《算法的概念》教材分析與教學(xué)建議

于會麗

（西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 重慶 400715）

《算法的概念》教材分析與教學(xué)建議

于會麗

（西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 重慶 400715）

新課程實驗教材《數(shù)學(xué)3》中的第一章“算法初步”是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，本文依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》、新課程實驗教材的實施要求以及高中數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀對“算法的概念”這一節(jié)從知識結(jié)構(gòu)、功能、呈現(xiàn)方式、數(shù)學(xué)思想方法及內(nèi)容五個方面進(jìn)行分析，其目的是想與廣大教師和教研員作進(jìn)一步的交流，希望對教學(xué)研究、教師教學(xué)有一定的幫助。

算法；算法概念；教材分析

算法是一個全新的課題，算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計算科學(xué)的重要基礎(chǔ)。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。需要特別指出的是，中國古代數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵了豐富的算法思想。在本模塊中，學(xué)生將在義務(wù)教育階段初步感受算法思想的基礎(chǔ)上，結(jié)合對具體數(shù)學(xué)實例的分析，體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)問題的能力，提高邏輯思維能力。本文主要對人教社教材《高中數(shù)學(xué)3》第一章第一節(jié)算法的概念進(jìn)行教材分析。

一、知識結(jié)構(gòu)分析

二、功能分析

2.1 為什么引入算法。算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計算機(jī)科學(xué)的重要基礎(chǔ)。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中發(fā)揮著重大的作用。算法思想已經(jīng)成為了現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“算法”的引入正好契合了數(shù)學(xué)新課程的基本理念。通過高中階段的學(xué)習(xí)，讓每一個學(xué)生都能獲得適應(yīng)現(xiàn)代生活和未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，滿足他們個人發(fā)展與社會進(jìn)步的需要。

2.2 有利于培養(yǎng)理性思維和邏輯思維能力。對于一個具體算法而言，從算法分析道算法語句的實現(xiàn)，任何一個疏漏或錯誤都將導(dǎo)致算法的失敗。因此，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但這些步驟的依據(jù)，即“算理”有著更基本的意義。算法思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，有豐富的層次遞進(jìn)素材在算法的具體實現(xiàn)上，有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，和實踐能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考、表達(dá)問題的能力。

三、呈現(xiàn)方式分析

3.1 以典型案例為載體講述知識和思想。算法沒有一個統(tǒng)一的定義，教科書從學(xué)生熟悉的解二元一次方程組入手，通過分析解決具體問題的算理，整理出相應(yīng)的問題解決步驟，然后通過類比概括出更為一般意義二元一次方程組的算法，進(jìn)而引出算法的概念！這樣的呈現(xiàn)方式滿足了“通過對解決具體問題過程與步驟的分析，體會算法的思想，了解算法的含義”的《課標(biāo)》要求，讓學(xué)生能夠?qū)λ惴ǖ谋举|(zhì)有所認(rèn)識。

3.2 以典型例題為載體滲透算法思想。教科書在給出算法概念的基礎(chǔ)上，緊接著給出了兩道例題，一個是“大于1的整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的判定”，另一個是“二分法求方程的近似根”。案例的選擇也主要從算法的典型性、代表性、趣味性、與原有知識的聯(lián)系性和可接受性的角度出發(fā)，使學(xué)生通過對案例的學(xué)習(xí)進(jìn)一步理解算法的本質(zhì)。讓學(xué)生研究表達(dá)算法的方法與規(guī)則，進(jìn)一步理解算法的基本含義并滲透算法思想。

3.3 內(nèi)容安排遵循人們認(rèn)識事物的一般規(guī)律。整個教材的編寫都遵循從特殊到一般的理念。首先從分析特殊的二元一次方程組的算法，到求解一般的二元一次方程組的算法；其次從判斷特殊的數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的算法，到判斷一般的數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)。這樣安排的目的遵循人們認(rèn)識事物的一般規(guī)律。從特殊到一般；從抽象到具體。

四、數(shù)學(xué)思想方法分析

4.1 從特殊到一般的算法步驟，注重培養(yǎng)學(xué)生的類比思想。教材首先給出的是一個求解特殊的二元一次方程組的例題，方程組的求解步驟用的是“加減消元法”，在給出解題步驟的基礎(chǔ)上，緊接著通過一個思考欄，讓學(xué)生探索一般的二元一次方程組的求解步驟。這樣安排目的是便于將求解步驟用類比的方式推廣到求解一般的二元一次方程組。

接著教材在例題（1）中，讓學(xué)生寫出判斷7和35是否為質(zhì)數(shù)的算法，接下來讓學(xué)生寫出“判斷一個數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)”的算法，這樣安排和上例一樣，都有助于學(xué)生通過特殊問題來類比得出一般問題的算法求解步驟。

4.2 從具體事例出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生歸納概括出算法的一般概念，有助于培養(yǎng)學(xué)生歸納概括思想。教材通過求解二元一次方程組的算法步驟來引出算法的概念，讓學(xué)生體會解決某些問題的步驟就是一個算法。這個問題解決步驟必須是明確的；并且在有限步內(nèi)能完成的。讓學(xué)生從中體會并概括出算法的概念：算法是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟。有助于培養(yǎng)學(xué)生的概括思想。

3.通過分析算理，將基本的解題步驟程序化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的程序化等思想。

教科書中，將“大于1的整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的判定”作為貫穿始終的例子，在算法概念教學(xué)時，讓學(xué)生從“質(zhì)數(shù)判定”的算理中體會算法思想；在解決這個問題的過程中，關(guān)鍵的一步是分析算法的步驟，這是一個有條理地、清晰地表達(dá)算法的過程，從中可以是讓學(xué)生體會算法的程序化思想。

五、內(nèi)容分析

5.1 引入分析。教材首先給出的是一個求解特殊的二元一次方程組的例題，因為解二元一次方程組是學(xué)生初中就熟悉的例題，從學(xué)生熟悉的例子出發(fā)引出算法主要是為了使學(xué)生更多的關(guān)注算法是一系列“步驟”這一重要特征。可使學(xué)生在原有知識的基礎(chǔ)上，在具體情境中初步感受什么是算法，為認(rèn)識算法概念奠定基礎(chǔ)。

方程求解步驟用的是“加減消元法”，在實際求解中“代人消元法”也經(jīng)常用到。這樣教師就可以引導(dǎo)學(xué)生用“代入消元法方”寫出算法步驟，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)求解同一問題可以有不同的算法，不同算法實施步驟有明顯差異。但是都能把問題解決。從而有助于學(xué)生更加全面的了解算法。但是教材此時卻不用“代人消元法”主要是因為，在使用代入消元法的時候，學(xué)生需要分類討論，這樣增加了難度。因此教材用“加減消元法”便于將求解步驟用類比的方式推廣到一般二元一次方程組。

在教材接下來的“思考”欄目中，讓學(xué)生關(guān)注一般的二元一次方程組的求解步驟，通過類比讓學(xué)生歸納總結(jié)求一般二元一次方程組的算法，有特殊到一般，教材旨在傳達(dá)這樣一個思想：盡管算法可以用來解決一個具體問題，但是人們更為關(guān)注的是用來解決某一類問題的算法。初步讓學(xué)生感受到算法具有普適性這一重要特征。這也是設(shè)計算法的一條基本原則。

5.2 概念分析。算法在中學(xué)課程中是一個新的概念，但沒有一個精確化的定義，教材只給出了一個描述性的定義：在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟。定義中共有五個關(guān)鍵字，下面我們逐一分析。

在算法概念的界定中，強(qiáng)調(diào)了在“數(shù)學(xué)中”，這為教學(xué)時選取教學(xué)內(nèi)容指定了范圍，教科書也因此只針對數(shù)學(xué)中的算法案例闡述算法的概念。這樣處理，是為了與信息技術(shù)課程中的算法相區(qū)別，并避免將算法的概念泛化，以至于教學(xué)目標(biāo)不落實。

“一定規(guī)則”指的是設(shè)計算法的依據(jù)，這些依據(jù)通常是不同的數(shù)學(xué)結(jié)論或數(shù)學(xué)方法。因此，根據(jù)不同的規(guī)則得到的算法是不同的算法，這與算法是用算法步驟還是用程序框圖或程序來表示無關(guān)。

設(shè)計算法通常針對解決“某一類問題”，強(qiáng)調(diào)的是算法的通性，但這不排斥把解決某一個具體問題的步驟也看成是算法。

算法由步驟組成，步驟的最顯著特征就是順序；算法的每一個步驟都是明確的，同時算法必須在有限步內(nèi)完成。所以，任何一個算法應(yīng)具有“有序性”、“明確性”、“有限性”三個基本特征。

5.3 例題分析：

例1.（1）設(shè)計一個算法，判斷7是否為質(zhì)數(shù)。

（2）設(shè)計一個算法，判斷35是否為質(zhì)數(shù)。

例2.用二分法設(shè)計一個求方程x2-2=0的近似根的算法。

首先，例題中涉及的兩個整數(shù)7與35，前者是質(zhì)數(shù)，后者不是質(zhì)數(shù)。選擇這兩個具體整數(shù)主要目的是使學(xué)生體會如何用自然語言寫算法步驟。為后面學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言寫算法步驟做一下鋪墊。通過兩個例題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管兩個整數(shù)的算法步驟是不一樣的，但是隱含的算法本質(zhì)是一致的：“整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)等價于2～n-1中是否有整數(shù)能整除n”，為后面教材探究整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)，提供了一個前提條件。

其次，二分法盡管在《數(shù)學(xué)1》中已經(jīng)出現(xiàn)過，但那時沒有站在算法的角度去考慮，這里安排例2，一方面體現(xiàn)整套教材的內(nèi)在聯(lián)系性，另一方面二分法算法步驟包含了將要學(xué)習(xí)的算法的三種基本的邏輯結(jié)構(gòu)（順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)）他是學(xué)習(xí)程序框圖與程序算法的典型案例。

由上分析可知，例1質(zhì)數(shù)的判斷是在小學(xué)時接觸過的，例2用二分法求近似解在《數(shù)學(xué)1》中出現(xiàn)過。選擇學(xué)生熟悉的問題一方面可以打破學(xué)生對算法的陌生感；另一方面有助于學(xué)生把注意力集中在算法概念的理解上，而不是算法所涉及的問題本身。進(jìn)而還可以通過這兩個例題來加深學(xué)生對算法的三個基本特征的認(rèn)識。

六、教學(xué)建議

根據(jù)上述理解，以及《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對算法的定位，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把體會算法的基本思想、提高學(xué)生邏輯思維能力作為重點，在教學(xué)過程中，以教科書中提高的案例為載體，引導(dǎo)學(xué)生在設(shè)計算法步驟的過程中進(jìn)一步體會算法的含義。

據(jù)了解，學(xué)生在理解循環(huán)結(jié)構(gòu)的處理上存在的問題最大，主要對循環(huán)結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)和終止?fàn)顟B(tài)的處理，以及循環(huán)條件的i++的理解上。本節(jié)課是算法的第一課時，對于“判斷一個數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)”的算法和“二分法求方程近似解”的算法中所出現(xiàn)的循環(huán)語句，學(xué)生理解起來比較麻煩。建議老師把本節(jié)課設(shè)計為兩個課時。只有學(xué)生準(zhǔn)確理解了那個循環(huán)語句才能更好的為下節(jié)課講解算法的三種基本邏輯機(jī)構(gòu)做好鋪墊。

在算法的學(xué)習(xí)中，不要一開始就讓學(xué)生追求算法的通用性。雖然人教社A版教材中定義算法為“通常是指按照一定的規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟”，但是如果讓學(xué)生一開始就能設(shè)計一個能解決一類問題的算法，這比較困難。據(jù)了解，學(xué)生在尋找解決問題的算法時，往往先是尋找能夠解決問題的特殊算法，當(dāng)特定的問題被解決后，他們才去考慮更一般的算。

在這部分的教學(xué)中，要借助實例，將重點放在對算法概念的理解和對算法特征的認(rèn)識上，從中讓學(xué)生體會設(shè)計算法的基本思路，不要在算法的“優(yōu)化”上多做文章。

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].人民教育出版社，2006.

[2]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)3》A版[M].人民教育出版社，2007.

[3]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)3》教師教學(xué)用書A版[M].人民教育出版社，2007.

[4]吳德文，白金祥《數(shù)學(xué)3》中“算法初步”的教材分析及教學(xué)建議[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報，2009（6）.

于會麗（1986-），女，河南周口人，西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院2009級碩士，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。

2010-11-27