在探究中升華數(shù)學(xué)習(xí)題的價值

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(瓶窯中學(xué) 浙江杭州 311115)

在探究中升華數(shù)學(xué)習(xí)題的價值

●陳建美

(瓶窯中學(xué) 浙江杭州 311115)

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的‘再創(chuàng)造’”.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生獲得知識，更重要的是讓學(xué)生擁有智慧、學(xué)會思考和再創(chuàng)造.知識關(guān)乎事物，智慧關(guān)乎人生，知識能看到一塊石頭就是一塊石頭，一粒沙子就是一粒沙子，做一道習(xí)題算一道習(xí)題，智慧則能從石頭和沙子中看到風(fēng)景，從習(xí)題中得到啟發(fā)，獲得創(chuàng)新的靈感.

數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)新課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方法，通過對習(xí)題的探究，有助于實現(xiàn)知識的再創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力.如何對習(xí)題進(jìn)行探究呢？通?？梢愿淖兠}的條件或結(jié)論，在類比中引導(dǎo)學(xué)生的探究過程.

圖1

分析如圖1所示，要求平行四邊形PAOB的面積，關(guān)鍵是要知道動點P的坐標(biāo).為方便解題,不妨設(shè)點P(asecθ,btanθ)(θ∈R),由此可求出點A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平行四邊形PAOB的面積.

因為點P到直線OA的距離為

所以平行四邊形PAOB的面積為

故如此構(gòu)造的平行四邊形的面積是定值，即為雙曲線的實半軸和虛半軸積的一半.

因此

從而平行四邊形PAOB的面積為

因為

(ay0+bx0)(ay0-bx0)lt;0,

于是平行四邊形PAOB的面積為

S=|OA|·A=

即

問題研究到這里好象可以結(jié)束了，但如果再用類比的方法去探究，又可得到以下性質(zhì)(由雙曲線類比到橢圓).

解設(shè)動點P(acosθ,bsinθ)(θ∈R),則平行線PA的直線方程為

于是平行四邊形PAOB的面積為

如此構(gòu)造的平行四邊形的面積最大值為橢圓的長半軸和短半軸積的一半.

圖2

(1)|OM|·|ON|=a2為定值；

(2)|OQ|·|OR|=b2為定值.

平行線PR的直線方程為

令y=0,則

|OM|=|asecθ-atanθ|,|ON|=|asecθ+atanθ|,

得|OM|·|ON|=a2為定值.同理令x=0,可得|OQ|·|OR|=b2為定值.

證明(1)設(shè)點P(x0,y0)，直線l1′,l2′過點P且與l1,l2分別平行，則直線l1′的方程為

直線l2′的方程為

令y=0,得

由|OM|·|ON|=a2得

又因為點M，N在x軸的同向，所以

即

(1)|OM|2+|ON|2=2a2為定值；

(2)|OQ|2+|OR|2=2b2為定值.

一個看似平談的雙曲線習(xí)題經(jīng)過了深入的探究和知識的再創(chuàng)造，歸納類比出曲線的其他性質(zhì)，實現(xiàn)了知識的創(chuàng)新，有力地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)了學(xué)生如何以已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)對知識進(jìn)行再創(chuàng)造的過程.教師要創(chuàng)造合適的條件，提供更多、更好的具體案例，讓學(xué)生在實踐的過程中，自己探究出各種數(shù)學(xué)的性質(zhì)，讓學(xué)生的各種思維能力(歸納類比、演繹證明、反思與建構(gòu)等)得到充分的鍛煉.