基于隨機(jī)期望值模型的時(shí)差定位最優(yōu)布站算法

王旭贏，劉雅奇，鄭燦

（解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥230037）

1 引 言

時(shí)差定位系統(tǒng)的定位精度與目標(biāo)位置以及站點(diǎn)的幾何布局有關(guān)[1]。適當(dāng)選擇定位站點(diǎn)的位置，可以極大地提高系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的定位精度。因此，有必要對(duì)各種定位系統(tǒng)最優(yōu)布站方法、策略進(jìn)行研究。但目前已有的對(duì)時(shí)差定位布站的研究，多是根據(jù)理論推導(dǎo)，得到針對(duì)個(gè)別特殊點(diǎn)的最佳布站策略[2，3]，或是對(duì)某些布站方式的優(yōu)劣進(jìn)行分析比較[4，5]，或者算法復(fù)雜，個(gè)別情況下難以收斂[6]。雖然得出了一些有關(guān)最優(yōu)布站準(zhǔn)則的結(jié)論，但卻不足以解決在各種定位和布站區(qū)域內(nèi)，時(shí)差定位站點(diǎn)的最優(yōu)布局問題。

綜上所述，本文針對(duì)目前時(shí)差定位布站研究中存在的問題，利用隨機(jī)期望值模型，對(duì)時(shí)差定位系統(tǒng)站點(diǎn)的最優(yōu)布局進(jìn)行研究。其目標(biāo)是在特定的布站區(qū)域內(nèi)，各站點(diǎn)針對(duì)定位目標(biāo)可能出現(xiàn)的區(qū)域形成最優(yōu)布站，所遵循的原則是定位系統(tǒng)在對(duì)定位區(qū)域內(nèi)任意位置目標(biāo)的定位誤差期望值最小。由此解決了在任意的定位和布站區(qū)域內(nèi)，定位系統(tǒng)的最佳布站問題。

2 時(shí)差定位誤差的計(jì)算模型

設(shè)布站區(qū)域內(nèi)，時(shí)差定位系統(tǒng)布設(shè)了i（i=1，2，…，n）個(gè)定位站點(diǎn)，其中站點(diǎn)1為時(shí)差定位的中心站點(diǎn)，如圖1所示。

圖中α1，α2，…，αn分別為第i個(gè)定位站點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的方向角。在高斯噪聲環(huán)境下，對(duì)處于定位區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的目標(biāo)，時(shí)差定位系統(tǒng)定位誤差的幾何平均值ˉσ可表示為[7]：

σ為定位系統(tǒng)對(duì)到達(dá)時(shí)間測(cè)量誤差對(duì)應(yīng)的距離誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。β1i為主站和站點(diǎn)i到目標(biāo)點(diǎn)方向的夾角，θ1i為主站和站點(diǎn)i分別到目標(biāo)點(diǎn)的方向角的平均值。

3 基于隨機(jī)期望值模型的最優(yōu)布站算法

3.1 問題提出

設(shè)時(shí)差定位系統(tǒng)的待定位區(qū)域?yàn)棣竤，可布站區(qū)域?yàn)棣竢。各定位站點(diǎn)布置在（xi，yi），（xi，yi∈Ωr，i=1，2，…，n）處。則通過式（1）、式（2），可以求得定位系統(tǒng)在Ωs內(nèi)任一點(diǎn)處的定位誤差。

然而在實(shí)際的定位問題中，目標(biāo)出現(xiàn)在定位區(qū)域內(nèi)的位置是不確定的。因此，評(píng)價(jià)一個(gè)布站策略的優(yōu)劣，不能只考慮定位區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)處的定位誤差。一種可行的方法是，計(jì)算待評(píng)估的布站策略下，整個(gè)定位區(qū)域Ωs內(nèi)的誤差積分[6]。但該方法計(jì)算過程過于復(fù)雜，且對(duì)于一些特殊點(diǎn)，可能出現(xiàn)誤差無窮大的情況[4]，從而影響算法的收斂。鑒于此，本文提出了基于隨機(jī)期望值模型的最優(yōu)布站算法。

考慮到二維的定位問題與三維的定位問題，在概念上并沒有實(shí)質(zhì)的差別。因此，為了分析的方便，本文主要對(duì)二維問題展開論述。

3.2 問題描述

由于目標(biāo)出現(xiàn)位置的不確定性，因此，可以將目標(biāo)坐標(biāo)ζ（εx，εy），（εx，εy∈Ωs）作為一組隨機(jī)變量。則由式（1）可知，目標(biāo)點(diǎn)處定位誤差的幾何平均值，是由ζ與（xi，yi）共同決定的不確定函數(shù)。可表示為：

通過隨機(jī)模擬，我們可以得到該不確定函數(shù)的期望值。則最優(yōu)的布站策略，就是要使得定位系統(tǒng)對(duì)定位區(qū)域內(nèi)任意目標(biāo)的定位誤差期望值最小，即滿足如下的隨機(jī)期望值模型：

將上式中的平面坐標(biāo)換成對(duì)應(yīng)的空間坐標(biāo)形式，就可以轉(zhuǎn)化為空間目標(biāo)定位的最優(yōu)布站模型。

3.3 模型求解

該隨機(jī)期望值模型可通過文獻(xiàn)[7]提出的混合智能算法，結(jié)合隨機(jī)模擬、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與遺傳算法求解。具體步驟如下：

STEP1：通過隨機(jī)模擬，為不確定函數(shù)U∶（xi，yi）→E[f（ζ，xi，yi）]產(chǎn)生輸入輸出數(shù)據(jù)。以定位區(qū)域?yàn)橹行脑谠c(diǎn)，邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域?yàn)槔?。?duì)應(yīng)于定位區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)ζ（εx，εy），εx和εy均為服從U（—1，1）分布的隨機(jī)變量。通過隨機(jī)模擬，產(chǎn)生N組目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)值，記為ζk=ζ（），（k=1，2，…，N）。則對(duì)于一個(gè)確定的布站策略（x1，y1，x2，y2，…，xn，yn），當(dāng)N→∞時(shí)，

STEP2：根據(jù)產(chǎn)生的輸入輸出樣本，訓(xùn)練一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（2n個(gè)輸入神經(jīng)元，1個(gè)輸出神經(jīng)元）來逼近不確定函數(shù)U∶（xi，yi）→E[f（ζ，xi，yi）]。

STEP4：對(duì)染色體進(jìn)行交叉和變異運(yùn)算，并根據(jù)式（4）中的約束條件檢驗(yàn)后代的可行性。

STEP5：通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算每組染色體的目標(biāo)值。計(jì)算結(jié)果對(duì)應(yīng)于該布站策略下，定位區(qū)域內(nèi)任意目標(biāo)的定位誤差的期望值。

STEP6：根據(jù)目標(biāo)值計(jì)算每組染色體的適應(yīng)度，并通過輪盤賭的方式選擇下一代染色體。

STEP7：重復(fù)步驟4至步驟7，直到完成給定的循環(huán)次數(shù)。

STEP8：找出最好的染色體作為最優(yōu)布站策略。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為便于同已有的理論推導(dǎo)結(jié)果相對(duì)照，本文的仿真實(shí)驗(yàn)，均考慮采用三個(gè)定位站點(diǎn)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位的情況。其中站點(diǎn)1為主站，站點(diǎn)2、3為副站。

實(shí)驗(yàn)1：布站區(qū)域限制在半徑為5km的圓形區(qū)域內(nèi)，定位區(qū)域Ωs為中心位于原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為1km的正方形區(qū)域，σ設(shè)為0.15km。種群規(guī)模為50，交叉概率Pc=0.3，變異概率Pm=0.2。隨機(jī)模擬3000代，產(chǎn)生2000個(gè)訓(xùn)練樣本，經(jīng)過5000次遺傳迭代后，得到的最佳布站如圖2所示。

由仿真結(jié)果可以推斷，當(dāng)待定位區(qū)域位于布站區(qū)域的中心，并且布站區(qū)域?yàn)閳A形時(shí)，最佳的布站方式為：定位站點(diǎn)沿著布站區(qū)域的邊界均勻分布。這與文獻(xiàn)[2]、[3]、[6]所推導(dǎo)或仿真得出的結(jié)論基本相符，且滿足文獻(xiàn)[4]提出的時(shí)差定位最優(yōu)布站的大部分原則（該情況下，個(gè)別原則無法同時(shí)滿足）。因此，算法所得結(jié)果應(yīng)接近于該情況下的最優(yōu)解。

實(shí)驗(yàn)2：布站區(qū)域?yàn)榘霃綖?km圓形區(qū)域，定位區(qū)域Ωs為中心位于點(diǎn)（2，2），邊長(zhǎng)為1km的正方形區(qū)域。其余仿真參數(shù)不變，得到的最佳布站如圖3所示。

由仿真結(jié)果可以推斷，當(dāng)待定位區(qū)域位于布站區(qū)域內(nèi)的一側(cè)時(shí)，最佳的布站方式為：主站（站點(diǎn)1）位于布站區(qū)域與定位區(qū)域中心的連線與定位區(qū)域邊界的交點(diǎn)處，副站（站點(diǎn)2、3）均勻分布于主站與目標(biāo)連線的兩側(cè)，三個(gè)定位站點(diǎn)均勻分布于靠待定位區(qū)域一側(cè)的半個(gè)圓周上。該布站方式能夠基本滿足文獻(xiàn)[4]提出的時(shí)差定位最優(yōu)布站的部分原則，亦符合文獻(xiàn)[8]提出的“任意兩個(gè)定位站點(diǎn)到目標(biāo)的夾角盡量的大”的最優(yōu)布站原則。因此，可以將其作為該情況下的最優(yōu)布站策略。

實(shí)驗(yàn)3：布站區(qū)域仍然為半徑為5km圓形區(qū)域，定位區(qū)域Ωs為中心位于點(diǎn)（0，8），長(zhǎng)為4km，寬為2km的長(zhǎng)方形區(qū)域。其余仿真參數(shù)不變，得到的最佳布站如圖4所示。

由仿真結(jié)果可以推斷，當(dāng)待定位區(qū)域位于布站區(qū)域以外的一側(cè)時(shí)，最佳的布站方式為：主站（站點(diǎn)1）位于布站區(qū)域與定位區(qū)域中心的連線之間，靠近布站區(qū)域的中心的一側(cè)；兩個(gè)副站（站點(diǎn)2、3）均勻分布于主站與目標(biāo)連線兩側(cè)的半個(gè)圓周上，三個(gè)定位站點(diǎn)呈倒三角形配置。這與文獻(xiàn)[6]提出的“各定位站點(diǎn)布設(shè)在一條直線上”的結(jié)論不符，但考慮到文獻(xiàn)[6]僅是針對(duì)“任意兩個(gè)定位站點(diǎn)到目標(biāo)的夾角盡量的大”的最優(yōu)布站原則得出的結(jié)論，且對(duì)布站區(qū)域的形狀大小沒有要求。而本文提出的布站策略，不但基本滿足了“任意兩個(gè)定位站點(diǎn)到目標(biāo)的夾角之和盡量的大”，且能較好的滿足文獻(xiàn)[4]提出的最優(yōu)布站原則。此外，將幾種布站方式的定位誤差期望進(jìn)行計(jì)算比較，當(dāng)主站位于兩副站連線上時(shí)，誤差的期望值為0.7966；當(dāng)主站位于布站區(qū)域上邊界時(shí)，誤差期望為0.8279；而本文所得布站方式的定位誤差期望為0.7705，優(yōu)于前兩種布站方法。因此認(rèn)為本文提出的布站方法更接近系統(tǒng)的最優(yōu)布局。

5 模型拓展

基于隨機(jī)期望值模型的時(shí)差定位最優(yōu)布站算法，解決了在定位站點(diǎn)數(shù)目一定的情況下，特定的定位和布站區(qū)域內(nèi)的定位站點(diǎn)最優(yōu)布局問題。然而實(shí)際的布站問題中，還可能存在一個(gè)問題：如何決定區(qū)域內(nèi)定位站點(diǎn)的數(shù)量，使得達(dá)到預(yù)期定位精度的條件下，付出的設(shè)備代價(jià)最小。為此，可以利用隨機(jī)期望值模型，計(jì)算出不同的站點(diǎn)數(shù)量（X）下，定位誤差的最小期望值（Y）。當(dāng)誤差滿足精度要求時(shí)，對(duì)應(yīng)的X即為最佳站點(diǎn)數(shù)量；也可以分別對(duì)站點(diǎn)數(shù)目和定位誤差賦予不同的權(quán)重（a＞0，b＞0），根據(jù)站點(diǎn)數(shù)目與定位誤差的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立線性函數(shù)f（X，Y）=aX+bY。函數(shù)取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的X即為最佳布站數(shù)目，X對(duì)應(yīng)的布站策略即為最優(yōu)布站策略。

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