無限長載流柱面磁場的空間分布

熊 倫

（武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430074）

無限長載流柱面磁場的空間分布

熊 倫

（武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430074）

由面電流在空間某點的磁場公式出發(fā)，利用場強(qiáng)疊加原理，計算出截面為任意多邊形的無限長載流柱面在空間任意點的磁場分布，并且運用這種方法求出了截面為菱形的無限長載流柱面空間磁場分布的普遍表達(dá)式.

面電流；場強(qiáng)疊加原理；空間磁場分布

0 引 言

穩(wěn)恒磁場的一個基本問題就是計算載流導(dǎo)體的空間磁場的分布，在工科《大學(xué)物理》的電磁學(xué)部分的教學(xué)中，主要著重討論的是關(guān)于軸對稱無限長的載流體的空間磁場分布.其求解方法是根據(jù)軸對稱性，利用安培環(huán)路定理進(jìn)行求解.對于有限長的載流線電流的空間磁場主要利用畢奧－薩伐爾定理求解［1］.對于其他形狀的線電流磁場的分布，圓形和多邊形載流線圈研究得也比較多［2－6］.而對于面電流磁場分布的問題則研究得較少［7］.本文根據(jù)面電流在空間某點的磁場公式和場強(qiáng)疊加原理，給出了在直角坐標(biāo)系下，截面為任意多邊形的載流柱面在空間任意點的磁場分布的計算方法，并且運用這種方法求出了截面為菱形的無限長載流柱面空間磁場分布的普遍表達(dá)式.該計算結(jié)果對于工程設(shè)計與建造都有具體的指導(dǎo)意義.

1 面電流在空間某點磁場的計算公式

如圖1所示，一個寬度為d的無限長平面上載有均勻分布的電流，電流密度為j.從P點作一個平面與該平面垂直，兩平面交線AB的長度即為該面電流的寬度d，P點到A、B兩點的距離為r1和r2，r1和r2之間的夾角為β.

根據(jù)文獻(xiàn)［7］的計算結(jié)果，當(dāng)P點位于平面右側(cè)時，整個載流平面在P點的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

圖1 面電流磁場的分布Fig.1 Distribution of magnetic field generated by surface electric current

當(dāng)P點位于面電流左側(cè)時，整個載流平面在P點的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

2 面電流磁場在直角坐標(biāo)系中的一般表達(dá)式

如果只需要求單個面電流的磁場分布，根據(jù)式（1）～（4）即可求得.但如果需要求的磁場分布是由多個面電流組成的柱面電流所產(chǎn)生的，由于每個面的方向各不相同，在求空間某點P處的總磁感應(yīng)強(qiáng)度時，有必要先求出面電流磁場在直角坐標(biāo)系中的一般表達(dá)式.

如圖2所示，設(shè)圖1中的P、A和B三點所在的平面為xoy平面，電流沿z軸方向，三點在xoy平面上的坐標(biāo)分別為P（x，y）、A（x1，y1）和B（x2，y2）.AB線和y軸的夾角為α.由幾何關(guān)系可得，B⊥和x軸以及B∥和y軸之間的夾角也為α.面電流磁場在直角坐標(biāo)系中的分量為

圖2 面電流磁場在直角坐標(biāo)系中的分布Fig.2 Distribution of magnetic field generated by surface electric current in the xoy plane

由幾何關(guān)系可得

因而可以求出β為

對于截面為任意多邊形的柱面電流空間磁場的分布，根據(jù)上述式（7）～（12），可以求出其中任一面在空間某點P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度后，根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，就可以求出整個柱面在空間的磁場分布.下面以截面為菱形的載流柱面為例，按照以上方法求出空間的磁場分布.

3 截面為菱形的無限長載流柱面磁場的空間分布

如圖3所示，設(shè)有一個無限長載流柱面與xoy平面的交線為菱形ABCD，該菱形各頂點坐標(biāo)分別為A（a，0）、B（0，b）、C（－a，0）、D（0，－b）.根據(jù)式（7）～（12）分別求出AB、BC、CD和DA四條邊在空間某點P（x，y）產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，再根據(jù)場強(qiáng)疊加原理可以求出載流柱面在P點的磁場分布.

圖3 無限長載流柱面磁場的分布Fig.3 Distribution of magnetic field generated by infinite cylinder electric current

4 討 論

以上分析結(jié)果是在直角坐標(biāo)系下推導(dǎo)而得到的，這種方法具有一般性.對于截面為任意多邊形的無限長載流柱面磁場的分布，只要知道其截面上各頂點在xoy平面上的坐標(biāo)，將式（7）代入到式（12）中再求代數(shù)和即可得到該載流柱面在空間任意點的磁場分布.這種計算方法含參量少、計算量小、容易得到正確結(jié)果.該結(jié)論應(yīng)用于電機(jī)設(shè)計與制造、電磁測量儀器的設(shè)計與制造，受控核聚變裝置的設(shè)計與搭建等都提供理論指導(dǎo)依據(jù)［8］.

［1］ 胡亞聯(lián)，吳鋒.大學(xué)物理學(xué)（上冊）［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

［2］ 朱平.圓電流空間磁場分布［J］.大學(xué)物理，2005，24（9）：13－17.

［3］ 劉耀康.導(dǎo)出圓電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度的簡便方法［J］.大學(xué)物理，2007，26（7）：32－33.

［4］ 岑敏銳.任意多邊形平面載流線圈磁場的空間分布［J］.武漢工程大學(xué)學(xué)報，2010，32（1）：104－106.

［5］ 李海，張玉穎.圓形線電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度［J］.大學(xué)物理，l999，18（6）：20－22.

［6］ 余城，周金華.載流長直螺線管和螺繞環(huán)的磁場對稱性分析［J］.武漢工程大學(xué)學(xué)報，2010，32（5）：106－107.

［7］ 熊倫.截面為矩形的無限長載流柱面磁場的空間分布［J］.廣西物理，2011，32（3）：25－27.

［8］ 王龍，江樸.圓環(huán)面電流磁場的近軸近似［J］.核聚變與等離子物，1989，9（3）：142－148.

Spatial distribution of magnetic field generated by cylinder electric current

XIONG Lun
（School of Science，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430074，China）

According to the magnetic field formula of surface electric current and superposition principle of field intensity，that was introduced a method to calculate the spatial distribution of magnetic field generated by infinite cylinder electric current with polygonal cross section.Then the general expression of magnetic field generated by infinite cylinder electric current with rhombic cross section is derived by using this method.

surface electric current；superposition principle of field intensity；spatial distribution of magnetic field

陳小平

O44l

A

10.3969／j.issn.1674－2869.2011.11.022

1674－2869（2011）11－0087－03

2011－09－29

國家自然科學(xué)基金資助項目（11104211）；武漢工程大學(xué)教學(xué)研究基金項目（X2011012）

熊 倫（1978－），男，湖北廣水人，講師，碩士.研究方向：光與物質(zhì)的相互作用.