基于牽制控制的一類線性耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步

吳雪飛，徐 晨

1)深圳大學(xué)信息工程學(xué)院，深圳518060;2)深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院，深圳518055

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)存在于現(xiàn)實(shí)世界中，人們?cè)谏詈凸ぷ髦须S時(shí)接觸各種各樣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)［1-3］，如因特網(wǎng)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)、生態(tài)網(wǎng)及交通網(wǎng)等，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已成為人們?nèi)粘Ｉ钪斜夭豢缮俚囊徊糠?同步現(xiàn)象是自然系統(tǒng)中一種典型的集體行為現(xiàn)象［4-6］.早在17世紀(jì)，科學(xué)家就發(fā)現(xiàn)掛在同一橫梁上的兩個(gè)鐘擺，無論起始高度是否一樣，最終都能同步到同一振幅.根據(jù)結(jié)構(gòu)決定功能的觀點(diǎn)，在證實(shí)研究和網(wǎng)絡(luò)建模的基礎(chǔ)上探討和預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的行為已成為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同前研究的熱點(diǎn).

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究有助于理解網(wǎng)絡(luò)對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)同步現(xiàn)象的影響，其中牽制控制核心思想是網(wǎng)絡(luò)中小部分節(jié)點(diǎn)能夠“引領(lǐng)”網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)，逐漸實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的同步，這種牽一發(fā)而動(dòng)全局的思想已在眾多復(fù)雜系統(tǒng)的同步研究中得到驗(yàn)證.例如，在生物群落中，蟻后蜂后具有整個(gè)蟻群蜂群的絕對(duì)統(tǒng)治;在社會(huì)系統(tǒng)中，群體意見的形成往往受到某個(gè)或某些關(guān)鍵領(lǐng)導(dǎo)者的影響等.因此，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中如何對(duì)這些具有“領(lǐng)導(dǎo)能力”的節(jié)點(diǎn)實(shí)施有效控制，最終達(dá)到系統(tǒng)整體同步，是當(dāng)今學(xué)者研究關(guān)注的課題［7-11］.汪小帆等［9］提出可以將一個(gè)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)牽制到其平衡點(diǎn)的一個(gè)有效方法.陳天平等［10］研究用一個(gè)單控制器來牽制一個(gè)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò).同時(shí)，較之線性反饋控制，自適應(yīng)牽制控制克服了預(yù)估反饋增益的問題，在處理網(wǎng)絡(luò)同步方面獨(dú)有見解，周進(jìn)等［11］討論用自適應(yīng)控制的方法來牽制復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).樊春霞等［12］利用節(jié)點(diǎn)輸出變量構(gòu)造同步控制器，針對(duì)輸出耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制，提出一種自適應(yīng)控制方法以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步.

本研究討論一類線性耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步問題，使節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)性態(tài)條件f∈KΓ［13］.采用與文獻(xiàn)［14］相同的方法，通過對(duì)其部分節(jié)點(diǎn)牽制控制，最終實(shí)現(xiàn)該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)均趨于同一狀態(tài).本研究還用自適應(yīng)控制方法在實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步的同時(shí)獲得盡可能小的耦合強(qiáng)度，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)論的正確性.

1 系統(tǒng)模型與相關(guān)知識(shí)

線性耦合常微分方程 (linearly coupled ordinary differential equations，LCODEs)是一類描述耦合連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的理論模型，并被廣泛應(yīng)用于時(shí)空復(fù)雜系統(tǒng)的研究中.在離散空間，它也常被用來描述耦合振子.通常LCODEs可用如下方程描述

其中，N＞1表示網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目;xi∈Rn表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量;時(shí)間t∈［0，+∞);Γ表示一個(gè)內(nèi)耦合矩陣;f:Rn×［0，+∞)表示連續(xù)的向量值函數(shù);c＞0表示耦合強(qiáng)度;耦合矩陣A=(aij)N×N用來描述網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和權(quán)重，具體定義為:若節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j(i≠j)有邊相連，則aij=1，否則aij=0.這里，矩陣A不一定對(duì)稱，其對(duì)角線元素滿足以下耗散耦合條件

由式(1)描述的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步可敘述為，若網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量滿足x1(t)=x2(t)==1，2，…，N，則稱網(wǎng)絡(luò)完全同步 (complete synchronization)，其中s(t)表示非耦合系統(tǒng)的一個(gè)解，

這里s(t)可以是一個(gè)平衡點(diǎn)，或是周期軌、擬周期軌及混沌軌道.定義向量x的范數(shù)為

為方便討論及證明文中主要結(jié)論，本研究引入以下概念和引理.

定義1［13］存在一個(gè)常數(shù)矩陣K滿足條件

其中，? x，y∈Rn.

若f(x，t)滿足上述條件，則稱f(x，t)∈KΓ.可見，這個(gè)條件比較寬松.例如所有的線性和分段線性函數(shù)都滿足這個(gè)條件;若 ?fi/?xj(i，j=1，2，…，n)有界，且Γ是正定的，則上述條件也成立.Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lu系統(tǒng)、反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及蔡式電路等都滿足此條件.

定義2［15］若存在常數(shù)M ＞0，μ ＞0，使得對(duì)任一初值xi(t0)，其解xi滿足

其中，s是系統(tǒng) (2)的一個(gè)解，則稱受控制的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)

是全局指數(shù)穩(wěn)定到軌道s上的.

其中，H，D ∈ RN×N;H1，D1∈ Rr×r(r ＜ N);D1=diag{d1，d2，…，dr}是一個(gè)正定對(duì)角矩陣，且H1T=H1;H2T=H2.若當(dāng)di→+ ∞(1≤i≤r)時(shí)，λmax(H-D)存在，則

di→+∞(1≤i≤r)，λmax(H-D)= λmax(H2).

引理1成立的一個(gè)局限在于控制增益di必須無限大，這在現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中是不可能的.為方便使用，一般引入一個(gè)松弛因子ε0來處理.即若λmax(H2)＜0，則對(duì)某個(gè)ε0滿足，必存在d ＞0，使得當(dāng)di≥d時(shí)，λmax(H-D)≤λmax(H2)+ε0＜ 0.

引理1［14］假設(shè)

2 主要結(jié)論

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng) (1)中各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量的同步，我們對(duì)該系統(tǒng)實(shí)施牽制控制.不失一般性，選擇前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行牽制，即對(duì)系統(tǒng)(1)的前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)實(shí)施線性反饋控制，此時(shí)受控動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)可描述為

其中，d＞0是反饋控制增益.

定義誤差向量

定理1 假設(shè)f∈KΓ，如果對(duì)某一ε0＞0，存在一個(gè)自然數(shù)l∈［1，N-1］和一個(gè)反饋控制增益d，滿足，那么受控動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(5)是全局指數(shù)同步到軌道s上的，其中λi是矩陣的Mi最大特征值，Mi是同時(shí)去除矩陣的前l(fā)行、l列所得的矩陣，^A是矩陣A的主對(duì)角元aii由取代后得到的矩陣.

【證】取Lyapnuov函數(shù)為

其中，η =-［θ+c(λl+1+ε0)］.根據(jù)假設(shè)η ＞0，由比較定理得

因此對(duì) i=1，2，…，N

這樣動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò) (5)的各個(gè)狀態(tài)變量在牽制控制下全局指數(shù)同步到了軌道s上，證畢.

定理1的條件中要求此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中耦合強(qiáng)度c較大，一般來說，耦合強(qiáng)度越大需要消耗的能量越多，為解決這一問題，常用的方法是對(duì)其實(shí)施自適應(yīng)控制，即將耦合強(qiáng)度c看成是時(shí)間t的函數(shù)，使得在實(shí)施網(wǎng)絡(luò)同步過程中自動(dòng)調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度，以獲取較為合理的耦合強(qiáng)度值，從而降低能量的消耗.自適應(yīng)控制與常規(guī)反饋控制以及最優(yōu)控制一樣，都是一種基于數(shù)學(xué)物理模型的控制方法，不同的只是自適應(yīng)控制所依據(jù)的關(guān)于模型的先驗(yàn)知識(shí)較少，需要在系統(tǒng)的運(yùn)行和控制過程中不斷發(fā)現(xiàn)和提取有關(guān)模型的信息，使模型逐漸完善.具體說，可依據(jù)對(duì)象的輸入輸出數(shù)據(jù)，不斷辨識(shí)模型參數(shù)，不斷改進(jìn)和完善基于該模型綜合出來的控制作用.從這個(gè)意義上講，控制系統(tǒng)具有一定“隨機(jī)應(yīng)變”的適應(yīng)能力.同時(shí)較線性反饋控制，自適應(yīng)牽制控制克服了預(yù)估反饋增益的問題，使網(wǎng)絡(luò)的同步能力得到極大提高，并能獲得使網(wǎng)絡(luò)同步的最小耦合強(qiáng)度，因此在處理網(wǎng)絡(luò)同步方面有其獨(dú)到之處.但自適應(yīng)控制比常規(guī)反饋控制要復(fù)雜得多，成本也高，通常僅在常規(guī)反饋控制達(dá)不到期望的性能時(shí)，才考慮采用.

因此，動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(5)的誤差系統(tǒng)和耦合強(qiáng)度c的自適應(yīng)律為

為方便起見，取 Γ =diag{γ1，γ2，…，γn}，其中 γ1，γ2，…，γn為正常數(shù).

取常數(shù)α＞0，定義李雅普諾夫函數(shù)

其中，常數(shù)β和μ將在后面確定.對(duì)其求導(dǎo)

根據(jù)定理2的條件，有

證畢.

3 數(shù)值模擬

本研究主要考慮小世界網(wǎng)絡(luò)300個(gè)節(jié)點(diǎn)的情況，連接權(quán)重在［0，1］隨機(jī)選擇，并符合正態(tài)分布.采用上述同步條件研究具有相同動(dòng)力學(xué)行為的300個(gè)節(jié)點(diǎn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其中非耦合節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)用Lorenz系統(tǒng)反映，并在第一個(gè)節(jié)點(diǎn)實(shí)施牽制控制.Lorenz系統(tǒng)表達(dá)式為

其中，β =10，α =28，b=8/3.

系統(tǒng) (1)中，f(·)是混沌Lorenz振子，取i0使取控制增益 d=2，用來描述牽制過程的同步質(zhì)量.

圖1表示一般復(fù)雜耦合網(wǎng)絡(luò)的常規(guī)牽制過程，選擇 m=300，n=3，c=40，d=2.圖2表示自適應(yīng)方法E(t)和c(t)的變化曲線.

圖1 300個(gè)節(jié)點(diǎn)的線性耦合網(wǎng)絡(luò)的牽制同步過程Fig.1 The synchronization of a network with linear coupling of 300 nodes by pinning control

圖2 300個(gè)節(jié)點(diǎn)的線性耦合網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步過程Fig.2 The synchronization of a network with linear coupling of 300 nodes by adaptive control

結(jié) 語

本研究討論了一類復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題，通過對(duì)其部分節(jié)點(diǎn)的牽制控制，實(shí)現(xiàn)所有節(jié)點(diǎn)均趨于同一狀態(tài)，運(yùn)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論給出證明，得到了達(dá)到全局指數(shù)同步的充分條件.對(duì)該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度實(shí)施自適應(yīng)控制，達(dá)到實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的同時(shí)，獲得較小的耦合強(qiáng)度.數(shù)值模擬結(jié)果證實(shí)該理論結(jié)果正確.

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