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    D.C.乘性規(guī)劃的全局優(yōu)化算法

    2011-11-20 07:42:22周雪剛
    關(guān)鍵詞:乘性下界等價

    周雪剛

    (廣東金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,廣東 廣州 510521)

    D.C.乘性規(guī)劃的全局優(yōu)化算法

    周雪剛

    (廣東金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,廣東 廣州 510521)

    討論了凸集上的D.C.乘性規(guī)劃的全局優(yōu)化算法。首先通過引入輔助變量將D.C.乘性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個等價的D.C.規(guī)劃問題;再綜合利用分支定界與外逼近方法求解等價問題;最后用一個實例說明算法的實用性。

    D.C.乘性規(guī)劃;全局優(yōu)化;割平面;錐細分

    考慮如下D.C.乘性規(guī)劃:

    (1)

    其中,0≤f:Rn→R與0

    1 等價問題的轉(zhuǎn)化

    首先將問題轉(zhuǎn)化為一個等價的D.C.規(guī)劃,為此,考慮如下函數(shù)F(x,λ):

    (2)

    對函數(shù)g,h分別定義類似的函數(shù)G,H。

    定義1設(shè)函數(shù)f:Rn→R的定義域包含0,且對所有的λ>0與x有f(λx)=λf(x),則f是正齊次函數(shù)。

    引理1[6]如果f是凸(凹)函數(shù),則當(dāng)λ>0時,F(xiàn)與是凸(凹)函數(shù)。

    引理2[7]函數(shù)F(x,λ)是正齊次的,且對任意α2>α1>0,當(dāng)F(x,λ)≠0時,有不等式F(α2(x,λ))=α2F(x,λ)>α1F(x,λ)=F(α1(x,λ))成立。

    F(y,β)=βf(y/β)=βf(x)=f(x)g(x)G(y,β)=βg(y/β)=βg(x)=β2

    (3)

    定義如下D.C.規(guī)劃問題:

    (Pd.c.) maxF(y,β)

    (4)

    設(shè)問題(P)和問題(Pd.c.)的最優(yōu)值分別為v,v1,則v≤v1。

    定理1如果(y*,β*)是問題(Pd.c.)的最優(yōu)解,則y*/β*是問題(P)的最優(yōu)解。如果x*是問題(P)的最優(yōu)解,則(x*g(x*),g(x*))是問題(Pd.c.)的最優(yōu)解。

    βf(y/β)=F(y,β)≤F(y*,β*)=β*f(y*/β*)

    (5)

    根據(jù)引理1可知,問題(Pd.c.)中的函數(shù)H是凸函數(shù),而F,G都是D.C.函數(shù)。定義函數(shù)F1(y,β)=βf1(y/β),F2(y,β)=βf2(y/β),則F1,F2是凸函數(shù),定義G1(y,β)=βg1(y/β),G2(y,β)=βg2(y/β),則G1,G2也是凸函數(shù)。則問題(Pd.c.)改寫為:

    (6)

    引入輔助變量μ,v,問題(Pd.c.)轉(zhuǎn)化為如下等價的問題:

    (7)

    并且定義如下集合:

    (8)

    2 上下界

    由于問題(Pmain)的可行域包含于問題(Pk)的可行域而目標函數(shù)相同,則問題(Pk)的最優(yōu)值是問題(Pmain)最優(yōu)值的一個上界。假設(shè)Tk包含ki個多面體凸錐Cki(i=1,2,…,ki),且都有n+3條以(y0,β0,μ0,v0)為頂點的邊,設(shè)z0=(y0,β0,μ0,v0)且忽略C的上標,存在n+4個線性獨立的點z0,z1,…,zn+3使得:

    不失一般性,假設(shè)對所有的i=1,2,…,n+3有‖zi‖=1,設(shè)θi=sup{θ∈R|z0+θ(zi-z0)∈G2∩G1}和wi=z0+θi(zi-z0)。定義U=(w1-z0,…,wn+3-z0)和L2={z∈Rn+3|z=z0+Uη,eTη≥1},其中η=(η1,…,ηn+3),e=(1,1,…,1)T。由于z0,z1,…,zn+3是線性獨立,因而U是非奇異的,且有:

    L2={z∈Rn+3|eTU-1(z-z0)≥1}

    引理3Ω∩C?L2∩C。

    證明由G2的凸性與L2的定義很容易證明。

    設(shè):

    引理4Ω∩C?(L2∩{z|(z)≤0})∩C。

    根據(jù)引理3,能求得問題(Pmain)的一個上界,設(shè):

    u=max{F(y,β)-μ|(y,β,μ,v)∈(L2∩{z|(z)≤0})∩C}

    注意到(L2∩{z|l(z)≤0})∩C}是多面體,如果它是非空,則u的值可以它的某個極點上取得,如果它是空,設(shè)u=-∞。而(L2∩{z|(z)≤0})∩C}的頂點可以利用文獻[9]中的方法求得。對每一個i=1,2,…,n+3,設(shè)如果則z0+θi(zi-z0)與都是問題(Pmain)的可行點。那么:

    是問題(Pmain)在Ω∩C上一個下界。假設(shè)下界是點(yl,βl,μl,vl)上達到,則根據(jù)引理2.2可知,不等式F(λyl,λβl,μl,vl)>F(l,βl,μl,vl)關(guān)于所有的λ>1都成立。因而:

    l≥=max{F(λyl,λβl,μl,vl)|(λyl,λβl,μl,vl)∈Ω,λ>1}

    大于或者等于l。

    3 算法收斂性及實例

    3.1算法及收斂性分析

    根據(jù)前面的討論,求解問題(Pmain)的算法如下。

    步0 設(shè)T0是以z0為頂點的滿足Ω∈T0的初始錐,置l0=-1,u0=∞,k=0。

    步2 如果uk-lk=0,則停止,否則置M={Cki|uki≥lk};選取C∈{Cki|uki=uk},產(chǎn)生一個錐細分集Y。

    步3Tk+1=(M/C)∪Y;lk+1=uk,uk+1=uk,k=k+1,轉(zhuǎn)步1。

    3.2算例

    以下例題說明算法的可行性:

    原問題存在3個局部極大解,只有一個全局最優(yōu)點。對比問題(1)形式,取:

    對應(yīng)的問題(Pmain)的函數(shù)為:

    F1(y,β)-μ=y/4+20β-μF2(y,β)-μ=y2/β-μG1(y,β)-v=y4/(12β3)-v

    β2+G2(y,β)-v=y2/(2β)+β2-4β-vH(y,β)=y2/β-16β

    [1]Rúbia M. Oliveira, Paulo A. V. Ferreira. A convex analysis approach for convex multiplicative program-ming[J]. Journal of Global Optimization,2008,41(4): 579-592.

    [2] Benson H P. An outcome space branch and bound-outer approximation algorithm for convex multiplicative programming[J]. Journal of Global Optim,1999,15: 315-342.

    [3] Jaumard B, Meyer C, Tuy H.Generalized convex multiplicative programming via quasiconcave minimi-zation[J]. Journal of Global Optim,1997,10:229-256.

    [4] Konno H, Kuno T, Yajima Y.Global minimization of a generalized convex multiplicative function[J]. Journal of Global Optim,1994,4: 47-62.

    [5] Benson H P.Global maximization of a generalized concave multiplicative function[J]. Journal of Optimization Theory and Applications,2008,137: 105-120.

    [6] Rockafellar R T, Wets R J R. Variational Analysis[M]. Berlin : Springer, 1998.

    [7] Konno H, Yamashita H.Minimizing Sums and Products of Linear Fractional Functions ouer a Poly-tope[J].Naval Research Logistics,1999,46:583-596.

    [8] Konno H, Ab N.Minimization of the Sum of Three Linear Fractional Functions[J].Journal of Global Optimization, 1999,15:419-432.

    [9] Horst R,Tuy H. Global Optimization :Deterministic Approaches[M] . 3rd ed. Berlin : Springer Verlag ,1997.

    [編輯] 洪云飛

    10.3969/j.issn.1673-1409.2011.04.001

    O221.2

    A

    1673-1409(2011)04-0001-04

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