隨機(jī)過(guò)程的第二類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)表達(dá)

孫偉玲，陳建兵，李 杰

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

過(guò)去50年來(lái)，隨機(jī)動(dòng)力學(xué)研究取得了重要的成就，并在科學(xué)與工程的諸多領(lǐng)域中獲得了日益廣泛的重視與應(yīng)用［1－2］.如何根據(jù)隨機(jī)過(guò)程的概率信息（如有限維聯(lián)合分布、時(shí)域統(tǒng)計(jì)矩或功率譜密度函數(shù)等）生成隨機(jī)過(guò)程的樣本，是隨機(jī)動(dòng)力學(xué)研究中的重要問(wèn)題.國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了卓有成效的研究，發(fā)展了諸如譜表示方法［3］、Karhunen－Loève分解［4－5］、雙重正交分解方法［6］和取樣定理方法［7］等不同途徑，其中譜表示方法獲得了較為廣泛的應(yīng)用.然而，由于在某種意義上采用了無(wú)窮級(jí)數(shù)，當(dāng)截取有限項(xiàng)近似時(shí)，所有這些方法獲得隨機(jī)過(guò)程的概率信息只是目標(biāo)概率信息的近似表達(dá).在應(yīng)用較廣的譜表示方法中，通常需要引入數(shù)百個(gè)隨機(jī)變量，這大大增加了隨機(jī)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題求解的難度.

事實(shí)上，早在1969 年，Goto和Toki就提出了一類(lèi)頻率和相位同時(shí)具有隨機(jī)性的譜表示方法，由此獲得的隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)精確地等于目標(biāo)功率譜密度函數(shù)［8］.1971年，Shinozuka對(duì)這一方法進(jìn)行了更為詳細(xì)的研究［9］.然而，由于他們關(guān)心的重點(diǎn)是隨機(jī)取樣即隨機(jī)過(guò)程的樣本模擬，因此，對(duì)于樣本集合的精確概率信息并不關(guān)心.有鑒于此，從取樣頻率的優(yōu)化選擇出發(fā)［10］，陳建兵和李杰獨(dú)立地提出了一類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)［11］，其中的諧和分量頻率分別在經(jīng)過(guò)剖分的子區(qū)間內(nèi)隨機(jī)分布.研究表明：利用這類(lèi)函數(shù)，通過(guò)有限項(xiàng)數(shù)（通常不超過(guò)10 項(xiàng)）的分解，即可反映目標(biāo)隨機(jī)過(guò)程的概率分布特性，從而極大地降低了隨機(jī)函數(shù)中隨機(jī)變量的數(shù)目.受此啟發(fā)，本文提出了一類(lèi)新的隨機(jī)諧和函數(shù)模型（其分量幅值、頻率與相位均為隨機(jī)變量），證明了當(dāng)隨機(jī)頻率與相位服從獨(dú)立均勻分布而幅值由頻率與目標(biāo)功率譜密度決定時(shí)，無(wú)論隨機(jī)諧和函數(shù)分量的個(gè)數(shù)是多少，該隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)均精確地等于目標(biāo)功率譜密度函數(shù).文中研究了此類(lèi)隨機(jī)函數(shù)的漸進(jìn)正態(tài)性，并詳細(xì)研究了相應(yīng)隨機(jī)過(guò)程分布的性質(zhì).最后，以數(shù)值實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證.為明確計(jì)，本文將文獻(xiàn)［11］中的模型稱(chēng)為第一類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)，而將本文研究的模型稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的第二類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)表達(dá).與第一類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)相比，由于第二類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)頻率為均勻分布，應(yīng)用更為方便.

1 第二類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)

考察隨機(jī)諧和函數(shù)YN（t）

式中：A（ωi），ωi和φi分別為第i個(gè)諧和分量的幅

當(dāng)ωi和φi均為隨機(jī)變量時(shí)，YN（t）是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程.易知，若φi服從（0，2π］的獨(dú)立均勻分布，則YN（t）的自相關(guān)函數(shù)為

這里E［·］表示取數(shù)學(xué)期望.而RYN（τ）的Fourier變換則給出YN（t）的功率譜密度函數(shù)為

設(shè)Y（t），－∞＜t＜∞是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其相關(guān)函數(shù)為RY（τ），－∞＜τ＜∞，功率譜密度函數(shù)為SY（ω），－ωu≤ω＜ωu，它們構(gòu)成一個(gè)Fourier變換對(duì)，滿(mǎn)足維納－辛欽關(guān)系.記Y（t）的單邊功率譜為GY（ω），有GY（ω）＝2SY（ω），0 ≤ω≤ωu.

對(duì)式（1）所示隨機(jī)諧和函數(shù)，可以證明存在以下定理.

定理1 若式（1）隨機(jī)諧和函數(shù)過(guò)程YN（t）中的A（ωi），ωi和φi分別滿(mǎn)足：

（Ⅰ）φi，i＝1，2，…，N為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從（0，2π］的均勻分布；

（Ⅱ）ωi，i＝1，2，…，N為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從區(qū)間的均勻分布，概率密度函數(shù)為

（Ⅲ）A（ωi），i＝1，2，…，N為隨機(jī)變量ωi的函數(shù)，且

則由式（1）表達(dá)的隨機(jī)過(guò)程YN（t）的功率譜密度函數(shù)為SY（ω）.

證明YN（t）的相關(guān)函數(shù)由式（2）給出，將式（4），（5）代入，有

因而功率譜密度函數(shù)為

證畢.

定理1表明：采用形如式（1）具有隨機(jī)相位和隨機(jī)頻率的諧和分量合成的隨機(jī)過(guò)程，當(dāng)相位角為（0，2π］之間均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量，諧和分量頻率服從相應(yīng)頻率區(qū)間的均勻分布，幅值為關(guān)于隨機(jī)頻率的函數(shù)時(shí)，則該隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)與目標(biāo)功率譜密度函數(shù)完全相同.換而言之，式（1）中的隨機(jī)過(guò)程是精確的譜表達(dá)形式，為與文獻(xiàn)［11］中模型相區(qū)別，這里稱(chēng)之為第二類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)表達(dá).同時(shí)，由于A（ωi）是ωi的函數(shù)，因此，在式（1）中，基本的隨機(jī)變量是ωi與φi，而A（ωi）則可稱(chēng)之為關(guān)聯(lián)隨機(jī)變量.

2 第二類(lèi)隨機(jī)諧和過(guò)程的基本性質(zhì)

2.1 平穩(wěn)性和漸進(jìn)正態(tài)性

易知，YN（t）的平均值μYN＝E［YN（t）］＝0，而相關(guān)函數(shù)由式（2）給出，僅依賴(lài)于時(shí)間差τ而與時(shí)間t無(wú)關(guān)，因此YN（t）是一個(gè)零均值2階平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程.

利用Laning－Battin于1956年提出的雙變量中心極限定理［12］，證明若滿(mǎn)足定理1的條件，則當(dāng)N→∞時(shí)，式（1）中的隨機(jī)過(guò)程YN（t）任意n個(gè)時(shí)間點(diǎn)的截口隨機(jī)變量組成的隨機(jī)向量（YN（t1），YN（t2），…，YN（tn））趨向于多維聯(lián)合正態(tài)分布.

對(duì)于式（1）定義的隨機(jī)過(guò)程YN（t），定義

令Z1，Z2，…，ZN是N個(gè)獨(dú)立雙變量隨機(jī)向量Zi＝（Xi，Yi），i＝1，2，…，N，其1階矩與2階矩存在且已知.定義向量和為

Laning－Battin 定 理 指 出［12］：當(dāng)N→∞時(shí)，Z＝（X，Y）趨向于雙變量正態(tài)分布的充分必要條件是

事實(shí)上由于E（Xi）＝0，E（Yi）＝0，有

將式（4），（5）代入式（11），有

類(lèi)似地可以證明式（10）中第2式.根據(jù)Laning－Battin定理，可知Z＝（YN（tX），YN（tY））是漸進(jìn)正態(tài)的.根據(jù)多維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì)，從上述結(jié)論立即可以推廣到，當(dāng)N→∞時(shí)任意n個(gè)時(shí)刻隨機(jī)向量（YN（t1），YN（t2），…，YN（tn））均為漸進(jìn)正態(tài)的.

2.2 截口概率密度函數(shù)

2.2.1 偏度與峰度系數(shù)

為了進(jìn)一步了解第二類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)YN（t）的性質(zhì)，以下考察YN（t）的截口隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)pYN（y，t）.為此，首先計(jì)算YN（t）的前4階中心矩.顯然均值μYN＝E［YN（t）］＝0，標(biāo)準(zhǔn)差σ2YN＝階中心矩是

而4階中心矩為

為了方便，這里記A（ωi）為Ai.由此可知，偏度系數(shù)為

而峰度系數(shù)為

對(duì)于第二類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)，將式（4），（5）代入式（17），有

當(dāng)取Δω1＝Δω2＝…＝ΔωN＝Δω＝ωu／N時(shí)，則有

則

這里λ是一個(gè)不依賴(lài)于N的常數(shù)，僅與功率譜密度函數(shù)的形狀有關(guān).由Cauchy不等式，有

將式（22）代入式（20），可知λ≥1.當(dāng)GY（ω）＝G0是一個(gè)常數(shù)時(shí)，λ＝1.

對(duì)于常用的地震動(dòng)功率譜模型，一般1 ≤λ≤2.以Kanai－Tajimi 譜 為 例，此 時(shí)，功 率 譜 密 度 函數(shù)為［13］

式中：ζ為場(chǎng)地阻尼比；ω0為場(chǎng)地卓越頻率；S0為高斯白噪聲譜密度.根據(jù)文獻(xiàn)［14］，選取硬土場(chǎng)地的參數(shù)為ω0＝16.9rad·s－1，β＝0.94，截止頻率ωu＝100rad·s－1，代入式（20）可知λ＝1.63.

而對(duì)Clough－Penzien譜［15］

根據(jù)文獻(xiàn)［16］，取中硬場(chǎng)地土參數(shù)ω1＝17.95 rad·s－1，ζ1＝ζ2＝0.72，ω2＝0.1ω1.分析中取截止頻率ωu＝100rad·s－1，則λ＝1.95.

2.2.2 Pearson分布函數(shù)

采用Pearson分布函數(shù)族［17］，可獲得pYN（y，t）的表達(dá)式

為考察pYN（y，t）趨于正態(tài)分布的速率，不妨分析σ2＝1的情況.這時(shí)根據(jù)式（26），將各階矩代入，可知

其中C為滿(mǎn)足概率相容條件的常數(shù)

將（4N－5λ）／λ取整，則利用三角函數(shù)的積分公式可得

根據(jù)Wallis公式［18］

可知

采用相對(duì)熵［19］來(lái)比較2個(gè)概率密度函數(shù)相近似的程度.記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)為φ（y）＝，則pYN（y），φ（y）的相對(duì)熵為

為避免奇異問(wèn)題，當(dāng)pYN（y）＝0時(shí)，可以pYN（y）＝ε替代，ε可取一小量，例如10－8.

當(dāng)2個(gè)概率密度函數(shù)完全相同時(shí)，相對(duì)熵為零.當(dāng)2個(gè)概率密度函數(shù)相差越大時(shí)，相對(duì)熵絕對(duì)值越大.將式（27）代入式（32），并將ln（1－λy2／（4N－2λ））的Taylor展開(kāi)式代入，可得

顯 然，隨 著N→∞，有H（pYN，φ）＝

圖1給出式（27）參數(shù)λ取值為1.6和1.9時(shí)隨機(jī)頻率諧波分量不同個(gè)數(shù)時(shí)的截口概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對(duì)比，圖2為上述分布的相對(duì)熵.從圖1可以直觀地看到，隨著N的增大，YN（t）的1維概率密度函數(shù)pYN（y，t）很快趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而其相對(duì)熵則很快地趨近于零.比較圖1a，b可以發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)頻率諧波分量N相同時(shí)，參數(shù)λ越接近1則分布越接近于正態(tài)分布.對(duì)于常用地震動(dòng)功率譜模型，一般1≤λ≤2，所以隨機(jī)頻率諧波分量N相同時(shí)，由不同的功率譜密度函數(shù)生成的第二類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)過(guò)程YN（t），其截口概率密度函數(shù)相差不大.

圖1 1維概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Fig.1 One－dimensional probability density function and standard normal distribution

2.3 隨機(jī)諧和函數(shù)的項(xiàng)數(shù)

當(dāng)N＝1時(shí)，YN（t）退化為單一隨機(jī)頻率諧和過(guò)程Y1（t）＝A（ω）cos（ωt＋φ）.根據(jù)定理1，當(dāng)φ為（0，2π］之間均勻分布的隨機(jī)變量，ω服從［0，ωu］均勻分布的功率譜密度函數(shù)精確地等于目標(biāo)功率譜密度函數(shù).在此情況下，僅用1個(gè)隨機(jī)諧和分量，即可完全把握SY（ω）所含有的概率信息.

圖2 1維分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的相對(duì)熵Fig.2 Relative entropy between one－dimensional probability density function and standard normal distribution

雖然僅有1項(xiàng)可完全表征功率譜密度函數(shù)，但從1維概率密度函數(shù)來(lái)看，若需要逼近正態(tài)分布，則需項(xiàng)數(shù)N＞1.按照式（32）定義的相對(duì)熵，可以衡量目標(biāo)概率密度與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的接近程度.由圖2可知，若取相對(duì)熵，則當(dāng)λ＝1.6時(shí)，N＞7即可；當(dāng)λ＝1.9時(shí)，N＞8即可.

3 數(shù)值算例

考慮功率譜密度函數(shù)為式（24）所示Clough－Penzien譜的隨機(jī)過(guò)程，參數(shù)取值依照2.2.1節(jié).根據(jù)上述原理，圖3是10個(gè)隨機(jī)頻率與1 000個(gè)確定性頻率諧和分量的典型地震動(dòng)時(shí)程，圖4是10個(gè)隨機(jī)頻率與1 000個(gè)確定性頻率諧和分量生成地震動(dòng)的功率譜密度函數(shù)同目標(biāo)譜的比較.從直觀上看，二者的地震動(dòng)時(shí)程沒(méi)有明顯的定性差別，2種方法生成地震動(dòng)的功率譜密度函數(shù)同目標(biāo)功率譜密度函數(shù)都十分相近，且10個(gè)隨機(jī)頻率生成的地震動(dòng)與目標(biāo)功率譜更為一致.圖5是10個(gè)隨機(jī)諧和分量與經(jīng)典譜表達(dá)中取1 000個(gè)確定性頻率諧和分量時(shí)合成隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，可見(jiàn)二者吻合良好.

圖6給出一個(gè)9層結(jié)構(gòu)在隨機(jī)地震動(dòng)作用下的線(xiàn)性與非線(xiàn)性層間位移和內(nèi)力響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差過(guò)程.圖7是典型樣本的線(xiàn)性與非線(xiàn)性恢復(fù)力曲線(xiàn)過(guò)程，表明結(jié)構(gòu)進(jìn)入了嚴(yán)重的非線(xiàn)性階段.從圖6可見(jiàn)，無(wú)論是線(xiàn)性還是非線(xiàn)性情況，10個(gè)隨機(jī)諧和分量合成的隨機(jī)地震動(dòng)作用下，結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差均具有很高的精度.結(jié)合概率密度演化方法，可進(jìn)一步深入進(jìn)行非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)響應(yīng)及抗震可靠度的概率密度演化分析［2］.限于本文主題和篇幅，在此不再贅述.

圖6 結(jié)構(gòu)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差Fig.6 Standard deviation of structure response

圖7 典型線(xiàn)性與非線(xiàn)性恢復(fù)力曲線(xiàn)Fig.7 Typical hysteresis curves for linear and nonliear structures

4 結(jié)論

本文提出的隨機(jī)諧和函數(shù)具有漸進(jìn)正態(tài)性，可以以較少的隨機(jī)諧和分量合成具有較豐富概率信息的隨機(jī)過(guò)程.研究表明：當(dāng)隨機(jī)頻率與相位服從獨(dú)立均勻分布而幅值由頻率與目標(biāo)功率譜密度決定時(shí)，無(wú)論隨機(jī)諧和函數(shù)的分量數(shù)目是多少，相應(yīng)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)均精確地等于目標(biāo)功率譜密度函數(shù).同時(shí)，由于這類(lèi)隨機(jī)諧和函數(shù)中頻率為均勻分布，因此更為方便應(yīng)用.文中以多自由度體系在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程激勵(lì)下的響應(yīng)分析為例，驗(yàn)證了所建議隨機(jī)諧和函數(shù)用于隨機(jī)過(guò)程表達(dá)的有效性.

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