高職高等數(shù)學(xué)課程生活實(shí)例教學(xué)法實(shí)踐研究

曾亮

高職高等數(shù)學(xué)課程生活實(shí)例教學(xué)法實(shí)踐研究

曾亮

高等數(shù)學(xué)是高職學(xué)生普遍認(rèn)為學(xué)習(xí)困難的一門課程，因此采用一種好的課堂教學(xué)方法尤為重要。擬結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，將生活實(shí)例教學(xué)法引入課堂教學(xué)，該教學(xué)法從知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)入、講解和應(yīng)用三個(gè)方面貫穿于整個(gè)課堂教學(xué)，這樣不僅使學(xué)生容易掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，而且能提高實(shí)際應(yīng)用能力。詳細(xì)列舉了該教學(xué)法的具體實(shí)踐，以期對(duì)廣大教師有所幫助。

課堂教學(xué);生活實(shí)例教學(xué)法;通俗化

現(xiàn)有高職類高等數(shù)學(xué)教材中普遍存在的情況是:實(shí)際例子很少，即使有一些實(shí)際例子，一是與日常生活聯(lián)系不夠緊密，不能很好地貼近身邊事;二是涉及知識(shí)點(diǎn)多，推導(dǎo)復(fù)雜，過(guò)于深?yuàn)W。由于高職學(xué)生普遍數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣不濃，如果依照這樣的教材授課，大部分學(xué)生就會(huì)感覺(jué)數(shù)學(xué)抽象枯燥，難以理解，聽(tīng)課就像聽(tīng)“天書”，與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，學(xué)了也沒(méi)多大用處，從而很難有好的學(xué)習(xí)效果。為了改善這種狀況，需要改革傳統(tǒng)的課堂教學(xué)方法和模式，筆者在教學(xué)實(shí)踐中嘗試了生活實(shí)例教學(xué)法，結(jié)果表明學(xué)習(xí)效果比歷屆有明顯提高，課堂更加活躍。

所謂生活實(shí)例教學(xué)法，就是在課堂教學(xué)中盡量把與學(xué)生生活周圍比較貼近的和熟知的事或物作為素材，創(chuàng)設(shè)為情景語(yǔ)言或編創(chuàng)為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，并靈活運(yùn)用于與學(xué)生的交流。所用生活實(shí)例應(yīng)重點(diǎn)體現(xiàn)三點(diǎn):一是貼近生活;二是簡(jiǎn)單易懂;三是略帶趣味性。通過(guò)生活實(shí)例教學(xué)法，能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)就在自己身邊，體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，使學(xué)生積極主動(dòng)地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，進(jìn)而非常順利地掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并提高了學(xué)生用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

一 具體實(shí)踐

一堂課一般有三個(gè)重要階段:知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)入、講解和應(yīng)用，下面就這三個(gè)階段分別介紹筆者在課堂教學(xué)中生活實(shí)例教學(xué)法的具體實(shí)踐。

1.知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)入。一堂高效的數(shù)學(xué)課，良好的開(kāi)端是必不可少的。恰當(dāng)?shù)膶?dǎo)入利于營(yíng)造良好的教學(xué)情境，集中學(xué)生的注意力，能很快把學(xué)生的注意力吸引到新知識(shí)的學(xué)習(xí)中來(lái)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生積極思維，喚起求知欲，為取得良好的教學(xué)效果奠定基礎(chǔ)。下面舉幾個(gè)具體實(shí)際例子。

例1數(shù)列極限。借用經(jīng)典的截丈問(wèn)題，即我國(guó)古代《莊子》中所說(shuō)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，解釋其中的意義從而闡述極限思想。

例2函數(shù)的極限(x→∞時(shí))。引入烤白薯問(wèn)題［1］:將一塊白薯放入烤箱中，若烤箱的溫度為恒溫100℃，問(wèn)白薯的溫度可否正好達(dá)到100℃，何時(shí)達(dá)到?通過(guò)解釋物理學(xué)中的熱交換原理，畫出白薯的溫度曲線圖，從圖中闡述當(dāng)時(shí)間逐漸增大時(shí)，相應(yīng)溫度值的變化情況。

例3平均變化率(導(dǎo)數(shù)的概念)。引入投資方式選擇問(wèn)題:現(xiàn)有兩種投資方式，一種是投資1000元可得到1100元的回報(bào)，另一種可得到1200元的回報(bào)，你會(huì)立即選擇第二種方式嗎?通過(guò)設(shè)立疑問(wèn)，讓學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)選擇哪種方式和所需的年份有關(guān)。然后繼續(xù)提出兩個(gè)問(wèn)題:(1)都需要1年，你選哪種投資方式?(2)若第一種需要1年，第二種需要3年，你會(huì)選擇哪種投資方式?最后得出結(jié)論:僅僅知道絕對(duì)該變量100元或200元是不夠的，但若知道了單位時(shí)間(1年)內(nèi)的改變量(即平均變化率)，你很快會(huì)作出抉擇。有了平均變化率的大致了解，接下來(lái)就引入經(jīng)典的瞬時(shí)速度問(wèn)題，從而得到導(dǎo)數(shù)的概念。

例4數(shù)學(xué)建模概念及步驟(函數(shù)的最值)。引入初中熟知的雞牛數(shù)量問(wèn)題:某農(nóng)場(chǎng)養(yǎng)了一群雞和一群牛，已知共有30個(gè)頭和100只腳，問(wèn)雞、牛數(shù)量各為多少?根據(jù)此題解法，得出數(shù)學(xué)建模概念及步驟。

例5定積分概念。引用經(jīng)典故事——“曹沖稱象”，然后解釋曹沖所用到的數(shù)學(xué)思想就是“間接分割(分割成很多石塊)——近似(稱出每一石塊的重量)——求和(將石塊重量加起來(lái))”，接下來(lái)就提出曲邊梯形求解問(wèn)題，從而得到定積分概念。

例6無(wú)窮級(jí)數(shù)概念。引入經(jīng)典的“芝諾悖論”:傳說(shuō)中的希臘英雄阿基里斯(Achilles)無(wú)論如何也趕不上一只烏龜:假設(shè)一開(kāi)始烏龜在前100碼(1碼=0.9144米)處，阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍。當(dāng)阿基里斯跑完了這100碼時(shí)，烏龜向前跑了10碼;當(dāng)阿基里斯跑完這10碼時(shí)，烏龜又向前跑了1碼，……，如此下去，阿基里斯永遠(yuǎn)也跑不過(guò)這只烏龜。這顯然是不可能的，但你如何能駁倒這一詭辯呢?根據(jù)此題的解法，得出無(wú)窮級(jí)數(shù)概念。

例7旋轉(zhuǎn)曲面。引入工藝品的形成過(guò)程:也許你去過(guò)工藝品制作間看過(guò)工藝品的制作過(guò)程，也許你在電視上見(jiàn)過(guò)工藝品的制作過(guò)程?，F(xiàn)假設(shè)我們要制作一個(gè)花瓶，制作時(shí)，要手扶泥坯，將其放在旋轉(zhuǎn)臺(tái)上，通過(guò)手扶泥坯，使旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的膠泥逐漸成型，從而形成工藝品坯，再燒制成工藝品。然后解釋這樣制作出的工藝品的外表面就為旋轉(zhuǎn)曲面，從而得出旋轉(zhuǎn)曲面的概念。

2.知識(shí)點(diǎn)講解。針對(duì)難以理解的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)解題思路，找一些日常生活中熟悉的、具有相似思想的例子，與這些做類比，使抽象內(nèi)容通俗化、形象化。下面列舉幾個(gè)具體例子。

例1基本初等函數(shù)?；境醯群瘮?shù)包括六類函數(shù):常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，每一類函數(shù)都有自己特定的性質(zhì)。這好比金庸筆下的《倚天屠龍記》中將正宗門派分為六大門派:少林、武當(dāng)、昆侖、峨眉、華山、崆峒，每派都有自己獨(dú)到的練功方法。

例2無(wú)窮小的比較。同為無(wú)窮小，但接近0的速度有快有慢。這好比同是由肇慶到北京，可以選擇不同的方式到達(dá)，有徒步、騎單車、坐火車、坐汽車、乘飛機(jī)等方式。很明顯，乘飛機(jī)比徒步快很多，說(shuō)明乘飛機(jī)比徒步在速度上高一個(gè)等級(jí)(高階)，即徒步比乘飛機(jī)在速度上低一個(gè)等級(jí)(低階);坐火車和坐汽車在速度上可能差不多(同階)，如果恰好非常接近的話，則可認(rèn)為速度等級(jí)上是基本相等的(等價(jià))。

例3一元函數(shù)的連續(xù)性概念［2］。在討論函數(shù)y=f(x)的連續(xù)性問(wèn)題時(shí)，就以室外有一根晾衣服的鐵絲為例，y=f(x)表示鐵絲曲線，假如一根鐵絲有三種不同的狀況，(1)穿過(guò)鐵絲的一個(gè)小環(huán)能夠順利地從一端滑到另一端(在滑行過(guò)程中小環(huán)始終保持與鐵絲有接觸點(diǎn))，則表示鐵絲是光滑的，也就認(rèn)為函數(shù)在其上的任意點(diǎn)處連續(xù);(2)鐵絲中間有一處斷開(kāi)，小環(huán)無(wú)法通過(guò)，則認(rèn)為函數(shù)在此處不連續(xù)(或稱為間斷)，而且這種間斷是比較嚴(yán)重的，稱為第二類間斷點(diǎn);(3)鐵絲中間有一處打了結(jié)，其上的小環(huán)無(wú)法通過(guò)，此時(shí)認(rèn)為函數(shù)在此處間斷，但這種間斷是可以“原諒的”，稱為第一類間斷點(diǎn)。

例4可導(dǎo)點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)。要評(píng)價(jià)一位理發(fā)學(xué)徒的技術(shù)是否過(guò)關(guān)，很重要一條就是看理出來(lái)的發(fā)型的邊緣線是否為光滑曲線，即不出現(xiàn)斷層、V字型等特征。

例5復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程是:由外往內(nèi)，一層一層去除(求導(dǎo))。這類似去裳原理，需從外面開(kāi)始一件一件脫，不能兩件一起脫(兩層一起去掉)，也不能從里往外脫(先對(duì)里層函數(shù)求導(dǎo)，再求外層函數(shù)的)。

例6泰勒公式。為找一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)Pn(x)逼近f(x)，那么這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)應(yīng)該和f(x)具有許多相似點(diǎn)(特征)，相似點(diǎn)越多就越逼近。這類似我們常說(shuō)兩個(gè)雙胞胎很像，是因?yàn)樗麄冎g具有許多相似的特征，比如相貌，身高，身材，動(dòng)作，語(yǔ)言，習(xí)慣，性格等等。相似的特征越多，則他們就越相像，達(dá)到幾乎一模一樣。為了使Pn(x)和f(x)之間具有許多相似的特征，那么則要求:(1)x0處相交;(2)x0處切線相同;(3)x0處彎曲方向一致等等，一共要求n個(gè)特征相似，即滿足……。

例7極值點(diǎn)?？赡艿臉O值點(diǎn)包含了駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，這兩種點(diǎn)究竟是不是極值點(diǎn)需要通過(guò)一定的法則來(lái)判定，在判定是極值點(diǎn)后，還要判定其是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。這類似于警察斷案，為確定兇犯，需要抓捕所有與本案有關(guān)的嫌疑犯，不能漏掉一人，接下來(lái)通過(guò)一定的方法找出誰(shuí)是兇犯。當(dāng)確定兇犯后，假如兇犯不止一人，那么下面就是具體判斷出誰(shuí)是主犯，誰(shuí)是從犯。

例8極值與最值關(guān)系。極值是一小范圍內(nèi)最大或最小，是從局部的角度觀察，而最值是從整個(gè)范圍即全局的角度來(lái)觀察。假如將全校學(xué)生視為整個(gè)范圍，現(xiàn)在有一高度函數(shù)，那么全校最高的學(xué)生的高度就是這個(gè)函數(shù)的最大值，而我們這個(gè)班最高的學(xué)生的高度是函數(shù)的極大值(只在這個(gè)班范圍內(nèi)是最大)。

例9定積分的概念。定積分實(shí)際上是滿足一定條件的函數(shù)經(jīng)過(guò)“分割——近似——求和——取極限”的過(guò)程后得到的結(jié)果。我們可以把這四個(gè)過(guò)程封裝起來(lái)，看作一處理器，這個(gè)處理器提供三個(gè)接口，f(x)、a和b，只要提供給這三個(gè)接口的數(shù)據(jù)有效，那么經(jīng)過(guò)處理器后就會(huì)通過(guò)處理器的輸出端得到一個(gè)結(jié)果，這個(gè)結(jié)果就是定積分。

3.知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用。選取一些生活中的實(shí)例作為知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，使學(xué)生能夠體會(huì)到原來(lái)數(shù)學(xué)就在我們身邊，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，并提高分析實(shí)際問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。下面列舉一些筆者在教學(xué)實(shí)踐中用到的實(shí)際例子。

例1數(shù)列的極限。商場(chǎng)折扣問(wèn)題:某商場(chǎng)在國(guó)慶期間推出“200送200”優(yōu)惠活動(dòng)，即用現(xiàn)金消費(fèi)滿200元?jiǎng)t送價(jià)值200元的優(yōu)惠券。優(yōu)惠券的使用方)式是:100元現(xiàn)金+價(jià)值100元優(yōu)惠券=價(jià)值200元商品。試問(wèn)(1)從顧客角度出發(fā)，最理想的優(yōu)惠折扣過(guò)程是怎樣?并解釋為什么是最理想的。(2)顧客能否享受到5折優(yōu)惠?

例2第二個(gè)重要極限。復(fù)利計(jì)算［4］:某顧客向銀行存入本金p元，n年后他在銀行的存款額是本金及利息之和。設(shè)銀行規(guī)定年利率為r，根據(jù)下列不同的結(jié)算方式計(jì)算顧客n年后的最終存款額。(1)每年結(jié)算一次;(2)每月結(jié)算一次，月利率為;(3)每年結(jié)算m次，每個(gè)結(jié)算周期的利率為;(4)當(dāng)m→∞時(shí)，結(jié)算周期為無(wú)窮小，這意味著銀行連續(xù)不斷地結(jié)算、付利息，這種存款方法稱為連續(xù)復(fù)利。試計(jì)算在該情況下顧客n年后的最終存款額。

例3零點(diǎn)定理。椅子放穩(wěn)問(wèn)題:在日常生活中，把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍微挪動(dòng)幾次，一般都可以使四只腳同時(shí)著地。試從數(shù)學(xué)的角度加以解釋。

例4介值定理。切煎餅問(wèn)題［5］:一個(gè)煎餅，不論形狀如何，必可切一刀，使其面積二等分。

例5函數(shù)的最值。賣項(xiàng)鏈問(wèn)題:某學(xué)生在暑假期間制作并銷售項(xiàng)鏈，他以10元一根出售，每天可售20根。當(dāng)他把價(jià)格每提高1元時(shí)，他每天就少售2根。(1)求價(jià)格函數(shù)(即價(jià)格與銷售量的函數(shù)關(guān)系，假定它是線性的);(2)如果制作一根項(xiàng)鏈的成本是6元，他以什么價(jià)格出售才能獲得最大利潤(rùn)?

例6定積分的性質(zhì)。賽馬問(wèn)題:兩個(gè)人賽馬，若在比賽中的任何時(shí)刻甲的馬的速度都比乙的馬的速度快，試問(wèn)是否甲的馬一定獲勝?請(qǐng)解釋你的結(jié)論。

例7微分方程。死亡時(shí)間判定:當(dāng)一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來(lái)的37℃，按照牛頓冷卻定律開(kāi)始變涼。假設(shè)2小時(shí)后尸體溫度變?yōu)?5℃，并且假定周圍空氣的溫度保持20℃不變。(1)求出謀殺發(fā)生后尸體的溫度H是如何作為時(shí)間t(單位:h)的函數(shù)隨時(shí)間變化的;(2)最終尸體的溫度將如何?用圖形和公式兩種方式表示出這一最終結(jié)果;(3)如果尸體被發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是30℃，時(shí)間是下午4時(shí)整，那么謀殺是何時(shí)發(fā)生的?

二 結(jié)語(yǔ)

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性的學(xué)科，是自然科學(xué)的基礎(chǔ)。所以要講好高等數(shù)學(xué)課就是一門大而難的學(xué)問(wèn)。將生活實(shí)例引入課堂教學(xué)不僅克服了數(shù)學(xué)概念的抽象性給學(xué)生所帶來(lái)的困惑，而且實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的生活化、數(shù)學(xué)概念的形象化，并能很好地與實(shí)際相結(jié)合，使學(xué)生真正感覺(jué)到數(shù)學(xué)不再抽象、難懂和難以應(yīng)用。生活實(shí)例教學(xué)法應(yīng)用于課堂教學(xué)，實(shí)踐證明對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量是效果顯著的。關(guān)于生活實(shí)例教學(xué)法的實(shí)踐希望今后有更大的進(jìn)展，也期望對(duì)廣大教師有所幫助。

［1］王信峰，等.大學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程［M］.北京:高等教育出版社，2001，48 －96，260 －261.

［2］郭永發(fā).＜高等數(shù)學(xué)＞課堂教學(xué)的通俗化［J］.青海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，22(6):93－97.

［3］曾亮.整體概念在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，23(2):48－50.

［4］劉樹(shù)利，等.計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2004，42 －43，87 －88.

［5］孫勝先，余丙森.幾道關(guān)于連續(xù)函數(shù)介值性質(zhì)的應(yīng)用題［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2010，23(5):41 －42.

On Teaching by Living Cases for Advanced Mathematics in Higher Vocational Colleges

Zeng Liang

Advanced mathematics is a course which is generally hard to learn for students in higher vocational colleges，so it is particularly important that the teacher adopts a good teaching method in class.Combining with the teaching practice，the paper introduces teaching by living cases method which concerns three aspects，such as knowledge introduction，interpretation and the application.This method is not only easy for college students to master what they studied，but also enhance the practical ability to solve the mathematic problems.The paper discussed the specific practices of the new teaching method.

classroom teaching;the living case teaching method;popularization

G712

A

1672－6758(2011)07－0026－2

曾亮，碩士，講師，肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東·肇慶。郵政編碼:526114

肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目“高職高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)手段與方法研究”(201001);項(xiàng)目負(fù)責(zé)人:曾亮

Class No.:G712Document Mark:A

(責(zé)任編輯:池春姬 鄭英玲)