盤點近年數(shù)學高考中的雙變量問題

2011-11-21 01:24:52

中學教研(數(shù)學) 2011年5期

關鍵詞：判別式考試題理科

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(嵊州市教研室浙江嵊州 312400)

盤點近年數(shù)學高考中的雙變量問題

●施哲明

(嵊州市教研室浙江嵊州 312400)

高中數(shù)學離不開變量，而變量問題本身就是高中數(shù)學的一個難點，涉及到2個變量的數(shù)學問題就更難了．相對來說，學生對線性規(guī)劃中的雙變量問題熟悉一些，從近幾年高考中的相關題目來看，難度也相對小一些．但也出現(xiàn)了一些新的變化趨勢，即需要轉化為線性規(guī)劃問題來解決．而從2010年的數(shù)學高考試題來看，對于雙變量問題的考查有一種加強的趨勢．本文通過近幾年數(shù)學高考中的雙變量問題，談談此類問題的解法．

1利用判別式

一元二次方程中的判別式對于高中學生來說并不陌生．利用判別式法求解可以讓學生感悟函數(shù)與方程的思想，將函數(shù)式轉變?yōu)橛疫吺?的方程．

例1已知平面向量α，β(α≠0,β≠0)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則α的取值范圍是________．

(2010年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析雖然|β|是確定的，但是2個向量是不確定的，因此也就有|α|的取值范圍了．當然利用向量的特殊性，可以用向量的幾何意義來解決．這里提供2種利用判別式的解法．

解法1在△ABC中，|OB|=1，且∠A=60°.設|OA|=|α|=x，|AB|=|β-α|=t，由余弦定理可得

即

t2-xt+x2-1=0(xgt;0,tgt;0).

Δ=x2-4(x2-1)≥0，

解得

解法2利用β=α+(β-α)和α與β-α的夾角為120°，得

1=|α|2+|β-α|2-|α|·|β-α|，

即

|β-α|2-|α|·|β-α|+|α|2-1=0,

圖1

(1)求橢圓C1的方程.

(2)設點P在拋物線C2：y=x2+h(h∈R)上，C2在點P處的切線與C1交于點M,N．當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值.

(2009年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析(2)根據(jù)橫坐標相等的條件，可以得到等式t2+(1+h)t+1=0，但從這個等式著手如何求h的最小值呢？由于P是拋物線C2：y=x2+h(h∈R)上的任意一點，因此t∈R，而對于任意的t∈R，方程有解，則應滿足判別式大于等于0.

解(1)略.

4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,

即

4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.

因為直線MN與橢圓C1有2個不同的交點，所以

Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]gt;0.

(1)

設線段MN的中點的橫坐標為x3，則

t2+(1+h)t+1=0，

其中

Δ2=(1+h)2-4≥0,

解得

h≥1或h≤-3.

當h≤-3時,

h+2lt;0,4-h2lt;0.

因此不等式(1)不成立，故h≥1.

當h=1時,代入方程t2+(1+h)t+1=0,得t=-1,因此不等式(1)成立，故h的最小值為1．

注：2009年浙江省數(shù)學高考文科試題第22題也類似.

例3設a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S5+15=0．

(1)若S5=5，求Sn及a1;

(2)求d的取值范圍.

(2010年浙江省數(shù)學高考文科試題)

分析由S5S6+15=0得

顯然，若把上式看成關于d的一元二次方程，也能求出首項a1的取值范圍．這也正好反映出它們兩者之間的制約關系．

2利用線性規(guī)劃

高考中的線性規(guī)劃問題其實也是雙變量問題，基于高中學生對這塊知識的熟悉程度，僅以2010年江蘇省數(shù)學高考試題第12題為例予以說明．因為此題很有創(chuàng)意，既可以通過不等式的性質來解決，也可以通過換元轉化為線性規(guī)劃問題來解決，需要通過2邊取對數(shù)來轉化，別有一番新意．