廣義弱亞正規(guī)算子

楊 樺，李艷軍

（安陽工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 安陽 455000）

?數(shù)學(xué)研究?

廣義弱亞正規(guī)算子

楊 樺，李艷軍

（安陽工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 安陽 455000）

對0＜t＜1，引進(jìn)了廣義弱亞正規(guī)算子的概念，這類算子包含所有的弱亞正規(guī)算子。證出若T是廣義弱亞正規(guī)算子，則T的譜半徑與它的范數(shù)相等，并證出廣義弱亞正規(guī)算子的點譜與聯(lián)合點譜，近似點譜與聯(lián)合近似點譜的非零點分別相同。

廣義弱亞正規(guī)算子；點譜；聯(lián)合點譜；近似點譜；聯(lián)合近似點譜

設(shè)H是復(fù)Hilbert空間，其內(nèi)積為(·,·)，L( H)表示H上有界線性算子的全體。設(shè) T∈L( H )，若

在文獻(xiàn)[2]中，Aluthge定義了弱亞正規(guī)算子即

有關(guān)弱亞正規(guī)算子的性質(zhì)可參見文獻(xiàn)[2]，[3]。本文定義了比弱亞正規(guī)算子更大的類即廣義弱亞正規(guī)算子類：若

則稱T是廣義弱亞正規(guī)算子。

本文主要證明了廣義弱亞正規(guī)算子的一些性質(zhì)，如它的譜半徑與它的范數(shù)相等，并證出廣義弱亞正規(guī)算子的點譜與聯(lián)合點譜，近似點譜與聯(lián)合近似點譜的非零點分別相同。

1 廣義弱亞正規(guī)算子的正規(guī)性

定理 1 設(shè)T是廣義弱亞正規(guī)算子，kerT ?kerT*。若是正規(guī)的，則T=。

證明 因為T是廣義弱亞正規(guī)算子且?tT 是正規(guī)的，故

從而

因此在

故在ker|T|上

定理2 設(shè)T是廣義弱亞正規(guī)算子，則

證明 T是廣義弱亞正規(guī)算子，則

故

又由于

所以

2 廣義弱亞正規(guī)算子的點譜

記算子T的點譜和聯(lián)合點譜分別為：

定理3 若T是廣義弱亞正規(guī)算子，則

證明 顯然有

?λ∈σp(T )- {0}，則存在

從而

令 y=|T |tx，由(1)，(2)知有∨{y}和(∨{ y})⊥約化T。因此在

上有故

于是有

因此

又由于

故

此即

亦即

從而

因此

從而 Ux=eiθx。又由于

因此 U*x = e-iθx ，進(jìn)而

從而

故

因此

推論 1 若T是廣義弱亞正規(guī)算子且Tx=λx，Ty=μy，λ≠μ，則(x, y)=0。

證明 由定理3知，

故

因為λ≠μ，因此(x, y)=0。

推論2 若T是廣義弱亞正規(guī)算子，則

證明 由文獻(xiàn)[4]知對任意的有界線性算子T都有

由定理3知：

從而得證。

3 廣義弱亞正規(guī)算子的近似點譜

記算子T的近似點譜和聯(lián)合近似點譜分別為：

定理4 T是廣義弱亞正規(guī)算子的充分必要條件是

且

證明 T是廣義弱亞正規(guī)算子

又由于

則結(jié)論成立。

引理1[3]設(shè)H是Hilbert空間，則存在一個Hilbert空間K?H和一個映射φ ： L( H ) → L( K)使得

（1）φ是一個一一的*表示；

（2）φ ( A) ≥0,? A∈ L( H)；

（3）σa(T ) = σa(φ( T )) = σp(φ(T)),T ∈L( H)。

引理 2[3]φ ：L( H)→ L( K)是Berberian一一的*表示，則σja(T) =σjp(φ( T))，?T∈ L( H)。

定理5 若T是廣義弱亞正規(guī)算子，φ是引理1中的表示，則φ(T)是廣義弱亞正規(guī)算子。

證明

由定理4知φ ( T)是廣義弱亞正規(guī)算子。

定理6 若T是廣義弱亞正規(guī)算子，則

證明 由定理5知φ(T)是廣義弱亞正規(guī)算子，又由定理3知

再由引理1及2知

推論3 若T是可逆的廣義弱亞正規(guī)算子，則

[1] 張云.關(guān)于廣義 Aluthge變換和正交投影的相關(guān)研究[D].陜西師范大學(xué),2007.

[2] A. Aluthge, D. Wang. W-hyponormal operators[J]. Inter. Equat. Oper. Th., 2000, 36： 1-10.

[3] A. Aluthge, D. Wang. W-hyponormal operators II[J]. Inter. Equat. Oper. Th., 2000, 37： 324-331.

[4] D Xia. Spectral theory of hyponormal operators[M]. Boston：Birkhauser Verlag, 1983.

（責(zé)任編輯、校對：趙光峰）

The Generalized W-Hyponormal Operators

YANG Hua, LI Yan-jun

(Faculty of Science, Anyang Institute of Technology, Anyang 455000, China)

For 0＜t＜1, the class of the generalized w-hyponormal operators is introduced. This kind of operators contains all w-hyponormal ones. In this paper, it is shown that if Tis the generalized w-hyponormal, then its spectral radius and norm are identical, meanwhile, the nonzero points of its normal point spectrum, joint point spectrum, approximate and joint approximate point spectrum are shown to be identical.

the generalized w-hyponormal operators; the point spectrum; the joint point spectrum; the approximate spectrum; the joint approximate point

2011-03-01

河南省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題（2010JKGHAG0102）

楊樺（1982-），女，河南周口人，碩士，河南省安陽工學(xué)院數(shù)理學(xué)院助教，研究方向為算子代數(shù)。

O177.1

A

1009-9115(2011)05-0001-03