基于一致優(yōu)化的分布式寬帶合作頻譜感知算法

曾凡仔，劉潔，李仁發(fā)，曾慶光

（湖南大學 嵌入式系統(tǒng)與網絡實驗室，湖南 長沙 410082）

1 引言

頻譜檢測是認知無線電網絡的關鍵技術之一，其目的是快速地識別主用戶（primary users）和其他的認知無線電(CR)用戶之間頻譜的占用情況，以方便使用暫時閑置的頻譜空洞，同時要嚴格地保護主用戶的傳輸且避免CR用戶之間的干擾。目前，單 CR用戶頻譜檢測技術主要包括匹配濾波器檢測、能量檢測和特征檢測[1]。

由于無線信道衰落，包括大尺度效應、小尺度深衰落，使得單個認知無線電無法準確地感知和探測主用戶的傳輸[2]。為了降低信道衰落以及陰影效應的影響，考慮多個認知無線電用戶之間的空間分集，合作頻譜感知引起學者們的注意。合作頻譜感知有集中式與分布式2種，集中式的合作頻譜感知由融合中心收集來自多個認知無線電用戶的時域觀測，然后根據收集的信息進行頻譜占用決策[3,4]。雖然集中式方法性能可達到全局最優(yōu)，但是感知節(jié)點需要向融合中心傳送的數據量太大，而且融合中心將頻譜占用決策傳回所有CR的代價也非常高。除此之外，這種方法對節(jié)點失效的容忍性也不高。相比之下，分布式方案由于其較低的數據傳送量以及對節(jié)點失效的頑健性而變得非常有吸引力。分布式合作頻譜感知通過每個CR與其一跳鄰居通信，交換感知信息，然后迭代求解頻譜估計優(yōu)化問題最終使得所有 CR節(jié)點的頻譜感知信息達到一致(consensus)，文獻[5,6]將局部頻譜感知結果采用一致平均(consensus averaging)技術進行迭代平均，直到收斂并以此為頻譜感知決策，這種方法由于只進行一次頻譜估計優(yōu)化問題，因此頻譜感知性能不足。文獻[7,8]在一致優(yōu)化(consensus optimization)框架下，以鄰居節(jié)點的時域觀測作為約束通過多次迭代優(yōu)化來實現合作頻譜感知，其約束的目的為迫使網絡中各CR節(jié)點的頻譜感知結果達到全局一致與優(yōu)化。這種方法在大規(guī)模密集CR網絡中，由于鄰居節(jié)點數目相對較多，也就是約束個數較多而造成網絡的計算與通信開銷較大。

同時，由于CR所分析的頻譜信號是寬帶（甚至超寬帶）信號，若通過Nyquist采樣定理進行分析，則因采樣速率過高而無法分析。為此本文將在壓縮采樣[9]的框架下，提出一種分布式寬帶頻譜壓縮感知算法，算法思想如下：CR網絡中每個 CR節(jié)點首先根據壓縮采樣理論獲取壓縮采樣，并恢復本地的頻譜信息，然后通過一跳范圍內CR節(jié)點之間的信息交互獲取鄰居節(jié)點的頻譜信息，并將此信息的加權平均作為頻譜估計一致優(yōu)化的約束，然后通過交替方向乘子法(ADMoM, alternating direction method of multipliers)[10]求解上述優(yōu)化問題來獲取整個CR網絡的一致頻譜估計。

2 信號建模及問題的提出

考慮多跳 CR網絡模型，在這個模型中，僅僅只有PU輻射信號，而CR用戶在頻譜感知周期內保持靜默。設 CR所分析的寬帶頻譜的帶寬為BHz，頻率范圍為[fl, fu]，將整個頻譜分成M個不重疊的等帶寬窄帶子信道，其中 fm表示每個信道的中心頻率。這些子信道的位置已知，但它們的功率譜密度(PSD)水平未知并且是動態(tài)變化的，其變化取決于子信道是否被占用。那些未被占用的子信道則為頻譜空洞，可以供 CR用戶使用。

假設認知無線網絡中有I個活躍的主用戶，它的傳輸信號記為 s(i),i=1,…,I 。有J個CR用戶，那

p么第j個CR用戶收到的信號為

為分析M個信道上的頻率響應，對 r(j)(t)進行M點離散傅里葉變換，則第j個CR用戶接收信號的離散頻譜可表示為

其中，D(i,j)=diag(h(i,j))是一個M×M對角矩陣信道，p,f p,fh(i,j)(t )、s(i)(t )和w(j)(t )分別是 h(i,j)、s(j)和w(j)(t)pp,ffp,f p,f f的頻域離散形式。定義和，式(2)可以簡寫為

給定式(3)中的接收信號，頻譜感知任務歸結為估計頻譜 sp,f。

3 分布式壓縮頻譜感知

3.1 壓縮采樣

壓縮頻譜感知的第一步為每個CR利用個壓縮采樣矩陣 sc(j)從r(

(t)j)中收集K×1時域樣本向量 xt(j)，其中 Sc為K × M（K＜M） 的隨機采樣矩陣，具體采樣過程如式(4)所示。

其中，M×1維向量 r(j)是r(j)以奈奎斯特采樣率fNyqt(t )抽樣得到的離散信號。

設 FM是 M點的離散傅里葉變換矩陣，則

其中，λj為權系數。

在本文中，CR用戶通過所有CR用戶之間的合作融合各自觀測來聯(lián)合恢復信號 sp,f。這種觀測融合比決策融合能產生更大的合作增益[8]。

3.2 基于一致優(yōu)化的分布式頻譜感知算法

和式(6)相比，優(yōu)化問題（式(7)）中的第二項包含了J個正則化項。上述問題通過加入所有CR用戶的線性測量方程來得到全局最優(yōu)解，但是實施起來代價昂貴。融合中心不但需要獲得所有CR用戶的觀測，而且需要知道所有 CR用戶的采中存在J項最小二乘項，那么一旦合作用戶的數量比較大時，就將產生巨大的計算負擔。

為了克服集中式融合方案中的弊端，只使用一跳鄰居節(jié)點內的局部通信來進行合作感知，從而提出了一種分布式感知算法來估計頻譜。算法通過用戶間的合作和融合，采用一致優(yōu)化技術使得各 CR用戶j保存的頻譜 sp,f的副本。設 G=（N,?）為無向圖，其中 N = ｛ 1,…,J ｝，（j,k）∈?為一跳通信范圍內的無序CR節(jié)點對， Nj= ｛ k |（ j, k ）∈?｝表示CRj的一跳通信鄰居集合。則此時，與目標函數（式（7））不同的是，每個CR用戶j在本地執(zhí)行下面的一致

比較優(yōu)化問題(Pd)與可知，優(yōu)化問題的約束個數變?yōu)橐粋€，因此有望降低計算開銷。其中wjk是與無向圖的邊 (j , k )相關的加權系數。由于為無向圖，因此定義加權系數矩陣W，其第 (j , k )元素即為wjk且有 W 1T=1，其中1為一維向量。

3.3基于交替方向乘子法的分布式頻譜感知算法實現

現在給出優(yōu)化問題（式(9)）的迭代實現。上述優(yōu)化問題的增強拉格朗日函數如下：

其中， zj和c為拉格朗日和增強拉格朗日乘子。設s(

j)(t)來表示第t次迭代 CR用戶j的臨時頻譜估p,f計。運用交替方向乘子法[10]，每個CR通過求解優(yōu)化問題(式(11))迭代更新它們的 s(j)(t)p,f

同時使用基于梯度的迭代來更新乘子：

式(11)和式(12)中的迭代步驟構成了分布式合作壓縮頻譜感知算法。在第t次迭代開始的時刻，每個 CR用戶 j從他們的鄰居 k ∈Nj中收集s(k)=s(k)(t)，求解式(11)對應的二次優(yōu)化問題，產p,fp,f生了最新的本地評估 s(j)(t+1)，然后根據式(12)更f新本地乘子向量 zj(t )。所有的CR用戶廣播稀疏頻譜估計 s(j)(t+1)給它們的一跳鄰居用戶，然后繼續(xù)f下一輪迭代，直到收斂。

算法1 分布式合作壓縮譜感知算法。

初始化 每個CR樣本在本地通過壓縮采樣獲取時域觀測 xt(j),設置參數λ、c和β。初始化頻譜估計 s(j)(0) = 0以及乘子向量 z (0) =0 ,?jp,fj

迭代：

for t=0, 1, …

所有的 CR通過式(12)和式(11)更新 zj(t )和s(j)(t+1)。p,f

所有的CR廣播 s(j)(t+1)至一跳相鄰的CR。p,f

end for

決策：一旦收斂，每個CR獲得全局的頻譜估計s?p,f=s(pj,)f( ∞ ), ?j 。然后通過閾值化 d?p,f={s?p,f≥ηs}來判斷頻譜使用情況。

上述算法是收斂的，具體收斂性證明見附錄。

4 仿真實驗

4.1 仿真實驗設置與算法性能評價指標

設CR所分析的寬帶頻譜帶寬為BHz，頻率范圍為[fl,fu]，將整個頻譜分成M個（M=20）不重疊的等帶寬子信道｛fm｝mM=-01，其中 fm表示每個信道的中心頻率。假定整個寬帶信道 h(i,j)(t),?i,j為頻率p選擇性衰落信道，而每個子信道 fm上的衰落系數hi,j[m]在每一個檢測周期為服從瑞利分布的時不p變信道。

CR的信噪比（SNR）定義為整個寬帶上平均所接收信號功率與白噪聲功率的比值。壓縮比K／M為壓縮采樣的樣本數與采用Nyquist采樣速率所需樣本數的比值。為了評價頻譜估計的性能，采用頻譜s?p,f的均方誤差(MSE)，即｝作為評價指標。對于頻譜空洞檢測，感興趣的性能指標為檢測概率 Pd和虛警概率 Pfa，它們通過頻譜占用決策與主用戶占用子信道的實際情況 dp相比來計算，具體計算表達式如下：

4.2 頻譜感知算法性能

設主用戶隨機占據M個子信道中的I個，同時在感知過程中所有J個CR用戶保持靜默。

1) 3種頻譜感知算法的性能比較

在這里，將算法1的性能與另外2種方法進行比較，其中一個是式(7)所提到的集中式融合法(fusion consensus)，另一個是文獻[6]中的一致平均決策融合策略。在后一種方法中，稀疏信號 sp,f通過求解優(yōu)化問題（式(6)）本地重建，此優(yōu)化問題不含一致約束，而本地估計的平均值如文獻[11]中的算法所示，是通過迭代的分布式一致平均算法求得。

圖1和圖2描述了在I=2、M=20、K=10和SNR=-5dB的情況下，3種方法的MSE和（ROC, receiver operating characteristic）的性能。從中可以得出，集中式方法表現得最好，但同時也擁有最大的計算復雜度。一致平均算法雖然實現起來很簡單，但是它的性能卻是三者中最差的，因為這種方法只建立在一次頻譜重構的基礎上。而本文提出的方法性能較好，在沒有融合中心的前提下，它的ROC性能近似最優(yōu)。

圖1 給定壓縮比為50%，3種頻譜感知算法的MSE與CR用戶個數的關系

圖2 給定壓縮率為50%，3種頻譜感知算法的ROC曲線對比

2) 用戶合作增益與CR用戶數量之間的關系

CR用戶間的合作提供了空間分集增益，這能減輕由于隨機信道衰弱而導致的性能退化，從而減輕隱藏終端問題。圖3為給定I = 2, M = 20, K = 10，SNR =-5 dB，不同CR用戶數下，本文提出算法的ROC曲線。很明顯，在同樣的虛警概率下，檢測概率隨著CR用戶J數量的增加而增加。

圖3 本文提出算法的ROC曲線與CR用戶數之間的關系

3) 稀疏信號恢復的性能與SNR和壓縮率之間的關系

本文提出的頻譜檢測算法中一個重要的特點是引入了壓縮采樣來減輕寬帶頻譜感知中CR用戶的采樣負擔和能量損耗。但是從另一角度看，壓縮又導致了性能的退化。圖4和圖5為給定M=20，I= 2，J=3時，ROC曲線與壓縮率的關系。由圖可知，當SNR=-5dB，K=10時，即壓縮率（K/M）為50%時，便可以足夠精確地恢復頻譜。

圖4 本文提出算法的ROC曲線與壓縮率之間的關系

5 結束語

考慮到因無線網絡的頻譜利用率較低而導致認知無線電所分析的頻譜信號為稀疏信號的特點，本文提出了一種基于壓縮采樣與一致優(yōu)化的分布式合作頻譜感知算法。壓縮采樣的使用有效地降低了采樣率需求，使得寬帶頻譜感知成為可能。主用戶的稀疏頻譜僅利用一跳范圍內的局部通信，通過迭代求解一致優(yōu)化來恢復。特別是，引入了一種加權的一致平均約束來減少一致約束的數量，由此降低了計算負擔且能加速收斂。本文提供了此算法全局收斂的證明。采用交替方向乘子法實現一致優(yōu)化問題。仿真表明上述提出的分布式合作頻譜感知方案能有效地感知壓縮采樣的頻譜。

附錄 算法1中收斂性的證明

為了證明在式(11)和式(12)中迭代步驟的收斂性，定義和B:= W?IM，IM其中 是M×M的單位矩陣，?是Kronecker積運算符。因此，所有CR用戶的聯(lián)合一致優(yōu)化可表示為

它與參考文獻[10]中的優(yōu)化問題的形式相同。設z為拉格朗日乘子向量，考慮增強的拉格朗日函數：

因此，交替方向乘子法的迭代步驟為

[10]中已證明，對于任何正常量c，式(16)中的ADMoM 迭代收斂于式(14)中原問題的最小值。把 G1(sf)和代入式(15)，式(16)中即可得產生算法 1中的迭代步驟式(11)和式(12)。因此，算法1全局收斂。

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