某類常微分方程的積分解法

劉向宇

(天津廣播電視大學(xué) 理工學(xué)院，天津 300191)

某類常微分方程的積分解法

劉向宇

(天津廣播電視大學(xué) 理工學(xué)院，天津 300191)

關(guān)于二階常系數(shù)線性微分方程的常規(guī)解法是非常完善的，而且還可推廣出高階常系數(shù)線性微分認(rèn)識方程的求解。但是這個方法也是比較復(fù)雜的，對于某些二階常系數(shù)線性微分方程完全可以改用簡單實(shí)用的方法來解決。根據(jù)其特征根的不同情況進(jìn)行分類討論可以得到通解的一般表達(dá)形式。

微分方程;特征根;通解;積分方法

0 引言

函數(shù)是客觀事物內(nèi)部或外部樸素聯(lián)系的數(shù)量反映，利用函數(shù)能夠方便對客觀事物的規(guī)律進(jìn)行研究。在實(shí)際情況中，直接確定出需要的函數(shù)關(guān)系往往比較困難，但是有時卻可以通過已知的條件建立要找的函數(shù)及共導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，這就是微分方程。作為積分應(yīng)用的求解常微分方程問題是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一部分。但由于微分認(rèn)識方程的復(fù)雜性，它的解法根據(jù)微分方程的不同也相對多樣，這里主要討論的是二階常系數(shù)線性微分方程即y″+py′+qy=h(x)(其中p，q是常數(shù))的通解問題，為的是拓寬學(xué)生的解題思路。

按照常規(guī)的解法，是先確定二階常系數(shù)齊次線性微分方程y″+py′+qy=0的通解y0，然后再根據(jù)h(x)的不同情況確定非齊次線性微分方程y″+py′+qy=h(x)的一個特解y*，最后根據(jù)解的疊加原理得到非齊次線性微分方程的通解y=y0+y*。［1］這個求解過程其實(shí)是比較復(fù)雜的，其一，確定齊次線性微分方程的通解時需要根據(jù)特征方程得到的特征值情況確定通解的分類，然后才能確定通解;其二，確定特解更為復(fù)雜，需要考慮h(x)的形式以及特征值情況構(gòu)造特解的形式，然后把構(gòu)造出的特解代入原微分方程利用待定系數(shù)法確定特解。這就使得對于未能深入了解微分方程解的推導(dǎo)過程的同學(xué)只能是死記硬背某些結(jié)論，很容易出錯。其實(shí)解此類方程也可以通過一些比較容易理解的方法達(dá)到目的，來看下面的一例子。

1 舉例1

(研究生考試題集)［2］求微分方程y″+5y′+6y=xe2x的通解。

分析:本題按照常規(guī)則應(yīng)先求齊次方程通解，再求特解，最后得到原方程的通解，這時我們將舍棄此法，改用大家熟悉的一元函數(shù)積分來解此題。

解:原方程可寫為

給方程兩邊同時乘以e－2x得

即

積分可得

方程兩邊同時乘以e－x得

即

積分可得

原方程的通解為

通過研究這個特例，可以使我們對此類方程的積分求解過程有個初步的了解，即用積分方法求解的關(guān)鍵是需要通過乘以某個因子使線性微分方程左邊完全變成導(dǎo)數(shù)的形式，進(jìn)一步可以推測在因子的選擇上可能還會受限于齊次線性微分方程的特征根。這些認(rèn)識的產(chǎn)生正是特殊化方法帶給我們的成效，對個別特殊情況的討論，常?？梢酝怀鰡栴}的關(guān)鍵，有助于揭示出問題的本質(zhì)。［3］現(xiàn)在一個重要的問題是這個方法是否具有普適性。為了更清晰的看清變化規(guī)律，應(yīng)該再試兩個題目進(jìn)行比對。

2 舉例2

求微分方程y″+3y′+2y=3xe－x的通解。

分析:微分方程的特征根λ1=－1，+λ2=－2.

解:方程可寫為

方程兩邊同時乘以ex得

積分可得

方程兩邊再同時乘以ex得

積分可得原方程的通解為

例3求微分方程y″+4y=x+cosx的通解。

分析;微分方程的特征根為 λ1=2i，λ2=－2i。

解;方程兩邊同時乘以sin2x，并增減項(xiàng)后變形得

即

積分可得

方程兩邊同時除以(sin2x)2得

即

積分可得

原方程的通解為

通過這幾個例了，把這種方法進(jìn)行歸納和整理，得出一般的結(jié)論。根據(jù)其特征根的不同分為下面三種情況進(jìn)行討論。

情況一:特征根為兩個不同的實(shí)根。

不妨設(shè)兩個特征根分別λ1和λ2，則此類二階常系數(shù)線性微分方程一定可以寫成如下形式

即

則方程兩邊同時乘以e－λ2x得

即

積分可得

方程兩邊再同時乘以e(λ2－λ1)x得

積分可得

原方程的通解為

情況二:特征根為兩個相同的實(shí)根，即重根。

不妨設(shè)重根為λ，則此類二階常系數(shù)線性微分方程一定可以寫成如下形式

即

則方程兩邊同時乘以e－λx得

積分可得

即

積分可得

原方程的通解為

情況三:特征根為復(fù)根。

在方程特征根為復(fù)根時，積分方法使用起來較為復(fù)雜，現(xiàn)在只討論復(fù)根中的一種特殊情況——特征根為純慮根，這種情況相對來說較為簡單，但是由于三角函數(shù)的積分仍然比較繁瑣，所以此時應(yīng)酌情使用此法。

不妨設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程為

即

積分可得

也即

積分可得

原方程的通解為

以上就是關(guān)于二階常系數(shù)線性微分方程的積分解法的介紹，在結(jié)論中可以清楚的看到通解是由兩部分組成，其一是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，其二是非齊次微分方程的特解，這與常規(guī)解法的結(jié)論殊途同歸。數(shù)學(xué)中解題的方法是多樣的、靈活的，大家在嘗試多種方法的同時不僅可以更清楚的理解各個知識之間的聯(lián)系，而且可以鍛煉我們的思維，提高處理問題的能力。

［1］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2002:301－310.

［2］ 黃慶懷.2011全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)教材［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2010:154.

［3］ 顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京:中央廣播電視大學(xué)出版社，2004:164－166.

Integration Method for Some Ordinary Differential Equation

LIU Xiang-yu
(College of Science and Technology，Tianjin Radio and TV University，Tianjin 300191，China)

The normal method of solution about 2nd order linear differential equation with constant coefficients is perfect，which can deduce the solution to high order linear differential equation with constant coefficients.But the method is more complicated for some 2nd order linear ordinary differential equation with constant coefficients，we can use more simple and practical method.The general expression of solutions is btained by making classified discussion on the differential equation according to the characteristic root.

differential equation;characteristic root;general solution;integration method

O175.1

A

1009－3907(2011)12－0077－04

2011-06-30

劉向宇(1981-)，男，內(nèi)蒙古烏拉特前旗人，講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教育、遠(yuǎn)程教育、成人教育理論和應(yīng)用方面研究。

責(zé)任編輯:鐘 聲