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    一類(lèi)非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法

    2011-11-18 03:34:11洪云飛
    關(guān)鍵詞:最優(yōu)性下層單層

    洪云飛

    (長(zhǎng)江大學(xué)期刊社;長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

    呂一兵

    (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

    一類(lèi)非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法

    洪云飛

    (長(zhǎng)江大學(xué)期刊社;長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

    呂一兵

    (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

    研究了下層為凸規(guī)劃的一類(lèi)非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。在下層問(wèn)題為凸規(guī)劃的情況下,將下層問(wèn)題用其K-T最優(yōu)性條件代替,從而把原二層規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單層非線(xiàn)性規(guī)劃;構(gòu)造該單層規(guī)劃的罰函數(shù),提出求解該類(lèi)規(guī)劃問(wèn)題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明該方法是可行和有效的。

    非線(xiàn)性二層規(guī)劃;罰函數(shù);K-T最優(yōu)性條件;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

    在對(duì)多層規(guī)劃的研究中,二層規(guī)劃是一個(gè)重要的研究對(duì)象。二層規(guī)劃研究的是具有2個(gè)層次系統(tǒng)的規(guī)劃與管理問(wèn)題,上層決策者只是通過(guò)自己的決策去指導(dǎo)下層決策者,并不直接干涉下層的決策;而下層決策者只需要把上層的決策作為參數(shù),它可以在自己的可能范圍內(nèi)自由決策。二層規(guī)劃的基本形式為:

    式中,x、y分別稱(chēng)為上下層變量;F、f分別稱(chēng)為上下層目標(biāo)函數(shù);g、G分別稱(chēng)為上下層約束函數(shù)。當(dāng)F、f、G、g全為線(xiàn)性函數(shù), 則稱(chēng)為線(xiàn)性二層規(guī)劃;否則稱(chēng)為非線(xiàn)性二層規(guī)劃。

    一般來(lái)說(shuō),求解二層規(guī)劃問(wèn)題是非常困難的,文獻(xiàn)[1]指出線(xiàn)性二層規(guī)劃是一個(gè)Np-hard問(wèn)題,文獻(xiàn)[2-4]對(duì)此結(jié)論給出了證明。對(duì)于一般的非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題, 文獻(xiàn)[5-6]提出了基于下層問(wèn)題的K-T最優(yōu)性條件的求解方法。下面筆者主要研究F、f、G、g連續(xù)可微且f、G關(guān)于變量y是凸函數(shù)的一類(lèi)非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題:鑒于文獻(xiàn)[5-6]中的方法,將下層問(wèn)題用其K-T最優(yōu)性條件代替,從而將原二層規(guī)劃化為單層非線(xiàn)性規(guī)劃, 構(gòu)造該單層規(guī)劃的罰函數(shù),進(jìn)而提出求解該類(lèi)規(guī)劃問(wèn)題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。

    1 非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

    考慮如下線(xiàn)性約束的非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題:

    其中,x∈Rn,y∈Rm,F(xiàn):Rn×m→R1,f:Rn×m→R1,P∈R(n+m)×(n+m),c∈Rn,d∈Rm,Q∈Rm×m,D∈Rm×n,b∈Rm,A∈Rq×n,B∈Rq×m,r∈Rq。

    定義1對(duì)于線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題,稱(chēng)集合:

    S={(x,y)|Ax+By-r≤0,x≥0,y≥0}

    為其約束域。

    對(duì)于固定的x,當(dāng)下層問(wèn)題滿(mǎn)足Slater條件,由凸規(guī)劃的最優(yōu)性理論可知,下層規(guī)劃問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化等價(jià)如下Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件穩(wěn)定點(diǎn)問(wèn)題:

    Qy+Dx+b+λTB=0λT(Ax+By-r)=0λ≥0Ax+By-r≤0

    (2)

    式中,λ=(λ1,…,λq)T是廣義拉格朗日乘子。用式(2)替換式(1)中的下層問(wèn)題得:

    記h(x,y,λ)=(Qy+Dx+b+λTB,λT(Ax+By-r))T,則問(wèn)題(3)可簡(jiǎn)寫(xiě)為下格式:

    2 非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

    定義2問(wèn)題(4)的罰函數(shù)[7]定義為:

    (5)

    由此問(wèn)題(4)可以對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化為如下罰函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題:

    記X=(x,y,λ)T,由式(5)則可定義其能量函數(shù)[7,8]為:

    (6)

    根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論,將優(yōu)化設(shè)計(jì)變量與神經(jīng)元輸出相對(duì)應(yīng),構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線(xiàn)性微分方程(動(dòng)力系統(tǒng))為:

    (7)

    由式(6)和式(7)可得到能量函數(shù)隨時(shí)間的變化率為:

    (8)

    因此,式(7)可以具體化為:

    (9)

    定理1若X*是網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力系統(tǒng)(7)或(9)在罰因子M下的平衡點(diǎn),對(duì)于X≠0有E(X)≠0,則X*是網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力系統(tǒng)(7)或(9)的穩(wěn)定點(diǎn),且為罰函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的局部最優(yōu)點(diǎn)。若X*是罰函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)解,則X*是網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力系統(tǒng)(7) 或(9)的在罰參數(shù)M下的平衡點(diǎn)。

    定理1前一部分由式(8)可知是成立的,后一部分顯然成立。

    3 數(shù)值試驗(yàn)

    考慮其理論最優(yōu)解為如下的非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題:

    使用定步長(zhǎng)四階龍格庫(kù)塔法求解上述問(wèn)題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)方程(9)。選取初值為(x,y,λ1,λ2,λ3)=(5,5,1,1,1),罰因子M=10000,步長(zhǎng)為10-5,得到圖1。

    圖1 x、y、λ隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)

    從圖1中可以看到曲線(xiàn)最終都達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),由該方法得到最終的計(jì)算結(jié)果為(x,y,λ1,λ2,λ3)=(5.104,1.891,0.000,-0.000,5.870),所以用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法求得的優(yōu)化解為(x,y)=(5.104,1.891)。數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),可以得到非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。

    4 結(jié) 語(yǔ)

    給出了下層為凸規(guī)劃的一類(lèi)非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法,該算法的設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單,易于編程實(shí)現(xiàn),同時(shí)值得注意的是利用罰函數(shù)構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型使得系統(tǒng)變量較少,同時(shí)可增大罰因子的值以加快網(wǎng)絡(luò)的收斂速度。但是在數(shù)值試驗(yàn)的過(guò)程中,選取不同的初值對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最終穩(wěn)定狀態(tài)有不同的影響,尤其當(dāng)選取決策變量的初值較小時(shí),將得不到最優(yōu)解的穩(wěn)定狀態(tài),而且罰因子過(guò)小起不到懲罰作用,過(guò)大又受機(jī)器性能影響。因此,該非線(xiàn)性二層規(guī)劃問(wèn)題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的全局穩(wěn)定性研究方面以及初值有待進(jìn)一步深入。

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    [5] Lv Yibing,Hu Tiesong,Wang Guangmin,et al.A penalty function method based on Kuhn-Tucker condition for solving linear bilevel programming[J].Applied Mathematics and Computation,2007,188(1):808-813.

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    [編輯] 李啟棟

    10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.002

    O224

    A

    1673-1409(2011)12-0004-03

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