盤點近年數(shù)學高考中的雙變量問題

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(嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

盤點近年數(shù)學高考中的雙變量問題

●施哲明

(嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

高中數(shù)學離不開變量，而變量問題本身就是高中數(shù)學的一個難點，涉及到2個變量的數(shù)學問題就更難了．相對來說，學生對線性規(guī)劃中的雙變量問題熟悉一些，從近幾年高考中的相關題目來看，難度也相對小一些．但也出現(xiàn)了一些新的變化趨勢，即需要轉化為線性規(guī)劃問題來解決．而從2010年的數(shù)學高考試題來看，對于雙變量問題的考查有一種加強的趨勢．本文通過近幾年數(shù)學高考中的雙變量問題，談談此類問題的解法．

1利用判別式

一元二次方程中的判別式對于高中學生來說并不陌生．利用判別式法求解可以讓學生感悟函數(shù)與方程的思想，將函數(shù)式轉變?yōu)橛疫吺?的方程．

例1已知平面向量α，β(α≠0,β≠0)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則α的取值范圍是________．

(2010年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析雖然|β|是確定的，但是2個向量是不確定的，因此也就有|α|的取值范圍了．當然利用向量的特殊性，可以用向量的幾何意義來解決．這里提供2種利用判別式的解法．

解法1在△ABC中，|OB|=1，且∠A=60°.設|OA|=|α|=x，|AB|=|β-α|=t，由余弦定理可得

即

t2-xt+x2-1=0(xgt;0,tgt;0).

Δ=x2-4(x2-1)≥0，

解得

解法2利用β=α+(β-α)和α與β-α的夾角為120°，得

1=|α|2+|β-α|2-|α|·|β-α|，

即

|β-α|2-|α|·|β-α|+|α|2-1=0,

圖1

(1)求橢圓C1的方程.

(2)設點P在拋物線C2：y=x2+h(h∈R)上，C2在點P處的切線與C1交于點M,N．當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值.

(2009年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析(2)根據(jù)橫坐標相等的條件，可以得到等式t2+(1+h)t+1=0，但從這個等式著手如何求h的最小值呢？由于P是拋物線C2：y=x2+h(h∈R)上的任意一點，因此t∈R，而對于任意的t∈R，方程有解，則應滿足判別式大于等于0.

解(1)略.

4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,

即

4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.

因為直線MN與橢圓C1有2個不同的交點，所以

Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]gt;0.

(1)

設線段MN的中點的橫坐標為x3，則

t2+(1+h)t+1=0，

其中

Δ2=(1+h)2-4≥0,

解得

h≥1或h≤-3.

當h≤-3時,

h+2lt;0,4-h2lt;0.

因此不等式(1)不成立，故h≥1.

當h=1時,代入方程t2+(1+h)t+1=0,得t=-1,因此不等式(1)成立，故h的最小值為1．

注：2009年浙江省數(shù)學高考文科試題第22題也類似.

例3設a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S5+15=0．

(1)若S5=5，求Sn及a1;

(2)求d的取值范圍.

(2010年浙江省數(shù)學高考文科試題)

分析由S5S6+15=0得

顯然，若把上式看成關于d的一元二次方程，也能求出首項a1的取值范圍．這也正好反映出它們兩者之間的制約關系．

2利用線性規(guī)劃

高考中的線性規(guī)劃問題其實也是雙變量問題，基于高中學生對這塊知識的熟悉程度，僅以2010年江蘇省數(shù)學高考試題第12題為例予以說明．因為此題很有創(chuàng)意，既可以通過不等式的性質來解決，也可以通過換元轉化為線性規(guī)劃問題來解決，需要通過2邊取對數(shù)來轉化，別有一番新意．

(2010年江蘇省數(shù)學高考試題)

分析不同于例3，本題出現(xiàn)的是關于變量x,y的不等式，通過不等式相互制約來求目標函數(shù)的最值，這容易使我們聯(lián)想到線性規(guī)劃的知識．

對已知不等式兩邊取對數(shù)，令lgx=s,lgy=t，則問題可轉化為：

3利用基本不等式

例5若正實數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是________．

(2010年浙江省數(shù)學高考文科試題)

分析由已知可以發(fā)現(xiàn)，這里的x,y是不確定的，盡管它們相互制約，但是仍然可以看成是一個雙變量問題．xy本身在已知中存在，而在已知中還有變量2x,y，如何尋求它們之間的關系就成了解決本題最關鍵的地方．

例6已知xgt;0，ygt;0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是

( )

(2010年重慶市數(shù)學高考理科試題)

分析令x+2y=tgt;0,得

4y2-2ty+8-t=0，

由Δ≥0,得t≥4．

例7已知在半徑為2的球面上有A,B,C,D這4個點，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為

( )

(2010年全國數(shù)學高考理科試題Ⅰ)

分析由AB=CD=2，可想到把這個四面體放進一個長方體中.設長方體從一個頂點出發(fā)的3條棱的長分別為a,b,c，則

而四面體體積

這樣就變成了關于a,b的雙變量的最值問題，注意到a2+b2為定值，從而就可以用基本不等式求解．

當然，在上述幾個例子中都還有雙變量之間的一個依賴關系的等式，因此可以把其中的一個變量用另一個變量來表示，那么所求表達式的最值就轉換成一個單變量的最值問題了．如例5可以把所求式轉換成關y于的一個變量的最值，即求

的最值．類似地，在例6中,

在例7中，

先考慮V2，再結合基本不等式也能求得．

4利用整體思想

整體思想就是從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子看成一個整體，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目的、有意識的整體處理．

( )

A.3x±4y=0 B.3x±5y=0

C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

(2010年浙江數(shù)學高考理科試題)

分析過點F2作PF1的垂線，垂足M恰好是線段PF1的中點，因此

|PF1|=4b,|PF2|=2a.

由雙曲線定義可知

|PF1|-|PF2|=2a，

于是

2b-c=a.

又由c2=a2+b2，得

4a=3b．

至此,可以發(fā)現(xiàn)這里的a,b不是一個確定的具體的數(shù)值，而是一個雙變量的關系式．而所求的恰好是雙曲線的漸進線bx±ay=0，因此可以整體代換而求得．

(2010年江蘇省數(shù)學高考試題)

[1] “2010年高考：數(shù)學答題中的優(yōu)美解及典型失誤”征文選登(二)[J]．中學數(shù)學教學參考，2010(8):38-59.