參數(shù)未知機(jī)器人含時(shí)變函數(shù)的自適應(yīng)控制算法研究

林 婷

(福建農(nóng)林大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，福建 福州 350002)

李明月

(福建戴姆勒汽車工業(yè)有限公司，福建 福州 350119)

參數(shù)未知機(jī)器人含時(shí)變函數(shù)的自適應(yīng)控制算法研究

林 婷

(福建農(nóng)林大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，福建 福州 350002)

李明月

(福建戴姆勒汽車工業(yè)有限公司，福建 福州 350119)

對(duì)參數(shù)未知機(jī)器人系統(tǒng)含時(shí)變函數(shù)的自適應(yīng)控制算法進(jìn)行了研究。針對(duì)控制系統(tǒng)自適應(yīng)律中參數(shù)難以確定的問題，推導(dǎo)設(shè)計(jì)了一含時(shí)變函數(shù)的新的參數(shù)自適應(yīng)律，該時(shí)變函數(shù)包含了系統(tǒng)慣性參數(shù)及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。在二桿平面機(jī)器人系統(tǒng)上進(jìn)行數(shù)值仿真分析，仿真結(jié)果證實(shí)了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

機(jī)器人；參數(shù)未知；自適應(yīng)控制；時(shí)變函數(shù)

對(duì)于具有參數(shù)未知或參數(shù)不確定機(jī)器人系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制問題一直是控制界及機(jī)械行業(yè)的研究熱點(diǎn)[1]，在系統(tǒng)參數(shù)線性化情況下，由于自適應(yīng)控制[2-3]具有可在線估計(jì)系統(tǒng)未知參數(shù)并進(jìn)行調(diào)整的巨大優(yōu)點(diǎn)而得到研究人員的廣泛關(guān)注。但使用自適應(yīng)控制對(duì)機(jī)器人軌跡進(jìn)行跟蹤時(shí)，必須對(duì)控制器中自適應(yīng)律中的參數(shù)進(jìn)行一個(gè)初始值的確定，該初始值一般為固定值，且要進(jìn)行大量的試驗(yàn)調(diào)整才能得出一個(gè)較好的結(jié)果。為了更好地解決該參數(shù)的選取問題，筆者對(duì)參數(shù)未知的機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行了自適應(yīng)控制研究，對(duì)于自適應(yīng)律中的參數(shù)選取進(jìn)行改進(jìn)，使用了一個(gè)含時(shí)變函數(shù)的參數(shù)自適應(yīng)律，由此解決了自適應(yīng)律中參數(shù)如何確定的難點(diǎn)。 該時(shí)變函數(shù)為一包含系統(tǒng)慣性參數(shù)及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的函數(shù)，使用該時(shí)變函數(shù)使整個(gè)自適應(yīng)控制方案更加穩(wěn)定可靠。

1 自適應(yīng)控制中的參數(shù)估計(jì)

不考慮摩擦和其他干擾的情況下，一個(gè)n桿的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程可寫為：

(1)

(2)

針對(duì)該機(jī)器人系統(tǒng)可設(shè)計(jì)如下控制方案：

(3)

式中，K為正定矩陣；σ為待定的與跟蹤相關(guān)的量。

其他參數(shù)如下式所示：

(4)

如果σ取為：

(5)

則式(3)中的Kσ項(xiàng)等同于一個(gè)針對(duì)跟蹤誤差的PD控制器。

如果該控制器的計(jì)算模型在結(jié)構(gòu)上與機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型相同，只是其中的參數(shù)存在未知的情況，則控制律(3)可修改為：

(6)

將式(6)代入式(2)有：

(7)

其他系統(tǒng)建模誤差可表示為：

(8)

定義如下Lyapunov函數(shù)：

(9)

式中，B和Kθ為正定對(duì)角矩陣。

選取B=2ΛK并利用系統(tǒng)的斜對(duì)稱性：

將V對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：

(10)

通過選擇如下參數(shù)自適應(yīng)律:

(11)

(12)

則系統(tǒng)為全局漸近收斂。

2 含時(shí)變函數(shù)的參數(shù)自適應(yīng)律

利用式(11)的參數(shù)自適應(yīng)律時(shí)，必須對(duì)式中的Kθ進(jìn)行選取。Kθ選取的準(zhǔn)確與否，對(duì)系統(tǒng)控制精度將產(chǎn)生一定影響。針對(duì)上述情況，為該機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)了新的含時(shí)變函數(shù)的自適應(yīng)律。

為了獲得新的參數(shù)自適應(yīng)律，選取如下Lyapunov函數(shù)：

(13)

式中，Ω為正定的時(shí)變函數(shù)矩陣。

式(13)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：

(14)

同樣，選取B=2ΛK并利用系統(tǒng)的斜對(duì)稱性，則：

(15)

因?yàn)镵>0、Λ>0，式(15)的前2項(xiàng)將小于等于零，即：

(16)

為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則式(15)的第3式必須滿足：

(17)

由于式(17)中Ω的選取并沒有一個(gè)固定的解，可選?。?/p>

(18)

式中，I為單位矩陣。

將式(18)代入式(17)，有：

(19)

(20)

(21)

整理式(21)可得：

(22)

對(duì)式(22)進(jìn)行積分，則：

(23)

(24)

(25)

同樣，式(25)可使式(15)滿足：

則系統(tǒng)同樣滿足全局漸近收斂。

3 仿真算例

圖1 二桿機(jī)器人系統(tǒng)

以作平面運(yùn)動(dòng)的二桿機(jī)器人系統(tǒng)(見圖1)為例驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制算法的可靠性。系統(tǒng)慣性參數(shù)為：m1=10kg；m2=5kg；l1=1m；l2=1m；桿1的極慣性矩I1=10/12kg·m2；桿2的極慣性矩I2=5/12kg·m2。

利用式(6)、式(11)和式(24)給出的自適應(yīng)控制方案進(jìn)行系統(tǒng)控制仿真運(yùn)算，圖2和圖3分別為關(guān)節(jié)1和2的軌跡跟蹤情況，圖4為采用常規(guī)自適應(yīng)控制對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制時(shí)的跟蹤誤差，圖5為采用筆者所設(shè)計(jì)的含時(shí)變函數(shù)的自適應(yīng)控制對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制時(shí)的跟蹤誤差。

圖2 關(guān)節(jié)1軌跡跟蹤情況 圖3 關(guān)節(jié)2軌跡跟蹤情況

圖4 一般自適應(yīng)跟蹤誤差 圖5 時(shí)變自適應(yīng)跟蹤誤差

由圖2和圖3可知，所設(shè)計(jì)控制方案可使機(jī)械臂的關(guān)節(jié)1及關(guān)節(jié)2很好地跟蹤其期望運(yùn)動(dòng)。當(dāng)使用常規(guī)自適應(yīng)算法對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制時(shí)，圖4最終的跟蹤誤差達(dá)到0.05rad；而使用筆者所設(shè)計(jì)的含時(shí)變函數(shù)的自適應(yīng)律對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制時(shí)，圖5所示的最終跟蹤誤差僅有0.02rad。因此，含時(shí)變函數(shù)的自適應(yīng)律可以更好地解決自適應(yīng)參數(shù)的選取問題，從而達(dá)到更好的跟蹤精度。

[1]Bondi P, Casalino G, Gambardella L. On the iterative learning control theory for robotic manipulators[J]. IEEE Journal of Robotics and Automation, 1988(4): 14-22.

[2] Slotine J J, Li W. On the adaptive control of robotic manipulator [J].Int J Rob Res，1987, 6(3): 49-59.

[3] Sun F C, Sun Z Q, Feng G. An adaptive fuzzy controller based on sliding mode for robot manipulators[J]. IEEE Trans on Systems,1999, 29(4): 661-667.

[編輯] 李啟棟

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.11.025

TP273.2

A

1673-1409(2011)11-0076-04