半平面中有限階調(diào)和函數(shù)的積分表示

閆峰,韓建華,張艷霞

(1.邯鄲學(xué)院數(shù)學(xué)系,河北邯鄲 056005;2.邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處,河北邯鄲 056005)

半平面中有限階調(diào)和函數(shù)的積分表示

閆峰1,韓建華2,張艷霞1

(1.邯鄲學(xué)院數(shù)學(xué)系,河北邯鄲 056005;2.邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處,河北邯鄲 056005)

修改的Poisson核的性質(zhì)證明了右半平面中具有有限階的調(diào)和函數(shù)可以用它在半平面邊界上的積分表示出來(lái),改進(jìn)了一些相關(guān)研究成果.

調(diào)和函數(shù);修改的 Poisson核;積分表示

MSC 2010:34A07

稱為右半平面C+中的m階修改的Poisson核[1],顯然有P0(z,t)=P(z,t).利用文獻(xiàn)[2-4]得到了關(guān)于它的一些結(jié)果,利用文獻(xiàn)[5]中方法易證Pm(z,t)具有如下性質(zhì):當(dāng)z=x+iy,x＞0,|z|≥4時(shí),有

設(shè)u是右半平面C+中具有有限階ρu的調(diào)和函數(shù),則存在u(z)的共軛調(diào)和函數(shù)v(z),使得u(z)+iv(z)是C+中的解析函數(shù).令f(z)=exp{u(z)+iv(z)},則對(duì)任意的R＞1,由于u(z)在半圓{z=reθi∶0＜r＜R,|θ|＜π/2}中有上界,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)y,角極限log|f(iy)|=u(iy)幾乎處處存在且有限[4-7],并且u(iy)在 R=(-∞,∞)上Lebesgue可測(cè).其中則有如下結(jié)果.

定理1設(shè)u是右半平面C+中具有有限階ρu的調(diào)和函數(shù),則下列結(jié)論成立:

以下證明中A表示一個(gè)正常數(shù),在不同式子中可代表不同的常數(shù).

定理1的證明設(shè)u是右半平面C+中具有有限階ρu的調(diào)和函數(shù),則當(dāng)r＞1時(shí),由調(diào)和函數(shù)的Carleman公式[4]所以式(3)成立.從而定理中的(1)成立.

如果ρu＜1,則式(10)中的A(1+rρu-1)≤2A,故(2)成立.

從而定理1得證.

定理2的證明設(shè)整數(shù)m∈(ρu-1,ρu],α1,α∈(ρu-1,m],且α＞α1,利用修改的m階 Poisson核的性質(zhì)(2),對(duì)于0＜|t|≤2|z|,

函數(shù)X(z)是u(it)χ[-2T,2T](t)的Poisson積分,因此在C+中調(diào)和,且當(dāng)z→iy0,X(z)→u(iy0).Sm(z,t)是一個(gè)調(diào)和多項(xiàng)式,滿足Sm(iy,t)≡0,因此Y(z)也是一個(gè)調(diào)和多項(xiàng)式,滿足Y(iy)=0(y∈(-∞,∞));同理由式(4)可證明Z(z)在C+中調(diào)和并且可以延拓成閉集中連續(xù)函數(shù),滿足Z(iy)=0,|y|≤T.所以由T＞|y0|+1的任意性,函數(shù)um(z)在C+中調(diào)和并且可以延拓為閉右半平面中連續(xù)函數(shù),滿足um(iy)=u(iy),(y∈(-∞,∞)).

設(shè)ω(z)=u(z)-um(z),由Schwarz[10]反射原理,存在一個(gè)整函數(shù)

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[10]RUD IN W.Real and comp lex analysis[M].3rd edition.M cGraw-Hill：China Machine Press,1987.

Integral Representation of Harmonic Function of Finite Order in a Half-plane

YAN Feng1,HAN Jian-hua2,ZHANG Yan-xia1
(1.Department of Mathematics,Handan College,Handan 056005,China;2.Office of Academic Affairs,Handan Polytechnic College,Handan 056005,China)

U sing a p roperty of the modified Poisson kernel in a half-p lane,it is p roved that a harmonic function of finite order in a half-plane can be rep resented by its integral on the boundary of the half-p lane.

harmonic function;modified Poisson kernel;integral rep resentation

O 174.5;O 174.52

A

1000-1565(2011)04-0348-04

2011-03-04

閆峰(1971-),女,河北邯鄲人,邯鄲學(xué)院副教授,主要從事復(fù)分析方面的研究.E-mail：yan_tian310@126.com

王蘭英)