一類非局部退化反應擴散方程組解的存在性

崔國忠， 郭從洲， 荊煥先， 魏保軍

(信息工程大學 理學院 河南 鄭州 450001)

一類非局部退化反應擴散方程組解的存在性

崔國忠， 郭從洲， 荊煥先， 魏保軍

(信息工程大學 理學院 河南 鄭州 450001)

討論了一類退化的具有非局部項的非線性反應擴散方程組解的存在性.首先利用了正則化方法證明正則問題解的存在性，進而證明了非線性反應擴散方程組的古典解的存在性；其次利用上下解方法來解決非線性反應擴散方程組解的整體存在，針對參數(shù)所滿足的條件不同來構(gòu)造不同結(jié)構(gòu)的上解，從而得到了方程組解的整體存在條件.

古典解； 正則化； 上解； 整體存在性

0 引言

考慮如下非局部退化反應擴散方程組的初邊值問題：

(1)

其中,Ω?RN為有界域，具有光滑邊界?Ω，參數(shù)滿足min{m,n}>1，α>0,β>0,p>0,q>0,初值u0(x)和v0(x)是非負連續(xù)函數(shù).

1 古典解的存在性

(2)

(3)

假設(shè)初值u0,v0滿足:

證明由于在邊界u=v=0并且min{m,n}>1，因此系統(tǒng)不是一致拋物的，標準的拋物理論不能直接使用.考慮如下的正則化問題:

(4)

以λ>0表示-Δ在區(qū)域Ω上的第一特征值，即

考慮常微分方程的定解問題:

證明令w=uε-φ(x,t)，通過計算可得

證明設(shè)Uε=uεt，Vε=vεt,直接計算可得

證明設(shè)W=uε1-uε2，Z=vε1-vε2，由引理3有uε2t,vε2t≥0，并記

(5)

因此，可以得出(5)式即為方程組(3)的古典解，定理1得證，并且引理3表明有如下結(jié)論成立.

定理2假設(shè)條件(H1)～(H3)成立，則方程組(3)的解(u,v)滿足在QT的任何緊子集上都有ut≥0,vt≥0.

2 整體解的存在性

對具非局部源的耦合退化模型(1)，在定理1的基礎(chǔ)上，利用上下解方法，通過構(gòu)造不同特殊結(jié)構(gòu)的有界上解，給出系統(tǒng)解的整體存在條件.

定理31)如果m>α,n>β,pq<(m-α)(n-β)時，則對任何區(qū)域和任何初值，問題(1)的解都整體存在.

2)當m>α,n>β，pq=(m-α)(n-β)，pq>αβ時，若Ω至少在一個方向薄時，則問題(1)的解整體存在.

3)如果m<α,n<β，pq<(m-α)(n-β)時，若初值u0(x),v0(x)中有一個充分小，則問題(1)的解整體存在.

4)當m<α+p,n<β+q時，對充分小的初值u0(x),v0(x)，問題(1)的解整體存在.

證明定理3前，先給出2個引理.

證明參見文獻[7-8]中引理1.

引理6假設(shè)存在a>0,b>0,δ>0，使得

(6)

則問題(1)的解整體存在.

定理3的證明任取Ω′，使得Ω??Ω′，φ為Ω上特征問題的解.令

由引理6，要證明定理3，只需證明存在正常數(shù)a>0,b>0,δ>0使(6)成立.

顯然，如果存在a>0,b>0,δ>0，使得

(7)

定理41)當1+p>β,1+q>α且(1-α)(1-β)>pq時，問題(1)的解整體存在.

2)當(1-α)(1-β)=pq,1>α,1>β時，問題(1)的解整體存在.

則取C>0充分大,使得

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ExistenceforaClassofDegenerateReaction-diffusionEquationswithNonlocalSource

CUI Guo-zhong, GUO Cong-zhou, JING Huan-xian, WEI Bao-jun

(InstituteofScience,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China)

The existence for a class of degenerate nonlinear reaction-diffusion equations with nonlocal source was investigated. Firstly,the existence of the solution of the regularization equations with the regularization method,and the existence of classical solution of the reaction-diffusion equations were proved.Secondly,by making use of super and low solution method,the global existence for the nonlinear reaction-diffusion equations was solved. Following the conditions for the parameter to construct different structures of the super solutions of the equations,the global existence conditions of the solutions of the equations were obtained.

classical solution； regularization； super solution； global existence

O 175.26

A

1671-6841(2011)04-0005-05

2011-03-30

崔國忠(1966-)，男，教授，博士，主要從事偏微分方程研究，E-mail:cuigzh1966@163.com；通訊作者：荊煥先(1985-)，男，碩士研究生，主要從事偏微分方程研究，E-mail:tiger785@163.com．