線性緩沖算子群

劉衛(wèi)鋒， 何 霞， 張又林， 許宏偉

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系 河南 鄭州 450015)

線性緩沖算子群

劉衛(wèi)鋒， 何 霞， 張又林， 許宏偉

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系 河南 鄭州 450015)

利用緩沖算子的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，定義了線性緩沖算子、線性弱化緩沖算子和線性強(qiáng)化緩沖算子.研究了線性緩沖算子的復(fù)合運(yùn)算及運(yùn)算的性質(zhì)，以及可逆線性緩沖算子及其性質(zhì)，證明了可逆線性緩沖算子集合為線性緩沖算子群，為使用線性緩沖算子處理數(shù)據(jù)提供了數(shù)學(xué)理論依據(jù).

灰色系統(tǒng)； 緩沖算子； 線性緩沖算子； 群

0 引言

針對灰色預(yù)測建模中存在較大波動(dòng)數(shù)據(jù)問題， 文獻(xiàn)[1]首次提出了緩沖算子的概念和公理系統(tǒng)，并對緩沖算子的特性做了初步的研究， 開啟了利用緩沖算子研究波動(dòng)數(shù)據(jù)的大門.文獻(xiàn)[2-4]定義了一些弱化緩沖算子， 文獻(xiàn)[5-6]對弱化緩沖算子的性質(zhì)進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[7-10]定義了一些強(qiáng)化緩沖算子及其性質(zhì)，文獻(xiàn)[11]構(gòu)造了幾類更為一般的緩沖算子， 使許多緩沖算子成為其特例.這些研究不同程度地提高了灰色預(yù)測模型的預(yù)測和模擬精度，從而拓寬了灰色預(yù)測模型的應(yīng)用范圍. 但是，它們都側(cè)重于緩沖算子的構(gòu)造及應(yīng)用，既缺少對緩沖算子本身的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的研究，又缺少應(yīng)用緩沖算子的相關(guān)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ).

根據(jù)緩沖算子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，從數(shù)學(xué)的角度提出了線性緩沖算子，研究了緩沖算子的復(fù)合運(yùn)算及其性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上，得到了關(guān)于可逆線性緩沖算子的一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)——線性緩沖算子群.該研究不僅揭示了緩沖算子的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)，區(qū)分了緩沖算子的類型，而且對線性緩沖算子的復(fù)合運(yùn)算有了更深的理解和認(rèn)識，從而為進(jìn)一步理解、掌握和應(yīng)用緩沖算子提供了數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ).

1 線性緩沖算子

定義1設(shè)Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個(gè)非負(fù)序列，D是一個(gè)緩沖算子，λ是任意非負(fù)實(shí)數(shù).稱D是一個(gè)線性緩沖算子，若D滿足條件

(X1+X2)D=X1D+X2D且(λX1)D=λ(X1D).

定義2設(shè)Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個(gè)非負(fù)序列，D是一個(gè)緩沖算子，λ1,λ2是任意非負(fù)實(shí)數(shù).稱D是一個(gè)線性緩沖算子，若D滿足條件

(λ1X1+λ2X2)D=λ1(X1D)+λ2(X2D).

容易證明，定義 1 和定義 2 是等價(jià)的.

定義3設(shè)Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個(gè)非負(fù)序列，D是一個(gè)線性緩沖算子. 稱D是一個(gè)線性弱化緩沖算子，若緩沖序列XD比原始行為數(shù)據(jù)序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減少.

定義4設(shè)Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個(gè)非負(fù)序列，D是一個(gè)線性緩沖算子.稱D是一個(gè)線性強(qiáng)化緩沖算子，若緩沖序列XD比原始行為數(shù)據(jù)序列X的增長速度(或衰減速度)增強(qiáng)或振幅增大.

證明設(shè)Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個(gè)非負(fù)序列.文獻(xiàn)[3]中已經(jīng)證明了D1是弱化緩沖算子，故只需證明D1是一個(gè)線性緩沖算子.

由定義 1 可知，D1是一個(gè)線性緩沖算子.故D1是一個(gè)線性弱化緩沖算子.

例2設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))是系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)，其中，

證明例1中的ω=(1,1,…,1)時(shí)，線性弱化緩沖算子D2就是D1的特殊情況，故D2是線性弱化緩沖算子.

證明文獻(xiàn)[1]中已經(jīng)證明D3是強(qiáng)化緩沖算子，只需再證其是線性緩沖算子即可.

設(shè)Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個(gè)非負(fù)序列. 則

[x1(n)+x2(n)]d3=x1(n)+x2(n)=x1(n)d3+x2(n)d3.

[λx1(n)]d3=λx1(n)=λ[x1(n)d3].

故D3是線性強(qiáng)化緩沖算子.

例4設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))是系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，XE=(x(1)e,x(2)e,…,x(n)e)=(x(1),x(2),…,x(n)).

顯然，緩沖算子E沒有使數(shù)據(jù)序列發(fā)生變化，故稱之為恒等緩沖算子.

2 線性緩沖算子復(fù)合運(yùn)算

2.1復(fù)合運(yùn)算

定義5設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))是任意非負(fù)序列，D1,D2是兩個(gè)線性緩沖算子，定義D=D1D2,XD=X(D1D2)=(XD1)D2,則稱D=D1D2是線性緩沖逆算子D1,D2的復(fù)合運(yùn)算.

定理1線性緩沖算子的復(fù)合是線性緩沖算子.

證明設(shè)D1,D2是任意兩個(gè)線性緩沖算子，Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個(gè)非負(fù)序列，則有(X1+X2)Di=X1Di+X2Di,(λX1)Di=λ(X1Di),i=1,2.

從而有

(X1+X2)(D1D2)=((X1+X2)D1)D2=(X1D1+X2D1)D2
=(X1D1)D2+(X2D1)D2=X1(D1D2)+X2(D1D2),

(λX1)(D1D2)=((λX1)D1)D2=(λ(X1D1))D2=λ((X1D1)D2)=λ(X1(D1D2)).

于是定理得證.

定理2①線性強(qiáng)化緩沖算子的復(fù)合仍為線性強(qiáng)化緩沖算子；

②線性弱化緩沖算子的復(fù)合仍為線性弱化緩沖算子；

③線性強(qiáng)化緩沖算子與線性弱化緩沖算子的復(fù)合可能為線性弱化緩沖算子，可能為線性強(qiáng)化緩沖算子，也可能兩者皆不是.

證明①設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))是系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D1,D2均為線性強(qiáng)化緩沖算子.

(a)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時(shí)，有x(k)≥x(k)d1,x(k)≥x(k)d2,k=1,2,…,n,于是，(x(k)d1)d2≤x(k)d1≤x(k),k=1,2,…,n.

(b)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，有x(k)≤x(k)d1,x(k)≤x(k)d2,k=1,2,…,n,于是，(x(k)d1)d2≥x(k)d1≥x(k),k=1,2,…,n.

綜合以上證明可知，D1D2為線性強(qiáng)化緩沖算子.

②證明類似于①，略.

同樣，容易舉出線性強(qiáng)化緩沖算子與線性弱化緩沖算子復(fù)合為線性強(qiáng)化緩沖算子的例子，這里略去.

2.2復(fù)合運(yùn)算的性質(zhì)

性質(zhì)1復(fù)合運(yùn)算不滿足交換律.

性質(zhì)2復(fù)合運(yùn)算滿足結(jié)合律.

性質(zhì)3復(fù)合運(yùn)算存在幺元.

證明性質(zhì)1(反證法) 假設(shè)復(fù)合運(yùn)算滿足交換律，即令D6，D7是任意兩個(gè)線性緩沖算子，X=(x(1),x(2),…,x(n))是任意非負(fù)序列，則有X(D6D7)=X(D7D6)成立.

性質(zhì)2令D1,D2,D3是任意三個(gè)線性緩沖算子，X=(x(1),x(2),…,x(n))是任意非負(fù)序列，則有X((D1D2)D3)=(X(D1D2)D3)=(((XD1)D2)D3),X(D1(D2D3))=((XD1)(D2D3))=(((XD1)D2)D3)，即有(D1D2)D3=D1(D2D3),故結(jié)合律成立.

性質(zhì)3恒等緩沖算子E就是幺元，因?yàn)閄(ED)=((XE)D)=XD,X(DE)=((XD)E)=XD，即ED=DE=D，其中D是任意線性緩沖算子.

3 線性緩沖算子群

3.1可逆線性緩沖算子

定理3設(shè)D1是可逆線性緩沖算子，D2是D1的左逆緩沖算子，則D2也是D1的右逆緩沖算子，并且D2是唯一的.

證明設(shè)D1是可逆線性緩沖算子，并且D2是D1的左逆緩沖算子，D3是D2的左逆緩沖算子.

由(D2D1)D2=ED2=D2可得E=D3D2=D3((D2D1)D2)=(D3(D2D1))D2=((D3D2)D1)D2=(ED1)D2=D1D2，即D2也是D1的右逆緩沖算子.

不妨設(shè)D2,D3是D1的逆緩沖算子，則D2=D2E=D2(D1D3)=(D2D1)D3=ED3=D3,即D1的逆緩沖算子是唯一的.

定理4設(shè)D是可逆線性緩沖算子，則D的逆緩沖算子D-1是一個(gè)線性緩沖算子.

證明已知D是可逆線性緩沖算子，Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個(gè)非負(fù)序列，則有

(X1+X2)D=X1D+X2D,(λX1)D=λ(X1D).

于是，

(X1D-1+X2D-1)D=(X1D-1)D+(X2D-1)D=X1+X2,

(λ(X1D-1))D=λ((X1D-1)D)=λ(X1D-1D)=λX1.

對上面兩式兩端同時(shí)作用D-1，則可得X1D-1+X2D-1=(X1+X2)D-1,λ(X1D-1)=(λX1)D-1.

由定義 1 可知，定理得證.

定理5設(shè)D是可逆線性緩沖算子，其逆算子為D-1,

①若D為線性強(qiáng)化緩沖算子，則D-1為線性弱化緩沖算子；

②若D為線性弱化緩沖算子，則D-1為線性強(qiáng)化緩沖算子.

證明①設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))是系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列.

(a)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時(shí)，有x(k)≥x(k)d，k=1,2,…,n，于是，x(k)=(x(k)d-1)d≤x(k)d-1,k=1,2,…,n.

(b)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，證明類似(a)，略.

綜合以上證明可知，D-1為線性弱化緩沖算子.

②證明類似于①，略.

3.2線性緩沖算子群

將線性緩沖算子復(fù)合運(yùn)算記為·，-D={D1，D2，…}表示具有逆算子的線性緩沖算子集合，則可得到如下結(jié)論：

定理6〈-D,·〉構(gòu)成一個(gè)廣群.

證明由定理 1 可知，線性緩沖算子的復(fù)合運(yùn)算是封閉的，因此定理得證.

定理7〈-D,·〉構(gòu)成一個(gè)半群.

證明由定理6和線性緩沖算子的復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)2，定理得證.

定理8〈-D，·〉構(gòu)成一個(gè)幺半群.

證明由定理7和線性緩沖算子的復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)3，定理得證.

定理9〈-D,·〉構(gòu)成一個(gè)群.

證明由定理3和定理8，定理得證.

4 結(jié)論

根據(jù)緩沖算子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，定義了線性緩沖算子，并將其區(qū)分為線性弱化緩沖算子和線性強(qiáng)化緩沖算子.然后,對線性緩沖算子的復(fù)合運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)做了研究.最后，通過研究線性緩沖算子的逆算子，結(jié)合線性緩沖算子復(fù)合運(yùn)算的研究，得到了線性緩沖算子的一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)——線性緩沖算子群.該研究不僅使我們進(jìn)一步掌握了緩沖算子的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，而且對于進(jìn)一步研究和應(yīng)用緩沖算子提供了數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，此外這對于研究非線性緩沖算子也具有一定的啟發(fā)意義.

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LinearBufferOperatorGroup

LIU Wei-feng, HE Xia, ZHANG You-lin, XU Hong-wei

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

According to structure and nature of buffer operator,mathematical definition of linear buffer operator,linear weakening buffer operator and linear strengthening buffer operator were put forward. Composition of linear buffer operator and its nature were studied. And based on research of inverse linear buffer operator and its nature,inverse linear buffer operator was linear buffer operator group.Linear butter operator was used for a mathematical theoretical foundation of handling data.

grey system;buffer operator;linear buffer operator;group

O 159； N 94

A

1671-6841(2011)04-0014-05

2011-01-04

航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號2008ZG55008；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年科研基金資助項(xiàng)目，編號2011113001，2011113003.

劉衛(wèi)鋒(1976-)，男，講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)建模和灰色系統(tǒng)理論研究，E-mail:lwf0519@zzia.edu.cn.