以美啟真巧解題

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(桂林師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 廣西桂林 541002)

以美啟真巧解題

●羅奇

(桂林師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 廣西桂林 541002)

美是客觀世界的一種自然屬性，數(shù)學(xué)作為描述客觀世界的工具當(dāng)然也具有美的屬性．正如英國數(shù)學(xué)家羅素(Russell,1872-1970年)所說“數(shù)學(xué),如果正確地看,不但擁有真理,而且具有至高的美”.數(shù)學(xué)美的內(nèi)容是多方面的,總的來說,數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)常具有簡潔與秩序、對稱與平衡、統(tǒng)一與協(xié)調(diào)、奇異與極端等特征．并且數(shù)學(xué)美的這4個方面內(nèi)容相互聯(lián)系、相互滲透，它們構(gòu)成了和諧與奇妙的數(shù)學(xué)世界.

數(shù)學(xué)美在數(shù)學(xué)解題中具有邏輯思維無法代替的作用，它統(tǒng)領(lǐng)著解題的思想方法，啟迪著解題的直覺思維，往往能夠引領(lǐng)我們找到解題的方向和途徑，那么如何利用數(shù)學(xué)美來指導(dǎo)解題呢?這就要求我們在分析和處理問題時有意識地用數(shù)學(xué)美的特征去考察和感悟數(shù)學(xué)對象,思考和轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題,進(jìn)而培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的美感．下面通過幾個例題來欣賞如何利用數(shù)學(xué)美指導(dǎo)解題．

1 以簡馭繁、變亂為序，追求簡潔與秩序美

簡潔、清晰、秩序、明快,會給人以美感．?dāng)?shù)學(xué)以高度抽象、極其簡潔的形式和思想反映客觀世界.在雜亂無章的客觀現(xiàn)象中,抽象出秩序井然的數(shù)學(xué)理論,又用簡單、有序的數(shù)學(xué)形式來表達(dá)、解釋并處理更多的客觀事物和現(xiàn)象,這就是數(shù)學(xué)的簡潔與秩序美．

許多的數(shù)學(xué)問題,雖然其表現(xiàn)形式可能較為復(fù)雜和無序,但其本質(zhì)總是存在簡單和秩序的一面．這就要求我們在處理問題時盡可能用簡潔與秩序的觀點和方法對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從問題的各個方面選擇新信息,并有效地對已知信息進(jìn)行組合、編碼以獲得最佳解題方案．譬如利用未知、已知換位處理，往往能夠化難為易．

例1已知a∈[0,1]，解關(guān)于x的不等式:

(a-1)lg2x-9algx+2a+1>0.

分析一般地,將不等式看成是關(guān)于lgx的二次不等式，利用換元法求解，但整個過程較繁雜.注意到在不等式中a的最高次數(shù)是1，相對x更為簡單.若把x作為已知,把a作為變量,則可將原不等式化為關(guān)于a的一元一次不等式,并按a的降冪順序排列得

f(a)=(lg2x-9lgx+2)a-lg2x+1>0,

化簡得

即

同樣利用變換、構(gòu)造、排序等轉(zhuǎn)化的策略,也能夠獲得解題的突破口．

例2求由1,2,3,…,n這n個數(shù)組成的允許重復(fù)的m個數(shù)的數(shù)組的組數(shù)．

分析在1,2,3,…,n中任取一個允許重復(fù)的m個數(shù)組成的數(shù)組集合為

A={(a1,a2,…,am)|1≤a1,a2,…,am≤n},

所求的組數(shù)就是集合A的元素個數(shù).從簡潔與秩序美的觀點考慮，將A中的數(shù)組從小到大排序,得到集合B={(b1,b2,…,bm)|1≤b1≤b2≤…≤bm≤n,bj=ai(1≤i≤m,1≤j≤m)},集合B的元素仍然是有重復(fù)數(shù)的數(shù)組.為了更為簡潔，構(gòu)造一個沒有重復(fù)數(shù)的數(shù)組集合C，使從集合B到集合C之間建立一個雙射f，為此將b1,b2,…,bm從第1個開始分別加上0,1,2,…,m-1得到m個數(shù)c1,c2，…,cm,這樣得到集合

C={(c1,c2,…,cm)|1≤c1

2 左右均衡、前后照應(yīng)，聯(lián)想對稱與平衡美

德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯指出“美和對稱性緊密相連”．?dāng)?shù)學(xué)中的對稱與平衡美不單指形象的幾何圖形對稱,也包括抽象的關(guān)系、地位、形式、方法等的對稱與平衡．

對稱與平衡美是數(shù)學(xué)美的重要特征之一,在數(shù)學(xué)解題中,我們應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)知識、方法、形式或圖形的對稱與平衡性求解.一方面,具有相同結(jié)構(gòu)特征的數(shù)式具有同等的地位和相同的處理手法,另一方面,數(shù)式結(jié)構(gòu)的對稱也蘊含著解法的對稱．

例3已知四面體V-ABC的6條棱長之和為l，且∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°，求它體積的最大值．

分析設(shè)VA=a，VB=b,VC=c,則

因此

(1)

而V-ABC的體積為

(2)

于是問題轉(zhuǎn)化為在式(1)的條件下，求式(2)的最大值.觀察式(1)和式(2)知，a,b,c地位對等，可以從對稱與平衡的原則出發(fā)，提出猜想：由對稱性，是否當(dāng)a=b=c時體積最大呢？此時

從而

因此只要證明

即證

而上式是成立的，因為

對偶關(guān)系也可視為對稱與平衡的一種形式．在解題中,如何“配對”以及應(yīng)“配”些什么,都應(yīng)在對稱與平衡美的引導(dǎo)下進(jìn)行．

分析注意到

將上述兩配對式相乘得

因為

72n+1=7(50-1)n=7[5p+(-1)n]=

35p+7(-1)n=

35q+2(-1)n(p,q∈Z)，

3 化分歧為一致、變混亂為協(xié)調(diào)，利用統(tǒng)一與和諧美

數(shù)學(xué)作為研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),它反映了客觀世界的統(tǒng)一與和諧．?dāng)?shù)學(xué)的統(tǒng)一與和諧美是指數(shù)學(xué)各分支之間、分支內(nèi)部及分支與整體之間互相貫通、和諧和互相轉(zhuǎn)化．

統(tǒng)一與和諧美也是促使解題成功的重要因素之一，數(shù)學(xué)除了在形式上追求統(tǒng)一與和諧之外,在結(jié)論、方法上也追求統(tǒng)一與和諧．

可見利用圓錐曲線的統(tǒng)一方程,不僅很容易地證明了結(jié)論,而且還推廣了結(jié)論!

我們也常常通過變換已知與未知的數(shù)、式、形,使它們消除差異而達(dá)到統(tǒng)一與和諧的形式來啟迪解題思路、發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律．

sinB<3(sinC-sinA),

這樣就實現(xiàn)了與已知條件相對統(tǒng)一和諧．但還不夠,不等式中有3個角，能否把它們化為同角的三角函數(shù)呢?考慮到3A+B=π，則C=2A，于是

sin3A<3(sin2A-sinA).

再把倍角統(tǒng)一成單角,得

3sinA-4sin3A<3(2sinAcosA-sinA)，

由sinA>0得

3-4sin2A<3(2cosA-1)，

再把不同名的三角函數(shù)統(tǒng)一為同名的三角函數(shù),

2cos2A-3cosA+1<0，

即

(2cosA-1)(cosA-1)<0.

4 標(biāo)新立異、探討極致，揭秘奇異與極端美

奇異與極端也是一種美,正如英國哲學(xué)家培根所說“沒有一個極美的東西不是在調(diào)和中有著某些奇異”,我國著名數(shù)學(xué)家徐利治教授也指出“奇異是一種美,奇異到極度更是一種美”.數(shù)學(xué)的奇異與極端美,是指數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一與和諧或?qū)ΨQ與平衡在一定條件下的破壞，是數(shù)學(xué)中的新思想、新理論、新方法對原有的習(xí)慣法則和格局的突破.

一些出人意料的想法往往是極端的設(shè)想,但常能使問題豁然開朗．譬如運用特殊化方法探討幾何圖形的極端位置，就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異與極端美．

例7一圓與直線3x+4y+5=0相切于點(1,-2),且經(jīng)過點(4,7),求圓的方程．

分析切點(1，-2)可以看成半徑為0的圓，直線3x+4y+5=0可看成通過該圓的直線，基于這種奇異和極端的想法，此題可以跳出設(shè)圓方程的一般方法,用曲線系方程來求解,則更為簡捷．

首先過切點(1，-2)的方程為(x-1)2+(y+2)2=0，通過直線3x+4y+5=0和該點圓的圓系方程為

(x-1)2+(y+2)2+t(2x+4y+5)=0,

代入點(4,7)的坐標(biāo),求得t=-2,故所求圓的方程為

(x-1)2+(y+2)2-2(3x+4y+5)=0，

即

x2+y2-8x-4y-5=0.

對于某些數(shù)學(xué)問題,若能抓住其“個性特點”,打破問題求解的習(xí)慣法則，尋找它與其他知識的聯(lián)系,則往往能找到出人意料的新奇解法和出人意料的結(jié)果．

分析本題若利用三角公式進(jìn)行化簡求值，需要利用和差化積和倍角公式以及恒等變形的化簡技巧，過程比較復(fù)雜．那么是否可以利用所給式子是余弦函數(shù)的代數(shù)和以及余弦函數(shù)積化和差后仍然是余弦函數(shù)的代數(shù)和的個性特點求解?

解得

同樣地，借助統(tǒng)一與和諧美的思想將原式的運算符號統(tǒng)一，可以得到：

聯(lián)想復(fù)數(shù)與三角之間的關(guān)系，可將三角問題化歸為復(fù)數(shù)問題求解.如果觀察到各個角度的倍數(shù)關(guān)系，那么還可以構(gòu)造幾何圖形或者向量求解……如此新奇的解法無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的和諧與奇異.

可見數(shù)學(xué)問題的求解需要數(shù)學(xué)美的引領(lǐng)，并且也應(yīng)該以美啟真去追求那些漂亮的解法，這樣在我們心靈深處就會引起一種愉快的體會和欣賞.通過如此長期的訓(xùn)練,我們就能透過抽象的數(shù)學(xué)符號看到美的形象，透過嚴(yán)密的邏輯推演領(lǐng)略美的神韻，就可以完善人的思維品質(zhì)、陶冶人的情趣、增強人的創(chuàng)造能力.