三角形的五個新巧合點

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(城關(guān)中學 四川富順 643200) (昆明市第十四中學 云南昆明 650108)

三角形的五個新巧合點

●李顯權(quán)●尤莉莎

(城關(guān)中學 四川富順 643200) (昆明市第十四中學 云南昆明 650108)

文獻[1]探討了三角形的4個新巧合點，格外盎然有趣,本文再給出幾個新巧合點，同樣別致誘人.

圖1

如圖1,設△DEF為△ABC的3條外角平分線構(gòu)成的三角形.

定理1如圖1,設FP，DM，EN分別為△ABF,△BCD，△CAE的內(nèi)角平分線,則AM，BN，CP三線共點.

證明如圖1,在△BCD中，由正弦定理易得

再利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，可得

同理可得

三式相乘得

由Ceva逆定理，可知AM，BN，CP三線共點.

定理2如圖1,設FP，DM，EN分別為△ABF,△BCD,△CAE的周界中線,則AM,BN,CP三線共點.

證明如圖1,因為DM是△BCD的周界中線，所以

同理可得

于是

類似地

三式相乘得

由Ceva逆定理,可知AM,BN,CP三線共點.

定理3如圖2,設HA,HB,HC分別為△BCD,△CAE,△ABF的垂心,HAM,HBN,HCP依次為△HABC,△HBCA,△HCAB的內(nèi)角平分線,則AM,BN,CP三線共點.

證明如圖2,由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理及文獻[1]定理1證明過程中的：BHA=AHB,CHB=BHC,AHC=CHA,可得

由Ceva逆定理,可知AM,BN,CP三線共點.

定理4如圖2,點HA,HB,HC同定理3,HAM,HBN,HCP依次為△HABC,HBCA,HCAB的周界中線,則AM,BN,CP三線共點.

證明過程與定理2類似,留給讀者證明.

圖2 圖3

定理5如圖3,設IA,IB,IC分別為△BCD,△CAE,△ABF的內(nèi)心,IAM,IBN,ICP依次為△IABC,△IBCA,△ICAB的內(nèi)角平分線,則AM,BN,CP三線共點.

由Ceva逆定理,可知AM,BN,CP三線共點.

[1] 楊先義.三角形中四個新的巧合點[J].中學數(shù)學研究,2010(4):47-48.