基于生產(chǎn)動態(tài)資料確定儲層滲透率非均質(zhì)變化的參數(shù)反演數(shù)學(xué)模型

劉今子, 朱維耀, 張 偉, 龍運(yùn)前, 岳 明

( 1. 北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院,北京 100083; 2. 東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,黑龍江 大慶 163318; 3. 大慶油田測試技術(shù)服務(wù)分公司 第九大隊,黑龍江 大慶 163000 )

0 引言

在油藏實(shí)際勘探與開發(fā)過程中，經(jīng)常遇到相鄰不遠(yuǎn)處2口井的產(chǎn)量和產(chǎn)油能力有明顯差別.從油井取出的巖樣，甚至用肉眼觀察時，能發(fā)現(xiàn)其很多不同的性質(zhì).這種現(xiàn)象表明油藏具有不同的非均質(zhì)性.油藏非均質(zhì)性是油藏表征的核心內(nèi)容，其研究水平將直接影響對油藏中油、氣、水的分布規(guī)律和開發(fā)效果，這是油氣勘探研究的熱點(diǎn).針對油藏非均質(zhì)性研究已取得長足進(jìn)步，其研究內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域不斷加深、擴(kuò)大.研究油藏表征非均質(zhì)特征的方法分為靜態(tài)方法和動態(tài)方法[1-4].

常用的靜態(tài)方法是巖心分析和地震測井，利用取得的數(shù)值進(jìn)行空間插值，離散網(wǎng)格塊的參數(shù)值，進(jìn)而描述油藏參數(shù)的空間非均質(zhì)特征[1,5-6].反問題理論提供利用實(shí)測或動態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)合先驗(yàn)數(shù)據(jù)，反求地層參數(shù)分布，如孔隙度、滲透率等工具.對于研究非均質(zhì)油藏表征滲流特征的反問題方面研究，主要有兩大方向：一是地震測井技術(shù)(靜態(tài)方法)，反演確定初始油藏參數(shù)分布；二是試井分析(動靜結(jié)合方法)，根據(jù)生產(chǎn)歷史資料，反演確定油藏參數(shù)分布的趨勢[7-9].用地震測井反問題方法表征油藏參數(shù)分布的局限性在于，用地球物理方法求滲透率大都必須依據(jù)巖心分析或其他資料，而且精度不高，只能代表井底周圍附近地帶的情況[10-12].用試井技術(shù)動靜結(jié)合歷史擬合的方法表征油藏參數(shù)分布的局限性在于，只能求得與井的產(chǎn)能直接相關(guān)的、代表井附近一定范圍的平均有效滲透率，并不能描述井網(wǎng)或區(qū)塊的油藏參數(shù)區(qū)域性非均質(zhì)分布特點(diǎn)，也不能充分反映非均質(zhì)油藏里流體的滲流特征[13-14].筆者針對儲層滲透率的不同非均質(zhì)構(gòu)型，建立二維單相反演優(yōu)化分布數(shù)學(xué)模型，可以實(shí)現(xiàn)通過生產(chǎn)動態(tài)資料確定儲層滲透率的非均質(zhì)構(gòu)型參數(shù).

1 構(gòu)型表征

針對儲層滲透率的非均質(zhì)特性，假定4種儲層滲透率K的分布：

(1)K是常數(shù).

(2)K是線性變化：(a)線性遞增；(b)線性遞減.

(3)K是二次函數(shù)：(a)開口向上；(b)開口向下.

(4)K是對數(shù)函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)：(a)對數(shù)函數(shù)(上凸)；(b)指數(shù)函數(shù)(下凸).

滲透率分布構(gòu)型見圖1.

圖1 滲透率分布不同的構(gòu)型示意

2 壓力梯度與流量的數(shù)學(xué)模型

針對平面徑向流的情況，物理模型：水平圓盤狀地層，均質(zhì)等厚，r為地層任意點(diǎn)到井筒的距離，p為該點(diǎn)的壓力，h為厚度，供給邊界為圓形，pe為供給壓力，re為供給半徑.在圓的中心打1口水力完善井，rw為井的半徑，pw為井底壓力.同時，假設(shè)流體為牛頓流體，μ為黏度，與井軸垂直的每一個平面內(nèi)的運(yùn)動情況相同.在平面徑向流時，流線是1組流向點(diǎn)匯(生產(chǎn)井)或由點(diǎn)源(注水井)發(fā)散出來的直線，平面徑向滲流模型和平面徑向流壓力分布曲線分別見圖2和圖3.

圖2 平面徑向滲流模型

圖3 平面徑向流壓力分布曲線

2.1 儲層滲透率是常數(shù)

由已知條件，K(r)=K，代入達(dá)西定律，得

簡化得

(1)

2.2 儲層滲透率是線性變化

2.2.1 線性增加

由已知條件K(r)=a+br，a>0，b>0，代入達(dá)西定律，得

即

(2)

2.2.2 線性遞減

由已知條件K(r)=a-br，a>0，b>0，代入達(dá)西定律，得

即

(3)

2.3 儲層滲透率是二次函數(shù)變化

2.3.1 上凸

由已知條件K(r)=-ar2+br+c，a>0，b>0，c>0，代入達(dá)西定律，得

即

(4)

2.3.2 下凸

由已知條件K(r)=ar2-br+c，a>0，b>0，c>0代入達(dá)西定律，得

即

(5)

2.4 儲層滲透率是對數(shù)函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)變化

2.4.1 對數(shù)函數(shù)上凸

由已知條件K(r)=alnr+b，a>0，b>0，代入達(dá)西定律，得

即

(6)

2.4.2 指數(shù)函數(shù)下凸

由已知條件K(r)=aebr，a>0，b>0，代入達(dá)西定律，得

即

(7)

3 反演模型

基于反演思路，建立針對儲層滲透率非均質(zhì)特性的反演算法：

(2)輸入預(yù)估儲層滲透率的分布函數(shù)K(r)，得到預(yù)估壓力梯度p，流量q(取實(shí)際流量q*).

(3)如果預(yù)估儲層滲透率分布K(r)滿足實(shí)際的壓力梯度p*，應(yīng)有

(8)

(4)如果滿足式(8)，預(yù)估值即可作為真實(shí)值；如果不滿足式(8)，由壓力梯度與儲層滲透率有判別函數(shù)關(guān)系為

校正預(yù)估儲層滲透率K(r)，校正函數(shù)關(guān)系為

(5)將校正值作為預(yù)估值重新計算，得到壓力梯度，代入式(3)進(jìn)行迭代.

(6)校正值K(r),滿足真實(shí)值K*(r)要求的精度.

4 數(shù)值模擬

以某低滲油田單井井史為例，進(jìn)行儲層滲透率非均質(zhì)性反演.油藏參數(shù)：井底的滲透率Ka=2×10-3μm2,邊界的滲透率Kb=8×10-3μm2，可以預(yù)估儲層滲透率非均質(zhì)變化形態(tài)為3種形態(tài)：(1)線性遞增；(2)對數(shù)上凸；(3)指數(shù)下凸.當(dāng)已知井底到邊界某一個點(diǎn)的壓力和產(chǎn)量時，可以進(jìn)一步判斷是二次曲線上凸或下凸的形態(tài).孔隙度為0.15；黏度為7.4 mPa·s；泄壓半徑為1 km；井筒半徑為0.1 m；儲層厚度為2 m.假定穩(wěn)態(tài)情況時，井底流壓pw=7×106Pa，邊界壓力pe=17×106Pa，流量q=0.358 m3/d.利用文中建立的參數(shù)反演數(shù)學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，其結(jié)果見表1.

表1 滲透率非均質(zhì)性反演數(shù)值結(jié)果

由表1可見，儲層滲透率非均質(zhì)變化形態(tài)為指數(shù)下凸時，迭代數(shù)值最穩(wěn)定，其余的2種情況數(shù)值發(fā)散現(xiàn)象嚴(yán)重.據(jù)此可以判斷，此算例下的儲層滲透率非均質(zhì)變化是呈指數(shù)下凸的構(gòu)型.

5 結(jié)束語

根據(jù)儲層滲透率非均質(zhì)構(gòu)型的特點(diǎn)，建立不同儲層滲透率非均質(zhì)構(gòu)型下的滲流數(shù)學(xué)模型.考慮儲層滲透率非均質(zhì)構(gòu)型下，結(jié)合生產(chǎn)動態(tài)實(shí)際數(shù)據(jù)，建立反演儲層滲透率非均質(zhì)變化的反演算法.算例表明，所建的結(jié)合生產(chǎn)動態(tài)資料反演儲層滲透率非均質(zhì)變化的算法可以實(shí)現(xiàn)較高的精度，可以作為建立三維兩相反演儲層滲透率非均質(zhì)變化和分區(qū)相滲曲線的數(shù)學(xué)模型的理論基礎(chǔ)，以及一種輔助歷史擬合的方法.