一種月球軟著陸參考軌跡解析算法研究

丁書(shū)卷，張洪華

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

一種月球軟著陸參考軌跡解析算法研究

丁書(shū)卷1，2，張洪華1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

使用了高度和航向航程匹配求解推重比的算法，解決了一種無(wú)直接解析解的參考軌跡的求解問(wèn)題.在數(shù)值仿真的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)化了參考軌跡的求解，給出了推重比與高度和航向航程的關(guān)系，以及這些關(guān)系存在的原因.應(yīng)用Monte Carlo仿真法對(duì)該方法求解的可行性進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，并基于一個(gè)類(lèi)A-pollo的參考軌跡，驗(yàn)證了算法對(duì)參數(shù)分布引起的狀態(tài)不定具有魯棒性.

月球軟著陸;參考軌跡;解析算法

制導(dǎo)是月球軟著陸的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，新的月球探測(cè)任務(wù)對(duì)其提出了燃耗性、實(shí)時(shí)性、自主性、魯棒性(或自適應(yīng)性)的要求［1］.根據(jù)不同的分類(lèi)方法主要有:重力轉(zhuǎn)彎制導(dǎo)，多項(xiàng)式制導(dǎo)，顯式制導(dǎo)和隱式制導(dǎo)，解析制導(dǎo)和非解析解制導(dǎo)等;前兩種方法曾分別應(yīng)用在Surveyor探測(cè)器和Apollo載人登月中.

早期的重力轉(zhuǎn)彎法［2-4］建立在月球平面模型或離月面較近的最終下降段的假設(shè)上，這些模型的共同點(diǎn)是向心力相對(duì)月球重力可以忽略.Mc Innes［5］在常推重比的假設(shè)下，得到了球面模型重力轉(zhuǎn)彎法的一個(gè)解析解，解析解是關(guān)于航跡角的函數(shù)，并指出如果著陸的初始速度近似于環(huán)繞速度，解析解可近似為一個(gè)LambertW顯函數(shù).

Apollo登月艙采用的是顯式的多項(xiàng)式制導(dǎo)方法［6］，同時(shí)它也是“二元制導(dǎo)”，因?yàn)槠渲茖?dǎo)分為參考軌跡和實(shí)時(shí)制導(dǎo)兩部分.由于其參考軌跡設(shè)計(jì)需要大量的迭代運(yùn)算，所以很難滿(mǎn)足實(shí)時(shí)性的要求.

文獻(xiàn)［1］使用“打靶法”求解兩點(diǎn)邊值的最優(yōu)問(wèn)題，得到了一個(gè)燃耗次優(yōu)的參考軌跡.Christina T.Chomel［7］在改進(jìn)重力轉(zhuǎn)彎法的基礎(chǔ)上得到了一個(gè)參考軌跡的生成算法;該算法相對(duì)于Apollo使用的多項(xiàng)式制導(dǎo)物理意義明顯，且無(wú)須迭代運(yùn)算.其得到的參考軌跡是速率、時(shí)間、高度、航向航程和航跡角的函數(shù)，但是沒(méi)有給出具體的求解算法，只給出了狀態(tài)匹配的原則.

本文通過(guò)數(shù)值仿真優(yōu)化了解空間，提出了一種求解方法:通過(guò)高度-航向航程誤差函數(shù)最小獲得匹配的解;并使用Monte Carlo法對(duì)該算法的可行性進(jìn)行了仿真試驗(yàn)，同時(shí)對(duì)參數(shù)分布的不確定性影響進(jìn)行了仿真分析.

1 問(wèn)題描述

根據(jù)文獻(xiàn)［7］參考軌跡的設(shè)計(jì)分為兩段，對(duì)參考軌跡的求解可以表述為:已知著陸器的初始速率、終點(diǎn)速率、初始航跡角、終點(diǎn)航跡角、高度、航向航程，求解常推重比 p1和 p2及交接點(diǎn)處速率和航跡角的大小，其關(guān)系可以表示為式(1)～(4);然而通過(guò)求反函數(shù)的方法無(wú)法獲得 p1、p2、v1和 θ1關(guān)于已知參數(shù)的解析表達(dá)式.

式(1)中:θ0為初始航跡角;θ1為交接處航跡角;θ2為末端航跡角;v0為初始速率;v2為末端速率;

式(2)中:

v1為交接處速率.

式(3)和式(4)中:

Δd為航向航程;Δh為高度.其中D和H:

2 問(wèn)題求解

一種可行的方法［7］是p1、p2在其可能的范圍內(nèi)遍歷，從中找出與已知狀態(tài)最為匹配的推重比組合.由于無(wú)法證明各個(gè)狀態(tài)變量關(guān)于推重比的單調(diào)性，因此在整個(gè)分布空間內(nèi)求解得到的推重比組合可能不是唯一的，求得的結(jié)果也可能是不合理的.

輸入?yún)?shù)選取按表1，得到高度和航向航程的分布如圖1和圖2所示.兩圖中的曲線(xiàn)明顯分為兩大部分，表明連續(xù)的推重比對(duì)應(yīng)的高度和航向航程并不連續(xù);高度和航向航程只有滿(mǎn)足一定條件才有對(duì)應(yīng)的推重比存在，這個(gè)范圍就是推重比的解空間.

表1 參數(shù)參考的取值

圖1和圖2中的右半部分曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)著合理的高度和航向航程組合.合理指的是:第一段的推重比較大，因?yàn)榻柚跏驾^小的航跡角，大推重比可以更高效地消減水平速率，第二段使用小推重比可獲得較好避障條件(獲得較長(zhǎng)的時(shí)間等).可能的高度和航程范圍本身也是一個(gè)約束條件.

經(jīng)計(jì)算推重比 p1取1.8～6，p2取0.1～1.3，是比較理想的取值范圍，此范圍內(nèi)高度和航向航程分布如圖3和圖4所示.

圖3和圖4表明高度和航向航程隨著p1的增加而減小，隨p2的減小而減小;p2上限的邊緣，高度和航程變化劇烈，其他部分平緩光滑，搜索算法容易準(zhǔn)確地得到推重比組合.

優(yōu)化后解的分布如圖5和圖6所示，其中圖5中上半部分是p1的取值，下半部分是p2的取值，兩部分在航向航程-高度平面上投影重合的部分就等效于圖6所示的分布情況.

設(shè)計(jì)參考軌跡時(shí)，首先要求高度的匹配，特別是不希望整個(gè)下降過(guò)程中有高度上升的現(xiàn)象出現(xiàn)，縮小高度偏差的目的是減小燃耗;其次是航向航程的匹配，減小航向航程偏差的目的是靠近感興趣的落點(diǎn).

由于 p1的取值較大，且作用區(qū)間也比較大，因而主導(dǎo)了高度和航向航程的大小.通過(guò)圖6變間隔仿真可以對(duì)比看出p1的間隔會(huì)影響曲線(xiàn)中點(diǎn)的疏密，p2的間隔會(huì)影響曲線(xiàn)簇的數(shù)目.這表明 p1對(duì)高度和航向航程起主導(dǎo)作用;p2作用引起的高度變化比航向航程更為明顯.其原因在于p1作用區(qū)域內(nèi)的航跡角較小，對(duì)水平速率的消減作用比對(duì)垂直方向

圖1 高度隨推重比分布

圖2 航向航程隨推重比分布

圖3 高度差隨推重比分布(優(yōu)化后)

圖4 航向航程隨推重比分布(優(yōu)化后)

圖5 優(yōu)化后解的分布圖(三維)

3 仿真驗(yàn)證

3.1 Monte Carlo仿真

優(yōu)化后的解空間亦可能存在局部極值，因此對(duì)求解算法有效性分析很有必要.本文按圖7所示的速率的消減作用明顯，p2則相反.

因此p1的間隔微調(diào)適合航向航程的精確匹配;p2的間隔微調(diào)適合高度的精確匹配.流程進(jìn)行獨(dú)立的1000次 Monte Carlo仿真試驗(yàn)，除推重比外，仿真的參數(shù)取值按表1;試驗(yàn)的算法可以描述為:

1)“初始值函數(shù)”通過(guò)隨機(jī)函數(shù)構(gòu)造參考推重比 p1和 p2，隨機(jī)函數(shù)服從區(qū)間［1.8 6］和［0.1 1.3］的均勻分布;

2)“高度和航向航程函數(shù)”根據(jù)式(1)～(4)和表1給的參數(shù)值求解參考高度h和參考航向航程d;

3)“推重比辨識(shí)函數(shù)”遍歷推重比，記為 pt1和pt2，它們的間隔分別采用0.01和0.001;

4)pt1和pt2代入“高度和航向航程函數(shù)”得到對(duì)應(yīng)的高度ht和航向航程dt;

5)“推重比辨識(shí)函數(shù)”根據(jù)(h，d，ht，dt)求 It，其中:

6)如果當(dāng)前的 It小于先前的 I:I=It，pi1=pt1，pi2=pt2;否則，繼續(xù)第3)-6)步至遍歷結(jié)束;

7)最終的pi1和pi2即為推重比的辨識(shí)結(jié)果，調(diào)用“高度和航向航程函數(shù)”得到對(duì)應(yīng)的高度hi和航向航程di;

8)將辨識(shí)的結(jié)果(pi1， pi2， hi，di)與參考值(p1，p2，h，d)的差異進(jìn)行比較，并作分布統(tǒng)計(jì).

圖6 優(yōu)化后解的分布圖(變間隔)

圖7 Monte Carlo仿真流程

圖8顯示了構(gòu)造的推重比、高度、航向航程與匹配出來(lái)結(jié)果的偏差值，表2顯示了偏差分布的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.從圖8中可以看出，航向航程和高度的絕對(duì)值誤差被限制在1km之內(nèi)，p1的絕對(duì)誤差在0.1之內(nèi)，這佐證了p1對(duì)高度和航向航程起主導(dǎo)作用的結(jié)論，表2的統(tǒng)計(jì)量亦可以看出這一點(diǎn).

圖8 狀態(tài)誤差

表2 狀態(tài)誤差統(tǒng)計(jì)

仿真出現(xiàn)的偏差可以為實(shí)時(shí)制導(dǎo)消除，但是對(duì)于減少高度誤差而言，經(jīng)過(guò)反復(fù)的試驗(yàn)表明:可以通過(guò)在匹配指標(biāo)中對(duì)高度進(jìn)行加權(quán)，一個(gè)有效的辦法是把指標(biāo)設(shè)置為各自相對(duì)值的平方根;也可以縮短仿真間隔，特別是 p2的間隔，即提高高度匹配精度可通過(guò)平衡航向航程誤差或者增加機(jī)時(shí)實(shí)現(xiàn).

3.2 參數(shù)分布的影響

初始速率、終端速率、初始航跡角、終端航跡角和月球加速度的偏差影響解的分布.文獻(xiàn)［7］對(duì)各參數(shù)偏差單獨(dú)作用下的影響進(jìn)行了仿真，仿真表明參數(shù)不確定產(chǎn)生的影響解不足以使整個(gè)設(shè)計(jì)方法失效.

本文根據(jù)文獻(xiàn)［7］提供的一個(gè)類(lèi)Apollo參考軌跡，使用上一節(jié)的算法得到如圖9所示的仿真結(jié)果.圖9中虛線(xiàn)是根據(jù)標(biāo)稱(chēng)參數(shù)生成的參考軌跡剖面，實(shí)線(xiàn)是該算法匹配結(jié)果生成的軌跡剖面.

除末段的航跡角稍有偏差外，匹配得到的參考軌跡與標(biāo)稱(chēng)參考軌跡在時(shí)間剖面上幾乎一致，航跡角偏差的原因有兩個(gè):匹配法得到的推重比比標(biāo)稱(chēng)推重比略大，因而需要較少的時(shí)間;另一個(gè)原因是航跡角在第二段對(duì)推重比更敏感.從仿真結(jié)果看，該方法對(duì)參數(shù)分布引起的狀態(tài)不定具有魯棒性，用它進(jìn)行參考軌跡的設(shè)計(jì)是可行的.

圖9 參考軌跡剖面對(duì)比圖

4 結(jié) 論

本文通過(guò)優(yōu)化解空間分布，簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解，給出了優(yōu)化后推重比的區(qū)間;Monte Carlo仿真證實(shí)了高度-航向航程匹配算法的有效性;非標(biāo)稱(chēng)值下，選用了一條典型的參考軌跡證明了算法對(duì)于參數(shù)分布的魯棒性，分析了參數(shù)分布的不確定性對(duì)參考軌跡設(shè)計(jì)的影響，優(yōu)化后區(qū)間滿(mǎn)足設(shè)計(jì)參考軌跡的需要.

不過(guò)一些問(wèn)題有待進(jìn)一步探索，問(wèn)題包括:簡(jiǎn)化后解區(qū)間的連續(xù)性和單調(diào)性，選用更多的狀態(tài)變量作為匹配準(zhǔn)則;參數(shù)偏移對(duì)推重比的影響;粒子群、遺傳算法等方法對(duì)匹配推重比的改進(jìn)作用.

［1］ 王大軼.月球軟著陸得制導(dǎo)控制研究 ［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2000

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［7］ Allan R K.Apollo lunar-descent guidance［R］.Charles Stark Draper Laboratory MIT，1971， R-695

Study on an Analytical Reference Trajectory Algorithm for Lunar Soft Landing

DING Shujuan1，2， ZHANG Honghua1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China;2.Science and Technology on Space Intelligence Control Laboratory， Beijing 100190，China)

An algorithm to obtain a proper thrust-toweight ratio set by matching given altitude and downrange is proposed in this paper，and the set is essential for solving a reference trajectory which has been proven that no one analytical solution exists hitherto.On the basis of numerical simulation，the solving process is simp lified and the correlation between the thrust-toweight ratio and the needed altitude and downrange span is given.Furthermore，a Monte Carlo simulation is also designated to verify the validation of thismethodin dealing with the issue.As to the dispersion effect caused by parameter uncertainties，an Apollo-like trajectory chosen as a touchstone has demonstrated the robustness of the analytical algorithm.

lunar soft landing;reference trajectory;analytical algorithm

V4

A

1674-1579(2011)02-0049-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.02.009

2011-01-06

丁書(shū)卷(1982-)，男，河南人，碩士研究生，研究方向?yàn)楹教炱髦茖?dǎo)與控制 (e-mail:bookroll@126.com).