fā)生移動，進而影響超晶格量子化能級子能帶(微帶)大小，而不影響超晶格子能帶的電子態(tài)密度，電場在量子化能級基礎(chǔ)上產(chǎn)生了附加能量．

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