帶延遲修理的退化服務(wù)臺排隊系統(tǒng)更換模型研究*

賈積身，侯江華

（河南機電高等專科學(xué)校教務(wù)處，河南 新鄉(xiāng) 453000）

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會的進步，許多大中型企業(yè)的生產(chǎn)都采用了自動化生產(chǎn)線對產(chǎn)品進行連續(xù)生產(chǎn)，例如冶金軋鋼系統(tǒng)等。這些自動化生產(chǎn)線在運行過程中，由于元部件的磨損和老化等原因常常會出現(xiàn)故障，如何對生產(chǎn)線進行維修與更換，實現(xiàn)最優(yōu)控制已經(jīng)成為一個重要的研究課題。

現(xiàn)有的排隊論文獻中所研究的系統(tǒng)幾乎都是假定服務(wù)臺(本文專指自動化生產(chǎn)線的核心部分)是不會失效的，可是在實踐中，經(jīng)常會遇到服務(wù)臺發(fā)生故障而不能為顧客(本文專指自動化生產(chǎn)線正在生產(chǎn)的產(chǎn)品)服務(wù)的情形，此時需要修理工對服務(wù)臺進行維修，修復(fù)后繼續(xù)為顧客服務(wù)，對于這類服務(wù)可能失效和可修的排隊系統(tǒng)，無論從排隊論的角度，還是從可靠性理論的角度都是非常值得研究的，曹晉華和程侃［1］在假設(shè)服務(wù)臺故障后能夠得到及時維修和維修為“修復(fù)如新”的前提下，對M/G/1排隊系統(tǒng)的排隊論指標和可靠性指標進行了研究;鐘福金［2］等研究了由一個自動軋鋼電氣設(shè)備組成的可修排隊系統(tǒng)的最優(yōu)更換模型，在假定該設(shè)備可修且不能“修復(fù)如新”的前提下，利用幾何過程，研究了軋鋼電氣設(shè)備的更換策略，并且求出了系統(tǒng)期望費用的簡明表達式;賈積身［3，4］在此基礎(chǔ)上進一步假定服務(wù)臺維修為“修復(fù)非新”的前提下，對服務(wù)臺的更換策略進行了研究;Lam Yeh［5］等研究了可修服務(wù)臺的M/M/1排隊系統(tǒng)的幾何過程模型，通過引入補充變量，得到了排隊系統(tǒng)的一些性質(zhì)和服務(wù)臺的一些可靠性指標，并選擇當(dāng)服務(wù)臺第N次故障時進行更換為更換策略進行了研究。然而，實際情況并非如此，在實際工程和生活中，服務(wù)臺故障后往往得不到及時修理，系統(tǒng)故障后修理工首先是診斷故障原因或有的故障自己解決不了，還需要請其他修理工來進行修理，等等，這樣就需要等待一段時間，不免引起服務(wù)臺修理的延遲［6－8］。這種情形下服務(wù)臺一般有三種狀態(tài):正常，待修，修理。所以，對這種情況進行研究是十分必要的，同時它也具有重要的理論意義和實用價值。

本文將在上述文獻基礎(chǔ)上提出一種新的更為一般的可修排隊系統(tǒng)，即帶修理延遲的服務(wù)臺退化可修排隊系統(tǒng)，并針對服務(wù)臺每次維修后的修理時間隨機遞增、維修后的壽命隨機遞減的現(xiàn)實情況，利用幾何過程，以被服務(wù)的顧客數(shù)N為其更換策略，選擇最優(yōu)的N*，使得服務(wù)臺經(jīng)長期運行單位時間內(nèi)的期望效益達到最大，并求出了服務(wù)臺經(jīng)長期運行單位時間內(nèi)期望效益的明顯表達式。

為討論方便，先給出隨機序和幾何過程的定義，詳細內(nèi)容可參見文獻Lam Yeh［9］。

定義1 設(shè)ξ，η為兩個隨機變量，若對任意實數(shù)α，有

則稱ξ隨機地大于η，記為ξ＞stη。同樣，若ξ隨機地小于η，記為ξ＜stη。

則稱記數(shù)過程{ξ(t)，t≥0}為一個幾何過程。并稱Tn為第n個變化時刻，Xn為第n個變化間距。顯然

若α＞1，{Xn，n=1，2，…}是隨機遞減的，相應(yīng)的幾何過程稱為遞減的幾何過程;

若0＜α＜1，{Xn，n=1，2，…}是隨機遞增的，相應(yīng)的幾何過程稱為遞增的幾何過程;

若α=1，{Xn，n=1，2，…}是獨立同分布(分布函數(shù)為F(t))的隨機變量序列，從而幾何過程為更新過程。

2 模型假定

本文所討論的策略都是在下述假定下進行的。

假定1 設(shè)服務(wù)臺只有一個，且他只有忙期(指工作)和假期(指故障)兩種狀態(tài)。t=0時，服務(wù)臺是新的，服務(wù)臺更換時用同類型的更換，且更換時間忽略不計;

假定2 服務(wù)臺故障時，有時不能立即被維修;A={服務(wù)臺故障時能立即被維修}，B={服務(wù)臺故障時不能立即被維修}，且p(A)=p;令Vn表示服務(wù)臺在第n次故障的延遲修理時間，并假定{Vn，n=1，2，…}是獨立同分布于分布函數(shù)H(t)(t≥0)的隨機變量序列，且γ=EVn＜+∞;

假定 4 Xn，Yn，Wn，Vn，n=1，2，…是相互獨立;

假定5 服務(wù)臺在單位時間內(nèi)的維修費用為Cr，單位時間內(nèi)的經(jīng)濟效益為Cω，服務(wù)臺故障后延遲修理期間單位時間內(nèi)的損失為C1，服務(wù)臺一次更換費用為C。

3 策略N下的期望效益

設(shè)T1為服務(wù)臺第一次更換時刻，Tn為服務(wù)臺第n－1次與第n次更換之間的時間間隔，n=2，3，…，顯然{Tn，n=1，2，…}形成一個更新過程。

設(shè)P(N)為在策略N下服務(wù)臺經(jīng)長期運行單位時間內(nèi)的期望效益，則

由于{Tn，n=1，2，…}為一個更新過程，所以相鄰兩次更新時間間隔為更新周期長，由更新報酬定理得

設(shè)UN為服務(wù)臺連續(xù)N個顧客服務(wù)結(jié)束的時刻，則他包括N個顧客的服務(wù)時間、服務(wù)臺可能故障所需要的維修時間以及服務(wù)臺故障所需要的待修時間。設(shè)K為服務(wù)臺在連續(xù)N個顧客服務(wù)期內(nèi)的故障次數(shù)，顯然他是一個隨機變量，由假定5知K=1，2，…。我們有

為了確定E(UN)，需要先考慮隨機變量K的分布律。

根據(jù)條件期望的性質(zhì)和(2)式，得

從而得到在策略N下服務(wù)臺經(jīng)長期運行單位時間內(nèi)的期望效益為

因此，要求P(N)的最大值，只需考慮下式的最大值即可。

可通過數(shù)值法求出最優(yōu)的策略N*，使得P1(N*)達到最大，也就是P(N*)達到最大。

4 討論

(4)式表明服務(wù)臺經(jīng)長期運行單位時間內(nèi)的最大期望效益為Cω。

2)若服務(wù)臺能夠“修復(fù)如新”，則a=b=1。這時(3)式變?yōu)?/p>

其中Fk(t)=F(t)*F(t)*F(t)*…*F(t)，SN(t)=S(t)*S(t)*S(t)*…*S(t)

3)若服務(wù)臺每次故障均能立即維修，則p=1。這時(3)式變?yōu)?/p>

這正是文獻［4］中的結(jié)論。

［1］曹晉華，程侃.服務(wù)臺可修的M/G/1排隊系統(tǒng)分析［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1982，5(2):113－127.

［2］鐘福金，張元林，賈積身.自動化軋鋼電氣設(shè)備可修的排隊系統(tǒng)的更換模型［J］.東南大學(xué)學(xué)報，1994，24(6):89－92.

［3］賈積身.服務(wù)臺“修復(fù)非新”的M/G/1排隊系統(tǒng)更換模型研究［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2003，25(12):254－256.

［4］Jia Jishen，Guo Baini.Optimal replacement policy for queueing system with repairable service station that repairing is not"as good as new"［J］.Proceeding of the Jangjeon Mathematical Society，2003，6(1):65 －70.

［5］Lam Yeh，Zhang Yuan Lin，Qun Liu.A geometric process model for M/M/1 queueing system with a repairable service station［J］.European Journal of Operations Research，2006，168:100 －121.

［6］毛勇，李才良，唐應(yīng)輝.修理延遲的單部件系統(tǒng)的可靠性分析［J］.電子科技大學(xué)學(xué)報，2000，29(5):545－548.

［7］Jia Jishen，Wu Shaomin，.A replacement policy for a repairable system with its repairman having multiple vacations［J］.Computers ＆ Industrial Engineering，2009，57(1):156 －160.

［8］賈積身，劉思峰，黨耀國.延遲修理的修理工多重休假可修系統(tǒng)更換模型［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31(12):3017－3021.

［9］Lam Yeh.Geometric Processes and Replacement Problem［J］.ACTA Mathematicae.Applicatae Sinica，1988，4(4):366－377 .