一維分子晶體模型中立方型相互作用引起的孤子激發(fā)

李 圳，陳 浩

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院， 廣東廣州 510631)

在極性晶體中運動的電子，其庫侖勢使周圍正負(fù)離子移位而產(chǎn)生極化，形成一個圍繞電子的極化場．極化場又反過來作用于電子，使其能量和狀態(tài)等發(fā)生改變，并伴隨著電子在晶格中運動．這樣一個相互作用的整體就是極化子．極化子效應(yīng)降低電子的能量,并使電子有效質(zhì)量增加．幾十年來極化子問題一直在固體物理中扮演著相當(dāng)重要的角色[1-7]．近年來，由于低維系統(tǒng)非線性元激發(fā)的研究進展，重新引起人們對于一維極化子理論的興趣．而一維分子晶體模型中孤子激發(fā)態(tài)的存在也一直引起人們的重視，并已做過廣泛的研究[8-11]．本文研究立方型相互作用下的一維分子晶體模型中的孤子激發(fā)解，求出了孤子的峰寬和峰值．雖然這一方程的解具有與原文獻不同的形式，但在忽略立方型相互作用后，仍與通常極化子解[1]一致．

1 運動方程和解

考慮立方型相互作用后的一維分子晶體模型的Hamiltonian量為[1]：

H=He+Hint+Hp,

其中

(1)

根據(jù)Holstein，我們可假定波函數(shù)：

(2)

滿足Schrodinger方程．這里an依賴于時間t和晶格振動位移un，表示電子在第n格點上的概率幅；φn(y,un)為第n格點上的局域化的分子軌道，滿足方程：

E(un)φn(y-Rn,un),

(3)

式中本征值E(un)只與分子振動的位移量un有關(guān)．取線性近似，得到：

E(un)=-Aun.

(4)

由式(1)～(4)及Schrodinger方程，得到an的運動方程：

(5)

式中

Jm,n=

是雙中心交疊積分．-Aun項代表電子與晶格間的相互作用勢．忽略Jn,n=1對un的依賴．設(shè)Jn,n±1=-J,則：

(6)

取絕熱近似，即略去式(6)中的晶格振動的動能項，則得：

J(an+1+an-1)=Ean,

(7)

(8)

由能量極小條件?E/?um=0可推出：

在ω2a?σ2時，上式的解為：

(9)

(10)

將式(9)、(10)代入式(7)可化解為：

(11)

(12)

(13)

φ″+2γφ3-3βφ5-αφ=0．

則：

φ′2=φ(βφ4-γφ2+α),

(14)

即：

(15)

其中a2+b2=γ/β,a2b2=α/β．

方程(15)可化解為：

(16)

求解可得：

即：

(17)

(18)

解方程(18)得：

(19)

則：

代入方程(17)得

(20)

為一維分子晶體模型中考慮立方型相互作用后的孤子激發(fā)解，其中，

(21)

(22)

其中，Lp為考慮立方型相互作用后孤子的峰寬，Lp0為通常極化子的峰寬[1]．

(23)

(24)

其中，ps為考慮立方型相互作用后孤子的峰值，ps0為通常極化子的峰值[1]．

當(dāng)ω=0時，即沒有立方型相互作用存在時，β=0．此時，

(25)

與通常極化子的解[1]一致．此時的峰寬、峰值為式(22)、(24)所示．即在忽略了立方型相互作用的近似下，孤子激發(fā)的運動解回復(fù)于通常的極化子解．

2 結(jié)果和討論

考慮立方型相互作用后，孤子激發(fā)的峰寬、峰值及孤子解隨立方型相互作用的變化關(guān)系，如圖1～圖3所示．

圖1 孤子的寬度隨立方型相互作用的變化Figure 1 The change of the width of the soliton with the cubic interaction term

圖2 孤子的峰寬隨立方型相互作用的變化Figure 2 The change of the peak of the soliton with the cubic interaction term

圖3 ω2取不同值時孤子解的比較Figure 3 The compare of solutions when ω2 take different valves

3 小結(jié)

一維分子晶體模型中如果考慮色散項的影響[10]，其孤子激發(fā)的特征值會受到影響，導(dǎo)致孤子的峰寬變寬，峰值變小，從而破壞了孤子的穩(wěn)定性．而本文研究了立方型相互作用下一維分子晶體模型中的孤子激發(fā)問題，從立方型相互作用下一維分子晶體模型的哈密頓量出發(fā)，在絕熱近似的條件下，得到運動方程，求出了孤子激發(fā)的運動解以及孤子的峰寬、峰值．在此主要關(guān)注立方型相互作用系數(shù)ω2的存在和變化對孤子特征值的影響．由上面的分析可以得到ω2項的存在同樣也會使得孤子的峰寬變寬，峰值變小．由此可知：立方型相互作用項同色散項一樣，都是孤子的彌散項，它們影響了孤子激發(fā)的特征，如峰值、峰寬，從而均不利于孤子激發(fā)的穩(wěn)定性．

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