帶負(fù)顧客的GI/Geom/1工作休假排隊(duì)

郭曉瓊， 馬占友

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

帶負(fù)顧客的GI/Geom/1工作休假排隊(duì)

郭曉瓊， 馬占友

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

考慮帶負(fù)顧客的GI/Geom/1工作休假排隊(duì)．負(fù)顧客一對(duì)一抵消正在服務(wù)的正顧客(若有)，若系統(tǒng)中無正顧客，到達(dá)的負(fù)顧客自動(dòng)消失，負(fù)顧客不接受服務(wù)．服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù)．工作休假策略為空竭服務(wù)多重工作休假．用矩陣幾何解方法,求得到達(dá)前夕系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布、隊(duì)長(zhǎng)分布的概率母函數(shù)及平均隊(duì)長(zhǎng)．

離散時(shí)間排隊(duì)； 負(fù)顧客； 工作休假； 矩陣幾何解； 穩(wěn)態(tài)分布； 母函數(shù)

0 引言

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者已對(duì)經(jīng)典休假排隊(duì)系統(tǒng)作了廣泛而深入的研究[1-3].在實(shí)際中，休假時(shí)服務(wù)員不完全停止工作，而是以較慢的速率進(jìn)行服務(wù)，這樣的系統(tǒng)稱為工作休假排隊(duì)系統(tǒng)．當(dāng)較慢的服務(wù)速率退化為零時(shí)，就得到了經(jīng)典休假模型．故工作休假排隊(duì)是經(jīng)典休假排隊(duì)的一種推廣．Servi等[4]最早引入了工作休假策略，從而引發(fā)了各種離散時(shí)間工作休假排隊(duì)的研究．目前，工作休假排隊(duì)系統(tǒng)[4-6]已成為國(guó)內(nèi)外專家研究的熱點(diǎn)．

作者研究工作休假策略下的離散時(shí)間排隊(duì)，所謂離散時(shí)間排隊(duì)是指到達(dá)間隔和服務(wù)時(shí)間都是正整值隨機(jī)變量的排隊(duì)模型．帶負(fù)顧客的排隊(duì)模型[7-8]已應(yīng)用于一些領(lǐng)域，如通信系統(tǒng)、生產(chǎn)制造系統(tǒng)、銷售系統(tǒng)等．負(fù)顧客可看成服務(wù)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一次對(duì)服務(wù)臺(tái)的外來干擾．

1 模型的描述

GI/M/1排隊(duì)的離散時(shí)間變體是GI/Geom/1模型，在GI/Geom/1工作休假排隊(duì)系統(tǒng)中引入帶RCH(removal customers at the head)抵消策略的負(fù)顧客，顧客到達(dá)只能發(fā)生于離散時(shí)刻t=n-,n=0,1,2,…,服務(wù)的開始和結(jié)束都發(fā)生于離散時(shí)刻t=n+．該系統(tǒng)是具有正、負(fù)兩類顧客的單服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，一旦系統(tǒng)內(nèi)無正顧客，服務(wù)員立刻開始一個(gè)隨機(jī)長(zhǎng)度V的工作休假．在工作休假期間，服務(wù)員以低的服務(wù)率接待正顧客．若結(jié)束一次工作休假時(shí)系統(tǒng)內(nèi)無正顧客，則繼續(xù)一個(gè)獨(dú)立同分布的工作休假．若在一個(gè)工作休假期結(jié)束時(shí)系統(tǒng)中已有正顧客，則服務(wù)員終止工作休假并開始以正常服務(wù)率(即更高的服務(wù)率)接待正顧客，并開始一個(gè)新的正常忙期，直到服務(wù)臺(tái)再次變?yōu)榭臻e．負(fù)顧客的到達(dá)服從幾何分布．模型的基本假設(shè)是：

假設(shè)到達(dá)間隔、服務(wù)時(shí)間和工作休假時(shí)間是相互獨(dú)立的，并服從先到先服務(wù)規(guī)則．

2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

2.1嵌入Markov鏈

Ω={(k,0),k≥0}∪{(k,1),k≥1}．

其中，kj(j≥0)表示正常服務(wù)期一個(gè)到達(dá)間隔離去j個(gè)正顧客的概率；bj(j≥0)表示工作休假時(shí)間大于一個(gè)到達(dá)間隔時(shí)間，并在該到達(dá)間隔內(nèi)離去j個(gè)正顧客的概率；cj(j≥0)表示工作休假時(shí)間小于一個(gè)到達(dá)間隔，并在整個(gè)到達(dá)間隔內(nèi)恰好離去j個(gè)正顧客的概率．它們的母函數(shù)分別計(jì)算為

2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析

①當(dāng)從狀態(tài)(i,1)到(j,1)時(shí)，表示正常服務(wù)期一個(gè)到達(dá)間隔內(nèi)離去i+1-j個(gè)正顧客，有

(1)

(2)

③當(dāng)從狀態(tài)(i,0)到(j,1)時(shí)，表明工作休假時(shí)間小于到達(dá)間隔且在該間隔內(nèi)恰好離去i+1-j個(gè)正顧客．假設(shè)在工作休假期內(nèi)離去k個(gè)正顧客，正常服務(wù)期內(nèi)離去i+1-j-k個(gè)正顧客，則有

(3)

④當(dāng)從狀態(tài)(i,0)到(0,0)和狀態(tài)(i,1)到(0,0)時(shí)，類似分析給出

2.3轉(zhuǎn)移矩陣

因此，f(z)在(0,1)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．

(7)

對(duì)方程(7)的各項(xiàng)計(jì)算是：

將這些結(jié)果代入方程(7)，得到r12=β(σ-α)>0.

3 穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布及隨機(jī)分解

定理2當(dāng)ρ<1且0<θ<1時(shí)，到達(dá)前夕的穩(wěn)態(tài)分布是

因此，穩(wěn)態(tài)下到達(dá)前夕的隊(duì)長(zhǎng)L-分布是

穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)處于工作休假和正規(guī)忙期的概率分別是

證明對(duì)隊(duì)長(zhǎng)L-的分布取母函數(shù)，有

由上述隨機(jī)分解結(jié)果，可得到達(dá)前夕的平均隊(duì)長(zhǎng)

4 數(shù)值例子

通過分析，得到了穩(wěn)態(tài)下的平均隊(duì)長(zhǎng)．顯然，在該模型中如果改變系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置，將對(duì)系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)有一定的影響．該部分主要考慮正顧客的到達(dá)間隔服從定長(zhǎng)分布的特殊模型，其中，約定參數(shù)λ=0.5．

根據(jù)平均隊(duì)長(zhǎng)E(L-)的表達(dá)式，當(dāng)μb=0.6和μv=0.2時(shí)，隨著ε的增加，E(L-)相應(yīng)減少．如果固定ε值，隨著θ的增加，E(L-)也相應(yīng)減少(見圖1)；當(dāng)μb=0.6和θ=0.3時(shí)，隨著μv的增加，E(L-)相應(yīng)減少．如果固定μv值，隨著ε的增加，E(L-)也相應(yīng)減少(見圖2)．

圖1 E(L-)隨ε的變化趨勢(shì)Fig.1 The relation of E(L-) with ε

圖2 E(L-)隨μv的變化趨勢(shì)Fig.2 The relation of E(L-) with μv

[1] Takagi H.Queueing Analysis[M].Amsterdam:North-Holland,1993:89-183.

[2] 田乃碩.休假隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)[M].北京：北京大學(xué)出版社,2001:36-97．

[3] 田乃碩,岳德權(quán).擬生滅過程與矩陣幾何解[M].北京：科學(xué)出版社,2002:39-77．

[4] Servi L,Finn S. M/M/1 queue with working vacations[J].Performance Evaluation,2002,50(1):41-52．

[5] Baba Y．Analysis of a GI/M/1 queue with multiple working vacation[J].Operations Research Letters,2005,33(2):201-209．

[6] 楊順利,田乃碩.N策略工作休假M(fèi)/M/1排隊(duì)[J].運(yùn)籌與管理,2007,16(4): 50-55．

[7] 朱翼雋,陳燕.負(fù)顧客排隊(duì)系統(tǒng)的研究進(jìn)展[J]. 江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2004,25(1):48-51．

[8] 朱翼雋,陳燕,胡波.具有負(fù)顧客的GI/M/1休假排隊(duì)模型[J].江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2004,25(4):315-318．

[9] 田乃碩,徐秀麗,馬占友.離散時(shí)間排隊(duì)論[M].北京：科學(xué)出版社,2008:141-144．

TheGI/Geom/1QueuewithNegativeCustomersandWorkingVacations

GUO Xiao-qiong, MA Zhan-you

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

A GI/Geom/1 queue with negative customers and working vacations was discussed. Negative customers removed positive customers only one by one at the tail(if present). When a negative customer arrived,if the system was empty,it would disappear. Negative customers need no services. The serve rule was first come first served. The working vacation policy was exhaustive and multiple working vacations.By using matrix-geometric solution,the steady-state distributions were obtained for the number of customers in the system at arrival epochs.And the generating function of distributions and the average value of the number of customers were obtained.

discrete-time queue； negative customer； working vacation； matrix-geometric solution； steady-state distribution； generating function

O 226

A

1671-6841(2011)04-0028-05

2011-01-18

河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究指導(dǎo)項(xiàng)目，編號(hào)Z2010182.

郭曉瓊(1984-)，女，碩士研究生，主要從事休假排隊(duì)系統(tǒng)的理論研究，E-mail:261222guoxiaoqiog@163.com；通訊作者：馬占友(1974-)，男，副教授，博士，主要從事休假排隊(duì)系統(tǒng)的理論研究．