雙正交小波的譜半徑及其應(yīng)用

王國(guó)秋，楊夢(mèng)云

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,中國(guó) 長(zhǎng)沙 410081)

正交小波變換是一能量守恒變換．無(wú)論是連續(xù)形式還是離散形式的小波變換，誤差都是可控的．然而，作為小波理論的一個(gè)重要組成部分，雙正交小波變換已不是一個(gè)能量守恒變換，雖然它是嚴(yán)格可逆的變換，但它的誤差就不完全可控．因此，雙正交小波變換的誤差分析和控制就格外重要．

有關(guān)雙正交小波變換的誤差分析，涉及到框架上界的估計(jì)或小波變換算子的譜估計(jì)，到現(xiàn)在為止，并未見(jiàn)有關(guān)研究報(bào)道．小波函數(shù)大多是隱函數(shù)，所以直接對(duì)小波框架的界估計(jì)或連續(xù)小波變換算子的譜估計(jì)都有較大的困難．

雙正交小波理論較優(yōu)美，性能卓越．自從Cohen和Daubechies等的大作[1]問(wèn)世后，雙正交小波就逐漸為人們所認(rèn)知，并在應(yīng)用領(lǐng)域廣泛使用[2-4]．當(dāng)雙正交小波由一個(gè)MRA生成時(shí)，我們采用了一種誤差分析方法．本文的第一作者曾引進(jìn)了2-循環(huán)矩陣的概念[5]，這個(gè)概念的意義在于能將Mallat算法[6]用嚴(yán)格的有限維矩陣來(lái)表示，從而可以借助代數(shù)學(xué)的成熟理論來(lái)研究小波中的一些問(wèn)題．

1 雙正交小波的譜半徑

假定V=[v1,v2,…,vn-1,vn]是一個(gè)n維向量,這里n是正偶數(shù)．

定義一個(gè)算子σ:σ(V)=[vn-1,vn,v1,…,vn-3,vn-2]，則σn/2(V)=V．稱σ是一個(gè)2-循環(huán)線性算子．

(1)

(2)

在Cohen和Daubechies等的理論指導(dǎo)下，產(chǎn)生了著名的9-7型雙正交小波(簡(jiǎn)記為CDF97小波)[1]．然而，利用Cohen等的理論去構(gòu)造偶數(shù)濾波器長(zhǎng)度的雙正交小波時(shí)，得到的小波可能既沒(méi)有好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，也沒(méi)有好的變換性能．例如，濾波器結(jié)構(gòu)為8-8型(即高低通濾波器的長(zhǎng)度均為8)的具有最高消失矩的雙正交小波為：

低通濾波器(一半系數(shù),對(duì)稱)：{hi}={0.053 497 5,-0.087 225 8,-0.069 220 8,0.602 949}，

高通濾波器(一半系數(shù),反對(duì)稱)：{gi}={-0.022 817 9,0.037 203 8,0.133 432,-0.426 59}．

它們的構(gòu)造思想是讓一對(duì)高通濾波器分別具有5階和3階消失矩．這個(gè)小波簡(jiǎn)記為CDF88，可以驗(yàn)證這個(gè)小波的理論性質(zhì)和應(yīng)用表現(xiàn)都不理想．這一現(xiàn)象說(shuō)明現(xiàn)有的雙正交小波理論本身有待完善之處．

設(shè)λ是矩陣AAT的任意特征值，max(|λ|)就稱為A的譜半徑．

由引理可知，雙正交小波不可能無(wú)限接近于一個(gè)正交系統(tǒng)．

證由引理1的1)和3)，ηn為正且有上界，所以η的存在性顯然．由引理3，ηn一定落在區(qū)間(λ0,1/λ0)之外，所以ηn>1/λ0，從而η≥1/λ0>1．

這個(gè)推論說(shuō)明了當(dāng)一個(gè)雙正交小波給定后，有一個(gè)唯一的η與之對(duì)應(yīng)．

注若雙正交小波由多分辨分析生成，則其濾波器和小波函數(shù)是等價(jià)的，所以上述定義適用于小波函數(shù)．稱η為雙正交小波的譜半徑是因?yàn)棣莕是Mn的譜半徑，它的上極限與矩陣沒(méi)有關(guān)系，而僅與這個(gè)雙正交小波有關(guān)系．

譜半徑的大小可以衡量一個(gè)雙正交小波的正交程度，譜半徑越小，反映雙正交小波的正交程度更好．由于η是一個(gè)大于1的數(shù)，它離1越近，表示正交程度越好．但不能簡(jiǎn)單地說(shuō)，譜半徑越小越好，因?yàn)橛绊懶〔ㄐ阅艿囊蛩睾芏?，而譜半徑大小只是其中關(guān)鍵的因素之一．

CDF88的譜半徑的近似值和CDF97的譜半徑的近似值見(jiàn)表1．CDF97的譜半徑更接近1，所以它的正交程度更好一些．

表1 不同小波的譜半徑

2 基于最小譜半徑的雙正交小波類

通過(guò)上面的討論，希望得到min(η)，以便雙正交小波系統(tǒng)是穩(wěn)定的．因此，提出如下的一個(gè)小波類：

1)選取合適的小波結(jié)構(gòu)，如奇數(shù)長(zhǎng)或偶數(shù)長(zhǎng)的，確定應(yīng)用所需要的分解端的濾波器的長(zhǎng)度．

2)根據(jù)分解端高通濾波器的長(zhǎng)度L決定消失矩的階數(shù)，一般偶數(shù)長(zhǎng)L的最高消失矩為L(zhǎng)/2+1階，奇數(shù)長(zhǎng)L的最高消失矩為(L+1)/2階．同時(shí)，重構(gòu)端高通濾波器也給予一定的消失矩條件．

3)選取滿足min(η)的雙正交小波．

我們稱這個(gè)小波類為基于最小譜半徑的雙正交小波類．

具有偶數(shù)長(zhǎng)濾波器的雙正交小波中性能優(yōu)異者并不多見(jiàn)．下面給出8-8型、12-8型和16-8型最優(yōu)小波各一個(gè)，它們的分解端高通濾波器的長(zhǎng)度都為8，消失矩都為5階，重構(gòu)端高通濾波器的消失矩的階數(shù)不作限制可設(shè)為1階矩．注意，10-8型、14-8型小波不存在．之所以給出3組小波，是因?yàn)樵?-8型和12-8型里的最優(yōu)解的譜半徑過(guò)高，要想進(jìn)一步最小化譜半徑，就必須增加參數(shù)，故需加長(zhǎng)濾波器的長(zhǎng)度．

8-8型(Op88):

低通濾波器(一半系數(shù),對(duì)稱)：{hi}={0.099 856 2,-0.197 88,0.110 494,0.487 53}，

高通濾波器(一半系數(shù),反對(duì)稱){gi}={-0.030 686 9,0.060 810 8,0.125 563,-0.465 935}．

12-8型(Op128)：

低通濾波器(一半系數(shù)，對(duì)稱)：{hi}={0.0169 69,-0.036 622,0.103 044,-0.112 219,0.049 022 9,0.479 804}，

高通濾波器(一半系數(shù),反對(duì)稱)：{gi}={-0.037 121 7,0.080 115 2,0.119 128,-0.498 109}．

16-8型(Op168)：

低通濾波器(一半系數(shù),對(duì)稱)：{hi}={0.007 204 13,-0.015 614 2,-0.005 060 77,0.057 583 1,0.009 750 06,-0.091 724 8,0.068 464 5,0.469 398}，

高通濾波器(一半系數(shù),反對(duì)稱)：{gi}={-0.037 533,0.081 348 9,0.118 717,-0.500 165}．

它們的譜半徑見(jiàn)表1．Op88和Op128的圖像較CDF88雖有改善，但分解端的尺度函數(shù)和小波函數(shù)的圖像效果仍不理想，均類似于CDF88，說(shuō)明5階的高消失矩要求有些勉強(qiáng)，因此在給定的結(jié)構(gòu)里達(dá)不到希望的譜半徑．而Op168的圖像已非常光滑(見(jiàn)圖1)，可見(jiàn)譜半徑的大小與圖像的光滑性有某種必然的內(nèi)在關(guān)系．

圖1 Op168小波，其中，(a)和(c)是尺度函數(shù)對(duì)；(b)和(d)是小波函數(shù)對(duì)

3 實(shí)驗(yàn)分析

SPIHT算法[4]是一個(gè)優(yōu)秀的圖像壓縮編碼算法，它最大限度地利用了小波變換的特性，所以SPIHT算法也是全世界公認(rèn)的測(cè)試小波性能的有效手段之一．我們采用SPIHT算法來(lái)測(cè)試所得到小波基的性能．在SPIHT算法里，我們采用Huffman熵編碼算法，小波分解次數(shù)都是6次，一律采用周期延拓處理邊界．重建信號(hào)與原始信號(hào)的誤差采用峰值信噪比(PSNR)來(lái)衡量．實(shí)驗(yàn)圖像為常用的具有兩種典型分布的512×512的Barbara和Lena測(cè)試圖．試驗(yàn)結(jié)果在表2和表3中．在表2和表3中，第一列為圖像的壓縮比(如“1∶4”表示壓縮圖像與原始圖像的存儲(chǔ)空間比為1∶4，其他類似)，表中的數(shù)據(jù)為PSNR(dB)．

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，Op88與CDF88的結(jié)構(gòu)相同，但Op88性能有很大的改善，說(shuō)明最小化譜半徑是有效的．就4組小波(CDF88，Op88，Op128，Op168)而言，它們的譜半徑是逐漸降低的，但它們的性能大體上是增加的．對(duì)于Op168，就兩幅測(cè)試圖，它的壓縮編碼能力幾乎在各個(gè)碼率上都超過(guò)了CDF97的，尤其對(duì)復(fù)雜紋理圖像，在中等碼率下，具有超過(guò)0.4 dB的PSNR的優(yōu)勢(shì)，這一優(yōu)勢(shì)在圖像壓縮編碼里是不可忽略的，尤其對(duì)于復(fù)雜圖像，解碼圖像的質(zhì)量提高是非常困難的．所以，本文的結(jié)果無(wú)疑給研究者構(gòu)造更好的小波帶來(lái)了希望．

表2 Barbara測(cè)試結(jié)果

表3 Lena測(cè)試結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的雙正交小波的譜半徑是一個(gè)重要概念.用這個(gè)概念能定量地衡量一個(gè)雙正交小波的正交程度的高低．在高消失矩條件下，最小化譜半徑才能凸顯雙正交小波的優(yōu)勢(shì)．

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