高階常系數(shù)線性差分方程的解的研究

勞 智

（廣州大學，廣東 廣州 510000；廣東海洋大學 寸金學院，廣東 湛江 524033）

高階常系數(shù)線性差分方程的解的研究

勞 智

（廣州大學，廣東 廣州 510000；廣東海洋大學 寸金學院，廣東 湛江 524033）

在文獻[5]中，論文作者將常系數(shù)齊次線性差分方程改寫為矩陣與向量乘積形式的遞推關系，并運用相似矩陣的理論給出了常系數(shù)齊次線性差分方程通解的解析形式。在論文中，則通過引進算子把常系數(shù)齊次線性差分方程化為一些式子之積，再利用算子相關的引理，簡便地得到k階常系數(shù)齊次線性差分方程k個線性無關的解，從而得到通解。

差分方程；常系數(shù)差分方程；算子

引進算子：

在解常差分方程時常用到以下算子的有關引理：

引理1(E ?λiI)(E ?λjI)yn=(E ?λjI)(E?λiI)yn

證明： ( E ?iI)(E ?jI)yn

即算子滿足交換律。

其中 )(nPα為n的 次多項式。

證明：不妨設

由引理2可知：算子 ( E ? I)每作用一次，多項式 Pα( n )降低一次。故：

定理1 如果 )2()1(,yy 是k階常系數(shù)齊次線性差分方程

的兩個解，那么

也是方程（1）的解。

定理2 如果 y(1),y(2),???,y(k)是方程（1）的k個線性無關的特解，那么

就是方程（1）的通解。

定理3 方程（1）的特征方程為

根據(jù)特征根的情況，可以寫出對應解的各項見表3-1：

特征方程(2)的根 方程(1)通解中對應的項（1）單實根 給出一項 C λn（2） j重實根 給出j項 ( C1+C2n+???+C jn αj?1)λn（3）一對單共軛復根1,2=±i給出兩項 ( Ccosnθ +Csinnθ)r n12（4）一對j重共軛復根1,2=±i給出 2 j 項?(C+Cn+???+Cnαj?1)cosnθ+?? 12j ? r n??(Cj+1+Cj+2n+???+C2j nαj?1)sinnθ??

則（1）的通解為yn=C1y(1)+C2y(2)+???+Cky(k)，其中C1,C2,???,Ck是任意實數(shù)，且通解yn中的每一項都由特征方程的一個根所對應，其對應情況如表3-1。

證明：由定理3可知，要求方程（1）的通解，就要找出它k個線性無關的解。

[1]趙士銀.一階常系數(shù)差分方程的特解公式[J].沈陽工程學院學報,2008,(1):91-93.

[2]趙士銀.一類二階常系數(shù)差分方程特解的簡單求法[J].河南教育學院學報,2007,(9):14-15.

[3]鄭桂梅.高等數(shù)學[M].長沙:國防科技大學出版社,2008.

[4]祝浩鋒.k階常系數(shù)線性差分方程的幾種解法[J].工科數(shù)學,1994,(1):16-21.

[5]胡勁松,鄭克龍.用矩陣的方法求解常系數(shù)齊次線性差分方程[J].大學數(shù)學,2007,(3):133-134.

O155

A

1673-2219（2011）08-0019-05

2011－04－15

勞智（1973－），女，廣東化州人，廣東海洋大學寸金學院講師，廣州大學在職碩士研究生，主要從事常微分方程理論及其應用研究。

（責任編校：京華）