彩色圖像四元數(shù)矩不變量的研究

朱 明，孫繼剛，2，郭立強(qiáng)

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長(zhǎng)春130033; 2.中國(guó)科學(xué)院 研究生院，北京100039)

1 引言

圖像矩函數(shù)的定義及其不變性的研究始于上個(gè)世紀(jì)60年代，發(fā)展于80、90年代。從圖像中計(jì)算出來的矩不變量集合描述了圖像的全局特征，并提供了該圖像區(qū)別于其它圖像所特有的幾何信息，圖像矩不變量的這種特征描述能力被廣泛地應(yīng)用于圖像匹配和模式識(shí)別領(lǐng)域中。從仿生學(xué)角度來講，圖像的矩不變量反映了視覺信息在某些變換下所具有的不變性，即不同模式之間的本質(zhì)差別。從數(shù)學(xué)角度來講，矩不變量是一類代數(shù)不變量。

有關(guān)矩不變量的開拓性工作由Hu提出［1］，他利用代數(shù)不變量理論推出了7個(gè)相似矩不變量并把它們應(yīng)用于目標(biāo)識(shí)別中。但相似變換只是圖像幾何形變中較小的一類，在實(shí)際的工程應(yīng)用中需要構(gòu)造仿射變換下的矩不變量。目前，國(guó)內(nèi)外有關(guān)仿射不變量的研究論文有百余篇，研究方法也比較多，一些經(jīng)典的方法，如:基于小波的仿射不變量研究［3］、互權(quán)重矩方法［4］(cross-weighted moments)、多尺度自卷積方法［5］及基于trace變換的仿射不變量構(gòu)造［6］等。此外還有基于矩技術(shù)的仿射不變量研究，如:Flusser和Reiss分別獨(dú)立構(gòu)造了仿射矩不變量［2，7］。文獻(xiàn)［7-8］中討論了仿射矩不變量在目標(biāo)識(shí)別中的應(yīng)用。文獻(xiàn)［9］把仿射矩不變量用于圖像匹配。文獻(xiàn)［10］構(gòu)造了模糊條件下的仿射矩不變量。文獻(xiàn)［11］利用仿射矩不變量對(duì)發(fā)生仿射形變的圖像進(jìn)行配準(zhǔn)。文獻(xiàn)［12］研究了基于Hu矩構(gòu)造仿射矩不變量的方法。文獻(xiàn)［13］采用圖論的方法構(gòu)造了高階仿射矩不變量。文獻(xiàn)［14］在傅里葉變換域中構(gòu)造了仿射矩不變量并用于對(duì)稱圖像的識(shí)別。

盡管關(guān)于仿射不變量的研究論文很多，但研究的對(duì)象都是灰度圖像，有關(guān)彩色圖像矩不變量的研究卻很少。這主要是由于矢量信號(hào)處理理論尚未完全建立起來，目前針對(duì)彩色圖像處理的算法多是以分通道的形式來處理的。

本文以四元數(shù)矩陣來對(duì)彩色圖像進(jìn)行建模，定義了四元數(shù)矩并構(gòu)造了該矩函數(shù)的仿射不變量?；谒脑獢?shù)矩的仿射不變量研究為彩色圖像的不變量理論提供了一個(gè)新的方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的算法要優(yōu)于分通道處理的方法。

2 預(yù)備知識(shí)

這里簡(jiǎn)要介紹有關(guān)四元數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)。

四元數(shù)是復(fù)數(shù)的推廣，是由1個(gè)實(shí)部和3個(gè)虛部構(gòu)成，即:

其中，3個(gè)虛部滿足如下乘法規(guī)則:

若四元數(shù)q的實(shí)部為零，稱q為純四元數(shù)。

四元數(shù)的共軛為:

四元數(shù)的范數(shù)為:

四元數(shù)的逆為:

若純四元數(shù)q的范數(shù)為1，稱q為單位純四元數(shù)。

設(shè)μ為單位純四元數(shù)，四元數(shù)的歐拉公式為:

對(duì)于一幅彩色圖像f(x，y)，把它以純四元數(shù)的形式進(jìn)行表示:

其中:fR(x，y)，fG(x，y)和fB(x，y)分別代表彩色圖像的R、G和B分量，x和y分別代表像素所在圖像矩陣的行號(hào)和列號(hào)。這樣，一幅彩色圖像就可以用四元數(shù)矩陣來表示?；谒脑獢?shù)的彩色圖像處理就是直接對(duì)這個(gè)四元數(shù)矩陣來處理的，相對(duì)于傳統(tǒng)的分通道或是變換成灰度圖像后再處理的方法而言，四元數(shù)方法更能體現(xiàn)出彩色圖像的整體性，為實(shí)際的工程應(yīng)用提供了一個(gè)新的突破點(diǎn)。

3 四元數(shù)矩

3.1 四元數(shù)矩的定義

從數(shù)學(xué)角度來講，矩函數(shù)(嚴(yán)格意義上講是泛函)是一個(gè)積分變換，把圖像f(x，y)投影到核函數(shù)上，對(duì)積分結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚韥順?gòu)造相應(yīng)變換下的不變量。本節(jié)給出了基于四元數(shù)的彩色圖像矩函數(shù)表達(dá)式。由于四元數(shù)乘法不滿足交換律，因此它有3種表達(dá)式。

設(shè)彩色圖像為f(x，y)，(m+n)階左四元數(shù)矩定義如下:

右四元數(shù)矩定義如下:

雙邊四元數(shù)矩定義如下:

其中，μ為任意單位純四元數(shù)，這里μ的取值為:

盡管四元數(shù)矩的表達(dá)式有3種，但在描述彩色圖像幾何形變的能力上是一樣的［17］。為了下文論述方便起見，本文中四元數(shù)矩是指左四元數(shù)矩。四元數(shù)矩的離散化形式如下:

3.2 基于四元數(shù)的仿射不變量

仿射變換由旋轉(zhuǎn)、尺度、剪切和平移變換構(gòu)成:

其中，α≠β，δ≠0。

接下來研究在上述4個(gè)變換下的不變量，最終實(shí)現(xiàn)仿射不變量的構(gòu)造。首先把式(9)變換到極坐標(biāo)系下:

設(shè)f(r，θ+φ)是原始彩色圖像f(r，θ)旋轉(zhuǎn) φ角度得到的，把f(r，θ+φ)帶入到式(15)中得到:

對(duì)式(16)兩端取范數(shù)，得:

式(17)表明，四元數(shù)矩函數(shù)的范數(shù)具有旋轉(zhuǎn)不變性。接下來利用二項(xiàng)式定理把式(15)的積分核展開:

其中:

Hp，q的形式與傳統(tǒng)的Hu矩一樣，惟一不同的是Hp，q中被積函數(shù)f(x，y)是四元數(shù)值函數(shù)，相應(yīng)地積分值也是四元數(shù)。這里利用文獻(xiàn)［18］中的歸一化方法來構(gòu)造Hp，q在尺度和剪切變換下的不變量。

對(duì)于剪切變換，x'=x+ δx，y'=y:

由上式知:

令H'1，1=0，可得，把它帶入式(19)中，可以得到具有剪切不變性的函數(shù):

對(duì)于尺度變換x'= αx，y'=βy，有:

接下來在式(21)和式(22)的基礎(chǔ)上構(gòu)造具有尺度不變性的矩函數(shù):

由式(23)得到如下方程組:解該方程組得:把式(25)帶入式(23)中得到具有剪切和尺度不變性的矩函數(shù):

平移不變性的獲取是通過把彩色圖像的坐標(biāo)原點(diǎn)平移到彩色圖像的重心實(shí)現(xiàn)的。最終，可以構(gòu)造出基于四元數(shù)矩的仿射不變量:

4 實(shí)驗(yàn)

圖1 仿射變換前后的8幅圖像Fig.1 Color images and their affine transformed versions

本節(jié)給出了四元數(shù)矩仿射不變量的數(shù)值結(jié)果，并與文獻(xiàn)［15］中所提出的彩色矩仿射不變量進(jìn)行對(duì)比。圖1中，第1幅圖像為原始圖像，其余7幅圖像是經(jīng)過仿射變換后的圖像，仿射變換的參數(shù)隨機(jī)選定。在圖像的下方有該圖像的尺寸參數(shù)。

利用式(27)計(jì)算各幅圖像的低階仿射不變矩，其結(jié)果見表1。表2是彩色矩仿射不變量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

F.Mindru等人對(duì)Hu矩進(jìn)行推廣，定義了彩色矩仿射不變量:

這里只列舉了該文獻(xiàn)中的兩個(gè)不變量，在表2中，各個(gè)不變量的具體表達(dá)式以及這方面更詳細(xì)的內(nèi)容可參見文獻(xiàn)［15］。

本文采用標(biāo)準(zhǔn)差與期望之比(σ/u)來對(duì)不變量的穩(wěn)定性進(jìn)行量化。由于標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了樣本偏離均值上下波動(dòng)的程度，σ相對(duì)于u越小，則說明樣本越穩(wěn)定。

對(duì)比表1和表2，本文所提出的不變量的σ/u值比彩色矩仿射不變量的穩(wěn)定性提高了2個(gè)數(shù)量級(jí)。文獻(xiàn)［15］中彩色矩的表達(dá)式對(duì)彩色圖像的RGB通道分別進(jìn)行了冪運(yùn)算處理。以彩色矩為基礎(chǔ)的不變量構(gòu)造還可能只涉及某一個(gè)或兩個(gè)通道的數(shù)據(jù)。本文所提出的四元數(shù)矩，彩色圖像以純四元數(shù)的形式參與運(yùn)算，并不涉及通道數(shù)據(jù)的冪運(yùn)算，數(shù)值穩(wěn)定性會(huì)高一些?？傊疚乃岢龅乃脑獢?shù)矩仿射不變量可以作為模式識(shí)別中彩色目標(biāo)的特征描述子。

表1 四元數(shù)矩仿射不變量Tab.1 Quaternion moment invariants

表2 彩色矩仿射不變量Tab.2 Color moment invariants

4 結(jié)論

本文把傳統(tǒng)灰度圖像的復(fù)數(shù)矩推廣到四元數(shù)層面，提出了四元數(shù)矩的定義，構(gòu)造了基于四元數(shù)

矩的彩色圖像仿射不變量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:本文所提出的不變量的穩(wěn)定性要優(yōu)于L.V.Gool等人提出的彩色矩仿射不變量［15］，其σ/u值提高了2個(gè)數(shù)量級(jí)。未來的工作主要是研究利用本文所提出的四元數(shù)矩不變量進(jìn)行彩色目標(biāo)識(shí)別。

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