考慮二次壓力梯度非線性滲流三區(qū)復(fù)合油藏模型分析

張 林， 賈永祿， 張福祥， 楊向同， 秦世勇

( 1. 西南石油大學(xué) 油氣藏地質(zhì)與開發(fā)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610500； 2. 中國石油塔里木油田分公司，新疆 庫爾勒 841000 )

滲流力學(xué)是開發(fā)地下流體資源的理論基礎(chǔ)，近年來滲流理論不斷完善，但有關(guān)非線性滲流問題的理論與應(yīng)用研究處于初級(jí)階段，非線性滲流力學(xué)的研究越來越受到重視，已成為現(xiàn)代滲流力學(xué)發(fā)展的新方向[1-3].由于二次壓力梯度作用帶來的理論誤差達(dá)到20%以上[4]，在滲流研究中不應(yīng)該被忽略.在流動(dòng)方程中保留二次梯度項(xiàng)的非線性方法是由Odeh A S和Babu D K提出的[5].W W-G YEh針對(duì)非均質(zhì)油藏建立考慮二次梯度非線性項(xiàng)的偏微分方程，運(yùn)用隱式差分格式將控制方程離散化，得到數(shù)值解，并討論各類參數(shù)對(duì)解的影響[6].Jan Finjord建立考慮二次壓力梯度的滲流試井模型，通過分析強(qiáng)調(diào)二次梯度隨時(shí)間變化后對(duì)井底流壓的影響不可忽略的重要性[7-8].Chakrabarty C等研究含二次梯度影響的徑向壓力分布解析解，定量分析二次梯度項(xiàng)的影響[9].Streltsova T D進(jìn)行非均質(zhì)儲(chǔ)層的試井研究，使用相似的技巧，從而避免求雙孔隙度系統(tǒng)的聯(lián)立解[10].Braeuning S等考慮井筒儲(chǔ)集和表皮效應(yīng)的非線性徑向流動(dòng)模型，分析二次壓力梯度項(xiàng)在變流量試井分析中的影響[11].同登科等通過拉氏逆變換求得短時(shí)間和長時(shí)間的漸進(jìn)解，討論二次梯度對(duì)壓力的影響，從而描述線性解和非線性解的差異[12-17].這些文獻(xiàn)研究均質(zhì)地層和雙重介質(zhì)油藏，筆者研究考慮二次梯度三區(qū)復(fù)合油藏模型，對(duì)樣版曲線進(jìn)行敏感性分析，發(fā)現(xiàn)二次壓力梯度更能真實(shí)地反映復(fù)雜油藏的滲流規(guī)律.

1 非線性滲流方程

當(dāng)單相流體通過多孔介質(zhì)時(shí)，運(yùn)用質(zhì)量守恒原理得到直角坐標(biāo)系下的流動(dòng)連續(xù)方程：

(1)

式中:u為滲流速度；t為滲流時(shí)間；ρ為液體密度；φ為巖石孔隙度.

滲流運(yùn)動(dòng)方程符合達(dá)西定律，得到運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

式中：k為油層滲透率；μ為黏度；p為壓力.

多孔介質(zhì)和液體是可壓縮的，得到狀態(tài)方程：

對(duì)彈性液體ρ=ρ0exp[Cρ(p-p0)],

(3)

對(duì)彈性多孔介質(zhì)φ=φ0exp[Cr(p-p0)],

(4)

式(3-4)中:Cr為巖石等溫壓縮系數(shù)；Cρ為液體等溫壓縮系數(shù)；ρ0，φ0，p0為某一參考數(shù)值，通常取標(biāo)準(zhǔn)狀況下的.

聯(lián)立式(1-4)推出：

(5)

式中:Ct為綜合壓縮系數(shù)，Ct=Cρ+Cr.

將式(5)變換為徑向圓柱坐標(biāo)下：

(6)

式(6)為具有二次壓力梯度項(xiàng)的非線性滲流控制偏微分方程，將壓力梯度的平方項(xiàng)稱為二次壓力梯度項(xiàng)(Quadratic Pressure Gradient Term).傳統(tǒng)滲流模型研究是通過假設(shè)小的壓縮系數(shù)和壓力梯度而將非線性項(xiàng)忽略，因此線性滲流是非線性滲流的近似、簡化與處理，非線性滲流更符合原油在多孔介質(zhì)中滲流的實(shí)際.

2 模型求解

2.1 物理模型

圖1 三區(qū)復(fù)合油藏物理模型

假設(shè)：(1)圓形均質(zhì)等厚油藏中心一口井定產(chǎn)量生產(chǎn)；(2)產(chǎn)層厚度全部打開，流體徑向流入井內(nèi)；(3)儲(chǔ)層孔隙介質(zhì)及滲透率呈三區(qū)分布特性，每區(qū)內(nèi)均勻分布，各向同性，與壓力無關(guān)(見圖1)；(4)流體和巖石微可壓縮，其壓縮系數(shù)為常數(shù)，流體黏度為常數(shù)；(5)考慮井筒儲(chǔ)集效應(yīng)和表皮效應(yīng)的影響；(6)忽略重力和毛管力影響；(7)等溫達(dá)西滲流；(8) 外邊界條件可以是無窮大地層.

2.2 數(shù)學(xué)模型

其中：下標(biāo)1代表一區(qū)；下標(biāo)2代表二區(qū)；下標(biāo)3代表三區(qū)；r為離井的距離；rw為井半徑；pi為原始地層壓力；pw為井底壓力；h為油層厚度；q為地面產(chǎn)量；Cs為井儲(chǔ)系數(shù)；B為體積系數(shù)；Re為外邊界距離；t為生產(chǎn)時(shí)間；p1，p2，p3為1區(qū)、2區(qū)、3區(qū)地層壓力；r1，r2，r3為1區(qū)、2區(qū)、3區(qū)半徑；k1，k2，k3為1區(qū)、2區(qū)、3區(qū)油層滲透率；φ1，φ2，φ3為1區(qū)、2區(qū)、3區(qū)儲(chǔ)層孔隙度.

滲流偏微分控制方程為

(7)

(8)

(9)

式中：TD=tD/CD.

(1)初始條件：

p1D|TD=0=p2D|TD=0=p3D|TD=0=0.

(10)

(2)內(nèi)邊界條件：

(11)

(3) 連接條件：

對(duì)于壓力連續(xù)，p1D|r=r1D=p2D|r=r1D,

(12)

p2D|r=r2D=p3D|r=r2D.

(13)

(14)

(15)

(4)外邊界條件：

(16)

2)求解.

作變量代換

(17)

對(duì)式(7～16)進(jìn)行變量代換后，模型變化為

(18)

(1)初始條件：

x1|TD=0=x2|TD=0=x3|TD=0=0.

(19)

(2)內(nèi)邊界條件：

(20)

(3)連接條件：

對(duì)于壓力連續(xù)，x1D|rD=r1D=x2D|rD=r1D,

(21)

x2D|rD=r2D=x3D|rD=r2D.

(22)

(23)

(24)

(4)外邊界條件：

(25)

引入基于TD的Laplace變換：

(26)

式中：z為拉氏變量.

對(duì)式(18～25)進(jìn)行Laplace變換得其通解：

(27)

式中：I0(·)為第一類零階變形貝塞爾函數(shù)；K0(·)為第二類零階變形貝塞爾函數(shù)；I1(·)為第一類一階變形貝塞爾函數(shù)；K1(·)為第二類一階變形貝塞爾函數(shù).

在井底處rD=1，當(dāng)p=pw時(shí)，pD=pwD，將通解代入內(nèi)、外邊界條件和連續(xù)條件，可以得到在井底處關(guān)于xw的一組拉氏空間線性方程組：

(28)

式中：A,B,C,D,E,F為待定系數(shù).

3 滲流規(guī)律

3.1 樣板曲線

3.2 敏感性分析

受二次壓力梯度影響的三區(qū)復(fù)合油藏井底壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征曲線見圖2.無窮大邊界條件下的三區(qū)復(fù)合油藏壓力和壓力導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)非線性滲流特征曲線見圖2(a).由圖2(a)可以看出，三區(qū)復(fù)合油藏樣版曲線的導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)不同臺(tái)階，由于壓力波傳到外區(qū)時(shí)間較長，外區(qū)物性差，使得二次梯度的影響強(qiáng)烈.當(dāng)無因次二次壓力梯度因數(shù)β為0時(shí)，則蛻化為線性模型，可以劃分6個(gè)滲流階段.

第Ⅰ階段：為純井筒儲(chǔ)集階段，油井開井生產(chǎn)，井筒中的積液流動(dòng)，地層中原油處于靜止?fàn)顟B(tài)，壓力與壓力導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)曲線呈單位斜率，線性模型與非線性模型相同，即非線性滲流是原油在地下多孔介質(zhì)中的流動(dòng).

圖2 三區(qū)復(fù)合油藏非線性滲流特征曲線

第Ⅱ段：為表皮效應(yīng)反映階段，油井近井地帶存在污染(鉆、完井等施工作業(yè)過程中可能造成地層堵塞)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈明顯的“駝峰”狀，線性模型與非線性模型之間開始出現(xiàn)差異，參數(shù)團(tuán)(CDe2S)對(duì)滲流特征曲線的影響見圖2(b).由圖2(b)可以看出，參數(shù)團(tuán)(CDe2S)的值越大，“駝峰”越明顯.

第Ⅲ段：為1區(qū)滲流階段，反映1區(qū)的地層特性，當(dāng)1區(qū)達(dá)平面徑向流階段時(shí)，由于受到非線性作用，與線性模型相比，壓力導(dǎo)數(shù)曲線不再遵循“0.5線”規(guī)則，而是位于“0.5線”下方.

第Ⅳ階段：為2區(qū)滲流階段，反映2區(qū)的地層特性，與1區(qū)相比，壓力導(dǎo)數(shù)變換1個(gè)臺(tái)階，若2區(qū)物性(滲透率、孔隙度和巖石壓縮系數(shù)等)比1區(qū)物性差，則壓力導(dǎo)數(shù)曲線的臺(tái)階上升；若2區(qū)物性比1區(qū)物性好，則壓力導(dǎo)數(shù)曲線的臺(tái)階下降；若2區(qū)與1區(qū)的物性差異越大，臺(tái)階上升(或下降)越明顯(圖2(c))；若1區(qū)半徑越大，則壓力波傳到2區(qū)的時(shí)間越長，臺(tái)階出現(xiàn)的時(shí)間越晚(圖2(d)).

第Ⅴ階段：為3區(qū)滲流階段，類似于第Ⅳ階段，若3區(qū)物性比2區(qū)物性差，則壓力導(dǎo)數(shù)曲線的臺(tái)階上升；若3區(qū)物性比2區(qū)物性好，則壓力導(dǎo)數(shù)曲線的臺(tái)階下降；若3區(qū)與2區(qū)的物性差異越大，臺(tái)階上升(或下降)越明顯(圖2(c))；若2區(qū)半徑越大，則壓力波傳到3區(qū)的時(shí)間越長，臺(tái)階出現(xiàn)的時(shí)間越晚(圖2(d)).

第Ⅵ階段：為外邊界反應(yīng)階段，外邊界距離越遠(yuǎn)，上翹或下掉的時(shí)間越晚.

3.3 非線性項(xiàng)影響

由表1和表2可以看出：儲(chǔ)層物性越差，二次梯度的作用越明顯；隨著生產(chǎn)時(shí)間的增加，二次梯度的作用越明顯；在同一量綱一時(shí)刻下，隨著β的增大，線性與非線性量綱一壓力之間的誤差隨之增大.當(dāng)β較大時(shí)，二次梯度項(xiàng)影響不應(yīng)被忽略.相反，如果β較小時(shí)，二次梯度項(xiàng)的影響較小，可以忽略不計(jì).當(dāng)β趨近于0時(shí)，樣版曲線與常規(guī)模型樣版曲線重合，即蛻變?yōu)槌Ｒ?guī)模型.因此，非線性滲流規(guī)律更能代表原油在油藏中的真實(shí)流動(dòng)規(guī)律，應(yīng)加強(qiáng)非線性滲流理論研究.

表1 非線性項(xiàng)的偏移分析(β=0.01)

表2 非線性項(xiàng)的偏移分析(β=0.05)

4 結(jié)論

(1)由于區(qū)域物性差異,實(shí)際油藏往往呈現(xiàn)嚴(yán)重的非均質(zhì)特性，考慮二次梯度的非線性滲流模型可以更好地研究非均質(zhì)油藏原油的滲流規(guī)律.

(2)新型非線性滲流特征曲線在形態(tài)和特征上與線性模型曲線明顯不同，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線與常規(guī)模型曲線存在偏移，1區(qū)壓力導(dǎo)數(shù)不再遵循“0.5線”規(guī)則.

(3)推導(dǎo)非線性滲流控制方程，發(fā)現(xiàn)線性滲流是非線性滲流的近似、簡化與處理，非線性滲流更符合原油在多孔介質(zhì)中滲流的實(shí)際.

(4)非線性項(xiàng)對(duì)原油滲流過程中壓力波的傳播影響明顯，非線性滲流規(guī)律更能代表原油在油藏中的真實(shí)流動(dòng)規(guī)律，應(yīng)加強(qiáng)非線性滲流理論研究.