考慮啟動(dòng)壓力和二次梯度的應(yīng)力敏感油藏穩(wěn)定滲流模型

張 強(qiáng)， 王永清， 楊玲智， 蔣 睿

( 西南石油大學(xué) 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610500 )

0 引言

近年來，隨著油氣勘探開發(fā)的逐步深入，已經(jīng)把重點(diǎn)逐步轉(zhuǎn)移到低滲透油氣藏.理論研究、室內(nèi)實(shí)驗(yàn)以及生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)表明：低滲透儲(chǔ)層具有啟動(dòng)壓力梯度，即只有生產(chǎn)壓差大于某個(gè)數(shù)值，儲(chǔ)層流體才會(huì)流動(dòng)[1-2]；應(yīng)力敏感油藏的存在[3]；公式推導(dǎo)時(shí)忽略的二次梯度作用帶來的理論誤差可達(dá)20% 以上[4-6].因此，在滲流中啟動(dòng)壓力梯度、二次梯度項(xiàng)以及應(yīng)力敏感對滲流的影響不應(yīng)該被忽略.然而以往的研究都只考慮這3種因素中的1種或2種對產(chǎn)能的影響，沒有建立綜合的滲流模型.根據(jù)低速非達(dá)西滲流理論，同時(shí)考慮高階梯度項(xiàng)和地層的應(yīng)力敏感因素，筆者推導(dǎo)綜合考慮2種因素的儲(chǔ)層產(chǎn)能評價(jià)公式.

1 數(shù)學(xué)模型的建立

假設(shè)均質(zhì)等厚圓形應(yīng)力敏感油藏中心一口井穩(wěn)定生產(chǎn)；產(chǎn)層全部打開；滲透率各向同性，隨壓力變化而變化；地層均質(zhì)，壓縮系數(shù)和黏度是常值；流體單相微可壓縮；忽略重力和毛管力.

低滲透油藏低速非達(dá)西滲流在軸對稱時(shí)的滲流方程為

(1)

式中：vr為流體滲流速度；K為地層滲透率；μ為原油黏度；p為地層壓力；λ為啟動(dòng)壓力梯度；r為距離井底距離.

液體的狀態(tài)方程為

ρ=ρiexp[Cρ(p-pi)],

(2)

式中：ρ為液體密度；ρi為原始地層壓力下液體密度；pi為原始地層壓力；Cρ為液體等溫壓縮系數(shù).

巖心滲透率隨凈應(yīng)力的增加呈指數(shù)遞減規(guī)律[3],可描述為

K=Kiexp[CK(p-pi)],

(3)

式中：Ki為初始滲透率；CK為滲透率模量，定義為

(4)

由質(zhì)量守恒原理可得連續(xù)性方程為

·(ρvr)=0.

(5)

(6)

對液體狀態(tài)方程式(2)先取對數(shù)再求導(dǎo)可得

(7)

對滲透率方程式(3)取對數(shù)再求導(dǎo)可得

(8)

聯(lián)立式(1)、式(5-8)，可得考慮二次梯度項(xiàng)和啟動(dòng)壓力梯度的非線性滲流控制偏微分方程為

(9)

式中：CρK=Cρ+CK.

令p=lnx/CρK,可得

(10)

(11)

得到線性滲流微分方程為

(12)

2 滲流問題的求解

式(8)中滲流微分方程為二階變系數(shù)齊次微分方程，由文獻(xiàn)[7]可知：變系數(shù)分別為p(r)=-λCρK+1/r，q(r)=-λCρK/r，且當(dāng)R=λCρK時(shí)，R2+p(r)R+q(r)≡0,則式(12)有解為

(13)

可得滲流微分方程有解為

(14)

式中：c1,c2為與邊界條件有關(guān)的常數(shù)；Ei為冪積分函數(shù).其壓力分布為

(15)

為了確定c1,c2,需要添加內(nèi)外邊界條件,如當(dāng)井底rw處定壓為pw，外邊界re處定壓為pe時(shí)，有x|r=rw=exp(CρKpw),x|r=re=exp(CρKpe).可得c1,c2分別為

(16)

c2=exp[CρK(pw-λrw)]+c1Ei(-λCρKrw).

(17)

3 產(chǎn)量公式的分析

當(dāng)內(nèi)、外邊界均為定壓邊界時(shí)，滲流速度v分布為

(18)

根據(jù)達(dá)西定律,可得考慮啟動(dòng)壓力梯度和二次梯度項(xiàng)時(shí)地面原油產(chǎn)量為

(19)

式中：q為井底產(chǎn)油量；h為油層厚度；B為原油壓縮因子.

當(dāng)?shù)貙訛閯傂越橘|(zhì)時(shí)，即CK=0時(shí),得考慮二次梯度和啟動(dòng)壓力梯度的產(chǎn)量公式為

(20)

如果忽略二次梯度的影響，取Cρ=0,得考慮啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感油藏的產(chǎn)量公式為

(21)

如果忽略二次梯度和地層應(yīng)力敏感的影響，取CρK趨于零，式(16)為求解0/0型的極限，應(yīng)用洛必達(dá)法則可得只考慮啟動(dòng)壓力梯度的產(chǎn)量公式為

(22)

如果不考慮啟動(dòng)壓力梯度，對式(18)取λ=0,可得普通直井的產(chǎn)量公式為

(23)

比較式(19-23)可知：式(20)、式(21)、式(22)及式(23)是式(19)的特例，即只考慮啟動(dòng)壓力梯度、只考慮二次梯度項(xiàng)、只考慮應(yīng)力敏感因素以及三者均不考慮所得產(chǎn)能公式是文中公式(19)的特例.故式(19)更貼近生產(chǎn)實(shí)際，應(yīng)用范圍更廣.

4 結(jié)論

(1)所推導(dǎo)的產(chǎn)量公式綜合考慮啟動(dòng)壓力梯度、二次梯度項(xiàng)以及應(yīng)力敏感的影響，更貼近生產(chǎn)實(shí)際，應(yīng)用范圍廣泛.

(2)只考慮啟動(dòng)壓力梯度、二次梯度項(xiàng)、應(yīng)力敏感因素或三者均不考慮所得產(chǎn)能公式是文中公式的特例.