關(guān)于切比雪夫型方程組的研究

黎海燕,吳 康

(華南師范大學數(shù)學科學學院， 廣東廣州 510631)

以俄國著名數(shù)學家切比雪夫(Tschebyscheff，又譯契貝雪夫等,1821—1894)的名字命名的重要的特殊函數(shù)，第一類和第二類切比雪夫多項式Tn(x)和Un(x),源于多倍角的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開式.

目前對切比雪夫多項式構(gòu)成的方程組(也稱為切比雪夫型方程組)有了初步的研究成果[1-2]，更為一般的切比雪夫型方程組的解,目前尚未見有報道.本文主要討論2類二維切比雪夫型方程組的解．

1 預備知識

定義1[3]第一類切比雪夫多項式定義為：

Tn(x)=cos(narccosx)=

定義2 第I類二維切比雪夫型方程組定義為：

(1)

定義3 第II類二維切比雪夫型方程組定義為：

(2)

引理1[4]設(shè)f(x,y),g(x,y)是2個復系數(shù)的二元多項式,

f(x,y)=a0(y)xn+a1(y)xn-1+…+an(y),

g(x,y)=b0(y)xm+b1(y)xm-1+…+bm(y),

其中ai(y)(i=0,1,…,n)和bj(y)(j=0,1,…,m)是y的多項式.R(f,g)為f(x,y)與g(x,y)的結(jié)式[3].如果(x0,y0)是方程組

(3)

的一個復數(shù)解，那么y0就是R(f,g)=0的一個根；反過來，如果y0是R(f,g)=0的一個復根，那么a0(y0)=b0(y0)=0，或者存在一個復數(shù)x0,使(x0,y0)是方程組(3)的一個解.

為了求解方程組(3)，先求高次方程R(f,g)=0的全部根，再把R(f,g)=0的每個根代入方程組(3)，再求x的值.從而得到方程組(3)的全部解.

(aj-i)t=k-j.

(4)

當i=aj且k=j時,對任意t,都有式(4)成立.所以,對于任意t,當j=j0時,有k=j0.

2 結(jié)果

(cos(-mk1δ+jπ),cos 2k1δ)

及 (cos(-mk2φ+jπ),cos 2k2φ),

(cospk1δ,cosk1δ),(cos(π-pk1δ),cosk1δ)

(k1=0,1,2,…,p2-1),

(cospk2φ,cosk2φ), (cos(π-pk2φ),cosk2φ)

(k2=1,2,…,p2),

其中,δ=π/(p2-1)，φ=π/(p2+1).

定理2 若切比雪夫型方程組(1)有解，則其全體復數(shù)解中，相異解的個數(shù)至多為m2個.

定理3 若切比雪夫型方程組(2)有解,其中t≥2,則當2t>m時,方程組(2)有2t個復數(shù)解;當2t

注2 由于m<2t時，方程組(2)的全體復數(shù)解類似m>2t時討論可得，往下只討論m>2t的情形.

定理4 當t≥2,m>2t時,方程組(2)的全體復數(shù)解有m個,解通式為

(cos(k1δ+2jk1π)/t,cosk1δ),
(cos(-k2φ+2jk2π)/t,cosk2φ).

j=f(k)=

其中〈a1,a2,…,at〉為J的一個排列,且有以下結(jié)論成立.

結(jié)論3 若m≡(modt),當j=j0時,若k屬于k0類,則k0滿足j0′≡k0(modt′),其中,′=/d.

總結(jié)第II類二維切比雪夫型方程組全體復數(shù)解的求解步驟如下：

(1)求出如定理4所述的解的通式及相應j,k的可取數(shù)集J,K.

(2)根據(jù)j0′≡k0(modt′),求出j所對應的k0,用結(jié)論3所示的方法對j進行分類(求解過程中,只要求得每一類的一個j值,則可根據(jù)結(jié)論1所示j的等差性求出該類的所有j值).

3 定理的證明

解得:

(5)

(6)

(7)

(8)

解(αn,βn) (n=1,2,3,4)分別為

(mβ1/2+j1π,2(2i1-mj1)π/(m2-4)),
(mβ2/2+j2π,2(2i2-mj2)π/(m2+4)),
(-mβ3/2+j3π,2(mj3-2i3)π/(m2+4)),
(-mβ4/2+j4π,2(mj4-2i4)π/(m2-4)).

(mk1δ+j1π,2k1δ),(mk2φ+j2π,2k2φ),
(-mk2φ-j2π,2k2φ),(-mk1δ-j1π,2k1δ)，

(cos(mk1δ-(mk1/(m2-4))π),cos 2k1δ)

或

(cos(-mk1δ+(1+(mk1/(m2-4)))π),cos 2k1δ).

由

cos(mk1δ-(mk1/(m2-4))π)=cos(mk1δ),

cos(-mk1δ+(1+(mk1/(m2-4)))π)=cos(-mk1δ)

及cos(mk1δ)=cos(-mk1δ)得:無論方程組(5)、(8)哪個有解,方程組(1)都有解為:(cos(-mk1δ),cos 2k1δ).類似解方程組(6)、(7)得方程組(1)另一相應的解為:(cos(-mk2φ),cos 2k2φ).當k1,k2為奇數(shù)時，類似得方程組(1)的解為：(cos(-mk1δ+π),cos 2k1δ)，(cos(-mk2φ+π),cos 2k2φ);綜上,m為奇數(shù)時，方程組(1)有上述1+(m2-5)/2+(m2+3)/2=m2個復數(shù)解；當m為偶數(shù)時,方程組(1)的復數(shù)解類似當m為奇數(shù)時的討論步驟和方法可得.

定理2的證明當m為奇數(shù)時,

Tm(y)=a0ym+0·ym-1+a2ym-2+0·ym-3+

a4ym-4+…+0·y2+am-1y，

代入方程組(1)得

Ry(f,g)=2m[-g(m+1)/2f(m-1)/2+(T2)2],

其中

T=Tm(x)+1,T2=-T2(x),

f(m-1)/2=am-1+am-3T/2+…+a0(T/2)m-1/2,

g(m+1)/2=am-1T/2+am-3(T/2)2+…+a0(T/2)(m+1)/2，

Tm(y)=a0ym+0·ym-1+a2ym-2+0·ym-3+

a4ym-4+…+0·y2+am-2y2+am，

代入方程組(1)可得

Ry(f,g)=2m(gm/2)2,

gm/2=am-T2(x)+am-2T/2+…+a0(T/2)m/2,

T=Tm(x)+1,T2=-T2(x),

所以,?(Ry(f,g))=2m·m/2=m2,則Ry(f,g)=0的全體復數(shù)根有m2個,且每個根至少為二重根,由于{x|Ry(f,g)=0}={x|gm/2=0},則gm/2=0的根包含Ry(f,g)=0的所有相異根.設(shè)xi(i=1,2,…,m2/2)為u(x)=0的m2/2個根,由于m為偶數(shù),把xi代入方程組(1)得到其2個解為(xi,yi),(xi,-yi),則方程組(1)的相異解的個數(shù)至多為m2個.

定理3的證明方程組(2)中，

Ry(f,g)=2[Tt(x)]2-Tm(x)-1,
?([Tt(x)]2)=2t,?(Tm(x))=m，

注3 定理4證明類似定理1,不贅.

結(jié)論1的證明設(shè)

(9)

(10)

式(9)-(10)得,

m′(j1-j2)=t′(i1-i2),

m′(j1-j2)=t′(i1-i2)+(k1-k2),

結(jié)論4的證明由結(jié)論3和引理2得

參考文獻：

[1] 周峻民,吳康.切比雪夫多項式的周期軌的相關(guān)研究[J].中國初等數(shù)學研究，2010(2)：97-100.

[2] 吳康.關(guān)于切比雪夫多項式的一些研究[J].中學數(shù)學研究,2006(3):27-30.

[3] 劉適式,劉式達.特殊函數(shù)[M].北京:氣象出版社,2002:304-332.

[4] 北京大學數(shù)學力學系.高等代數(shù)[M].北京:人民教育出版社,1978:144-149.