一類四階具阻尼非線性波動方程的初邊值問題

高慧敏, 陳翔英

(1.連云港職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇 連云港 222006;2.鄭州電力高等?？茖W(xué)校 河南 鄭州 450004)

一類四階具阻尼非線性波動方程的初邊值問題

高慧敏1, 陳翔英2

(1.連云港職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇 連云港 222006;2.鄭州電力高等?？茖W(xué)校 河南 鄭州 450004)

研究一類具阻尼非線性波動方程的初邊值問題

局部古典解和整體古典解的存在性和唯一性,其中,α,β>0,γ<0均為常數(shù),u(x,t)為未知函數(shù),φ(s),f(s)和g(s)為給定的非線性函數(shù),u0(x)和u1(x)是給定的初值函數(shù).

非線性波動方程;初邊值問題;整體解

0 引言

研究四階具阻尼非線性波動方程的初邊值問題

(1)

(2)

(3)

其中,α,β>0,γ<0均為常數(shù),u(x,t)為未知函數(shù),φ(s),f(s)和g(s)為給定的非線性函數(shù),u0(x)和u1(x)是已知的初值函數(shù),下標(biāo)x和t分別表示對x和t求導(dǎo)數(shù).

方程 (1) 包含描述諸多物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,如描述彈性桿中縱向應(yīng)變波傳播的是非線性波動方程

(4)

其中，p=3或p=5.方程 (4) 稱為Pochhammer-Chree方程,或簡稱PC方程[1]. 文[2]研究彈性桿中的非線性波時(shí),提出了如下四階非線性波動方程：

(5)

文[3-4]在研究非線性彈性桿的應(yīng)變弧波時(shí),給出如下非線性波動方程：

(6)

其中,b0,b2>0和b1≠0為常數(shù),n為自然數(shù).方程(5)和(6)的主要不同在于方程(5)比方程(6)多了流體力學(xué)阻尼項(xiàng)γuxxt.

文[5]研究了描述淺水波的方程:

utt-uxx-uxxtt=(u3)xx,

(7)

稱為IMBq方程.文[6]研究在出現(xiàn)阻尼和外力的情況下,關(guān)于單原子鏈的晶格孤立子動力學(xué)時(shí)給出廣義Boussinesq方程:

utt-uxx-uxxtt+βut+γuxxt=f(u)xx,

(8)

其中,常數(shù)β>0,γ<0,ut為Stokes阻尼，uxxt為流體動力學(xué)阻尼.

文[7]證明了非線性Pochhammer-Chree 方程 Cauchy問題解的存在性和解的爆破.文[8-9]分別證明了方程(5)和方程(6)廣義形式的初邊值問題整體古典解的存在性和唯一性,并給出了解爆破的充分條件.

關(guān)于方程(4)和方程(7)的廣義形式,文[10]證明了整體古典解的存在性和唯一性,并給出了解爆破的充分條件.對于方程(8)還沒有看到有文獻(xiàn)討論它的定解問題.作者將證明初邊值問題(1)～(3)局部古典解和整體古典解的存在性和唯一性.

1 初邊值問題(1)～(3)局部解的存在性與唯一性

為了將問題(1)～(3)化為等價(jià)的積分方程,引入Green函數(shù).令K(x,ξ)是常微分方程邊值問題

的Green函數(shù),其中，α>0是實(shí)數(shù),即

(9)

假設(shè)u0(x),u1(x)適當(dāng)光滑并滿足邊界條件(2),u(x,t)是問題(1)～(3)的古典解,則方程(1)滿足邊界條件(2)的解u(x,t)滿足積分方程

(10)

(10)式兩邊關(guān)于t在(0,t)上積分得

(11)

關(guān)于t再積分一次推出

(12)

因此,問題(1)～(3)的古典解滿足方程(12).由Green函數(shù)K(x,ξ)的性質(zhì),容易直接驗(yàn)證引理1成立.

引理1設(shè)u0,u1∈C2[0,1],u0(x)和u1(x)滿足邊值條件(2),φ∈C1(R),f∈C2(R)和g∈C(R)，如果u∈C([0,T]；C2[0,1])是積分方程(12)的解,則u(x,t)必是初邊值問題(1)～(3)的古典解.

(13)

易知S把X(T)映射到X(T).

引理2假設(shè)u0,u1∈C2[0,1],u0(x)和u1(x)滿足邊值條件(2),φ∈C2(R),f∈C3(R),g∈C1(R),如果T相對于M是適當(dāng)小,則S映P(M,T)到P(M,T)是嚴(yán)格壓縮的.

證明(13)對ξ分部積分再對x求導(dǎo),得

(14)

(14)對x求導(dǎo),得

(15)

分別由

其中,Ci(i=1,2，…,9)是非負(fù)常數(shù).如果T滿足

(16)

則‖Sw‖X(T)≤2M.因此,如果(16)成立,則S映P(M,T)到P(M,T).

下面證明S:P(M,T)→P(M,T)是嚴(yán)格壓縮的.設(shè)T>0,w1,w2∈P(M,T),由(13)可得

(17)

(18)

(19)

所以由(17)～(19)可見

(20)

其中,C10,C11,C12是常數(shù).如果T滿足

(21)

定理1假設(shè)u0,u1∈C2[0,1],u0(x)和u1(x)滿足邊值條件(2),φ∈C2(R),f∈C3(R),g∈C1(R),則積分方程(12)有唯一解u∈C([0,T0);C2[0,1]),其中[0,T0)是解存在的最大時(shí)間區(qū)間,而且如果

(22)

則T0=∞.

證明由引理2和壓縮映射原理可知,對于適當(dāng)選取的T>0,S有唯一不動點(diǎn)u(x,t)∈P(M,T),它顯然是積分方程(12)的解.容易驗(yàn)證對于任意給定的T′>0,積分方程(12)至多有一個(gè)屬于X(T′)的解.令[0,T0)為u(x,t)∈X(T0)存在的最大時(shí)間區(qū)間，利用文[11]中證明定理2.2的方法可證如果(22)成立,則T0=∞.定理證畢.

注1設(shè)u∈C([0,T0);C2[0,1])是積分方程(12)的解，即初邊值問題(1)～(3)的解，則可推出u∈C2([0,T0);C2[0,1]).

2 初邊值問題(1)～(3)的整體古典解

(23)

其中,A,B>0是常數(shù),則初邊值問題(1)～(3)存在唯一的整體古典解.

注2在定理證明中，‖·‖表示空間L2(0,1)中的范數(shù)和Mi(T)(i=1,2，…，6)是依賴T的常數(shù).

證明(1)兩邊同乘以(2ut+2uut),在(0,1)上積分,并對x分部積分,可得

(24)

由于f′(s)在R上有界,有

兩邊關(guān)于t積分有

高良鄉(xiāng)苗族有多少個(gè)蘆笙調(diào)，采訪了許多人，答案都不一樣。楊家葬禮上組織者楊樹彬十分肯定地說有360調(diào)，其中葬禮用的有160多調(diào)，其余都叫雜調(diào)（用于踩花山等活動）。

利用Poincar′e不等式

由于

則

利用條件(23)得

由Gronwall不等式推出

(25)

(26)

(12)對ξ分部積分可得

(27)

由(27)得

(28)

(29)

(29)兩邊同乘以uxt,得

(30)

(31)

由Gronwall不等式導(dǎo)出

(32)

(28)對x求導(dǎo)兩次，經(jīng)估計(jì)可得

由Gronwall不等式

(33)

類似地有

(34)

根據(jù)定理1和引理1知問題(1)～(3)有唯一整體古典解u(x,t).定理證畢.

致謝此文在鄭州大學(xué)陳國旺教授的指導(dǎo)下完成，特此感謝！

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InitialBoundaryValueProblemforaClassofDampedNonlinearWaveEquationsofFourthOrder

GAO Hui-min1, CHEN Xiang-ying2

(1.LianyungangTechnicalCollege,Lianyungang222006,China;2.ZhengzhouElectricPowerCollege,Zhengzhou450004,China)

The existence and the uniqueness of the local classical solution and the global classical solution for the following initial boundary value problem for a class of damped nonlinear wave equations of fourth order were studied:

whereα,β>0,γ<0 were constants,u(x,t) denoted an unknown function,φ(s),f(s) andg(s) were given nonlinear functions,u0(x) andu1(x) were given initial value functions.

nonlinear wave equation;initial boundary value problem;global solution

O 175.26;O 175.29

A

1671-6841(2011)04-0019-09

2011-02-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號10971199；河南省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號2009C110006.

高慧敏(1982-),女， 講師，碩士， 主要從事偏微分方程研究,E-mail:xuyonggaomin@yahoo.com.cn;通訊作者： 陳翔英 (1968-)，女，副教授，碩士，主要從事偏微分方程研究，E-mail:chenxiangying@126.com.