行列式的二項展開式

劉建波，焦哲哲，李文毅

（東北大學(xué) 秦皇島分校，河北 秦皇島 066004）

行列式的二項展開式

劉建波，焦哲哲，李文毅

（東北大學(xué) 秦皇島分校，河北 秦皇島 066004）

給出了行列式的二項展開式，并通過實例闡明了公式計算和證明行列式帶來的便利。

二項式；行列式；向量

牛頓二項式是數(shù)學(xué)各學(xué)科中均具有廣泛應(yīng)用的重要公式，具體表述為[1]

其中n是任意一個自然數(shù)，0≤k≤n，

n! = 1? 2?…?n。在微積分中，對一元函數(shù)f( t)和g( t)的乘積求n（n≥1是自然數(shù)）階導(dǎo)數(shù)，有如下的萊布尼茲公式[2]

其中 f(k)表示對函數(shù)f( t)求n階導(dǎo)數(shù)。這個公式與牛頓二項式非常相似，區(qū)別在于將冪次數(shù)換成了求導(dǎo)階數(shù)。類似地，在多元微積分中，對二元函數(shù) μ= f( x, y)求n階微分時，也有如下的公式[2]

值得注意的是，上面等式的第三項只是一個形式表達。

觀察以上公式可以發(fā)現(xiàn)，

（1）式給出了兩個數(shù)和的正整數(shù)次冪的展開公式；

（2）式將兩個函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)展開成一個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積的和；

（3）式給出了二元函數(shù)微分的計算公式。

這些公式都使得計算變得簡便可行，因此也很常用。

本文給出行列式計算中的一個二項展開式，也是一種形式表達，但是也能給行列式的計算和證明帶來很大的簡便。

1 主要結(jié)論

定理1 設(shè)

均為n維列向量，則

構(gòu)成一個n階行列式，記 α(n-k)β(k)表示第i列或者為 α，i或者為 βi，并且有n-k列為α，而其它列為β所組成的行列式，則

值得注意的是，這個公式只是一個形式表達式，同一個α(n-k)β(k)可能表示不同的行列式，這里只是表示有這么多種不同的取法。

證明 由[3]中行列式計算性質(zhì)3有

2 應(yīng)用

例1 計算行列式：

解 行列式的第j列可表示為 αj+βj，其中

如果行列式中出現(xiàn)兩列或兩列以上的jβ，則由行列式的性質(zhì)知，行列式的值為0。所以，行列式可表示為：

例2 求證：

證明 D( x)的第j列可表示為 αj+βj，其中

如果行列式中出現(xiàn)兩列或兩列以上的jα，則行列式的值為0。所以，f( x)可表示為：

[1] 陳景林,閻滿富.組合數(shù)學(xué)與圖論[M].北京：中國鐵道出版社,2000.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第二版)[M].北京：高等教育出版社,1991.

[3] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2003.

（責(zé)任編輯、校對：趙光峰）

The Binomial Expansion of Determinants

LIU Jian-bo, JIAO Zhe-zhe, LI Wen-yi

(Campus of Qinhuangdao, Northeastern University, Qinhuangdao 066004, China)

The binomial expansion of determinants was given, and the advantages were showen by some examples.

binomial; determinant; vector

2011-01-13

劉建波（1978-），男，河北唐山人，博士，東北大學(xué)秦皇島分校講師，研究方向為李代數(shù)、結(jié)合代數(shù)。

O151.22

A

1009-9115(2011)05-0015-02