中厚板彎曲時應(yīng)力中性層位置的求解

宋 濤 桂海蓮 周存龍

(太原科技大學(xué)機電學(xué)院，陜西 030024)

中厚板在塑性彎曲時，一般以應(yīng)變中性層為分界，認(rèn)為外層受拉，內(nèi)層受壓，使得中性層向內(nèi)移動。在實際應(yīng)用過程中，雖然許多文獻(xiàn)都指出了應(yīng)力中性層和應(yīng)變中性層是內(nèi)移的，但關(guān)于應(yīng)力中性層和應(yīng)變中性層內(nèi)移量的大小，至今還認(rèn)識不清。深入的探討中性層，對正確計算彎曲變形中的應(yīng)力、應(yīng)變及進(jìn)一步認(rèn)識中厚板矯直機理有一定的理論意義。中厚板在彎曲時，在材料截面上，有3 條中線:一條是幾何中心線，位于斷面的二分之一處;一條是應(yīng)變中性層，指沿著纖維方向應(yīng)變?yōu)榱愕闹行詫?一條是應(yīng)力中性層，是指切向應(yīng)力為零的一層纖維層。很多文獻(xiàn)都認(rèn)為中厚板在彈塑性變形過程中應(yīng)力中性層和應(yīng)變中性層向內(nèi)移動，同時應(yīng)力中性層和應(yīng)變中性層是不重合的，并且用傳統(tǒng)理論求得的應(yīng)力中性層是不連續(xù)的。但中厚板在彎曲量不大時，雖然材料發(fā)生了塑性變形，但材料本身仍然是一個連續(xù)體，應(yīng)力變化不應(yīng)該產(chǎn)生階躍現(xiàn)象，應(yīng)該仍然是一個連續(xù)函數(shù)［1，2］，那么中厚板必然存在一個切向應(yīng)力σ0=0 的應(yīng)力中性層。本文通過對中厚板彈塑性彎曲應(yīng)力的分析，對彈性區(qū)和塑性區(qū)分開處理，并利用mises 屈服準(zhǔn)則及屈服應(yīng)力呈線性變化來求解應(yīng)力中性層。

1 中厚板彎曲后屈服應(yīng)力呈線性變化時應(yīng)力中性層求解

1.1 三點假設(shè)

在中厚板彎曲過程中，隨著力矩的增大由于材料的線性硬化，使得中間是彈性區(qū)，兩邊是塑性區(qū)，為了推導(dǎo)公式方便，假設(shè):

(1)中厚板在彎曲時的切向應(yīng)變的硬化效果與材料單向拉深和壓縮的效果相同。由于中厚板彎曲時，彎矩量不是很大，上下表面的塑性層向里延伸的不深，為方便計算，以近似直線代表塑性層屈服應(yīng)力的變化。

(2)中厚板彎曲時變形區(qū)仍為平面，符合平截面假設(shè)。

(3)中厚板彎曲后，厚度方向的改變很小，認(rèn)為厚度方向沒有變化。

1.2 求解中厚板彎曲時應(yīng)力中性層的方程建立

對厚度為t 的中厚板兩邊加上彎矩M 后(如圖1)，板料開始彎曲。板料分成塑性層和彈性層，計算應(yīng)力中性層時先分別計算中厚板彈性區(qū)和塑性區(qū)應(yīng)力，最后聯(lián)立求得待定系數(shù)來求解。

(1)對于材料進(jìn)入到屈服時，中厚板只是上下表面進(jìn)入塑性屈服狀態(tài)，而中間仍是彈性狀態(tài)時，則利用微分體平衡方程和協(xié)調(diào)方程［3］有:

式中 σr——中厚板彎曲時徑向應(yīng)力;

σθ——中厚板彎曲時切向應(yīng)力;

ρ——彎曲半徑;

A、B、C——為待定系數(shù)。

用Mises 屈服準(zhǔn)則可得出，在彎曲時下表面處最先屈服，然后塑性層由上下表面迅速向里延伸。

(2)中厚板進(jìn)入屈服后，中間為彈塑區(qū)，而上下表面為塑性區(qū)(如圖1)，上下表面的塑性區(qū)在e1和e2分界。在塑性區(qū)，為簡化計算，根據(jù)假設(shè)中厚板線性硬化時的屈服應(yīng)力［4，5］:

式中 σ0——板料在彎曲時大變形段近似直線在縱坐標(biāo)的截距;

E——板料在彎曲時大變形段近似直線的硬化模量;

ε——真實應(yīng)變。

圖1 中厚板彎曲后切向應(yīng)力分布Figure 1 Distribution of tangential stress after medium and heavy plate bending

在塑性區(qū)取微分體后，有平衡方程

塑性區(qū)的邊界條件σθ|ρ=e2=σ0，σθ|ρ=e1=－σ0，σr|ρ=a=0，σr|ρ=b=0

聯(lián)立式(3)、式(4)、式(5)和塑性層的邊界條件，可以解得上表面拉伸塑性區(qū)的切向應(yīng)力為:

下表面壓縮塑性區(qū)的切向應(yīng)力為:

(3)同時聯(lián)立彈性區(qū)和塑性區(qū)的徑向力和切向力以及以下的邊界條件和平衡條件=0，σθ|ρ=e2=σ0，σθ|ρ=e1=－σ0，有

聯(lián)立式(10)、式(11)、式(12)可以解得彈性區(qū)σθ的待定系數(shù)。令σθ=0，這樣可以得到應(yīng)力中性層的位置，其中m=

2 結(jié)論

通過上述討論，可以得到以下結(jié)論:

(1)應(yīng)力中性層的位置與中厚板中心層的位置之差隨著彎矩的增大而增大。

(2)從中性層的公式可以看出，影響中厚板中性層位置的主要因素是a、b、t 等，彎曲后的形狀直接影響甚至決定了中性層的位置。這主要是中厚板彎曲后為了方便計算，運用常用的平截面假設(shè)，這樣中厚板截面形狀由變形前的長方形截面變成了彎曲后的規(guī)則的扇形截面。這與實際中厚板彈塑性彎曲時是有差別的，這樣運算的結(jié)果也極大的影響了應(yīng)力中性層位置的準(zhǔn)確性。

(3)根據(jù)彈性區(qū)和塑性區(qū)的徑向應(yīng)力計算結(jié)果可以得出內(nèi)層和外層應(yīng)力分布是根本不對稱的，這也是導(dǎo)致了應(yīng)力中性層內(nèi)移的直接原因。

(4)根據(jù)中厚板彎曲時的力矩和形狀，基本可確定中厚板彎曲后的撓度，那么應(yīng)力中性層的位置也就確定。應(yīng)力中性層的偏移相對于中厚板板厚來說不是很大，如果不是精確計算，可以不考慮。

［1］肖景容，姜奎華.沖壓工藝學(xué).北京:機械工業(yè)出版社，1994.

［2］官英平.中性層內(nèi)移對彎曲回彈的影響［J］.鍛壓技術(shù)，2007，32(2):26－28.

［3］劉鴻文.材料力學(xué).2.下冊.北京:高等教育出版社，1991.

［4］劉庚武.寬板彎曲時線性硬化應(yīng)力中性層位置的求解［M］.模具技術(shù)，2008(5):5－10.

［5］官英平.板料彈塑性彎曲應(yīng)力應(yīng)變中性層位置關(guān)系探討.2009，9(2):39－41.