幾個重要的三角代換在不等式證明中的應用

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(松江區(qū)第二中學 上海 201600)

幾個重要的三角代換在不等式證明中的應用

●衛(wèi)福山

(松江區(qū)第二中學 上海 201600)

在代數(shù)不等式的證明中，經(jīng)常會看到如下的條件：

(1)已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz；

(2)已知非負實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2+2xyz=1；

(3)已知正數(shù)x,y,z滿足xy+yz+zx=1.

聯(lián)系以下常見的三角恒等式：

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1;

對以上條件可以作如下的三角代換：

以上三角代換是常見且等價的，有時還能將代數(shù)問題引入到三角形中，為復雜問題的解決找到捷徑.下面通過一些具體問題加以說明.

1直接利用三角代換

例1設正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz，證明：

(1998年韓國數(shù)學奧林匹克競賽試題)

不等式(1)得證.

例2設x,y,z≥0且滿足xy+yz+zx=1，求證：

(1994年香港特區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽試題)

x(1-y2)(1-z2)+y(1-z2)(1-x2)+z(1-x2)(1-y2)=

2將已知條件稍作變化后作三角代換

將有些不等式問題的條件稍作變化，就可轉化為文首的條件(1),條件(2)和條件(3).

(第33屆IMO試題)

(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)+2(x-1)(y-1)(z-1)=1,

于是不等式(2)可轉化為

(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)2≤(cosAcosB)2+(cosBcosC)2+(cosCcosA)2+3cosAcosBcosC，

化簡得

此不等式易證，從而不等式(2)成立.

例4設x,y,z∈R+，且x2+y2+z2+xyz=4，證明：

(第20屆伊朗數(shù)學奧林匹克競賽試題)

證明將已知等式x2+y2+z2+xyz=4變形為

例5已知x,y,z為正實數(shù)，xy+yz+zx+xyz=4，求證：x+y+z≥xy+yz+zx.

(4)

(1998年印度數(shù)學競賽試題)

證明將已知等式xy+yz+zx+xyz=4變形為

于是所證不等式(4)可化為

此不等式易證，從而不等式(4)成立.

3引入三角代換將代數(shù)問題轉化為三角問題

有些不等式問題可根據(jù)字母的范圍結合三角比的一些基本公式直接引入三角代換，從而轉化為三角問題.

例6設a,b,cgt;0，證明：

(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2.

(5)

由于

sin(A+B+C)=sinAcosBcosC+cosAsinBcosC+cosAcosBsinC-sinAsinBsinC，

因此不等式(6)可改寫為

利用基本不等式有

注利用簡單的三元基本不等式(a+b+c)3≥3(ab+bc+ca),易得如下較弱的不等式:

(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).

以上不等式曾作為2004年亞太地區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽試題.

值得指出的是，在以上不等式的證明中,利用三角代換不一定是唯一的、最簡捷的證法,本文權當拋磚，指出幾種常見的三角代換在不等式證明中的應用.

[1] 安振平.由三角形不等式生成代數(shù)不等式的一種方法[J].數(shù)學通報，2010(8)：48-50.

[2] 陳計，季潮丞.代數(shù)不等式[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?009.

[3] 張俊.一個三角形恒等式繁衍出的代數(shù)不等式[J].數(shù)學通訊(下半月)，2010(9)：61-62.

[4] 朱華偉.嵌入不等式——數(shù)學競賽命題的一個寶藏[J].中等數(shù)學，2010(1)：14-17.