如何尋求輔助問題以實(shí)現(xiàn)“化歸”

姜 健

（江蘇鹽城技師學(xué)院，江蘇 鹽城 224002）

如何尋求輔助問題以實(shí)現(xiàn)“化歸”

姜 健

（江蘇鹽城技師學(xué)院，江蘇 鹽城 224002）

在用“化歸方法”解題的過程中，構(gòu)造輔助問題是至關(guān)重要的，因?yàn)闆]有輔助問題，就不能將所給問題化為已經(jīng)解決的問題，所以這是實(shí)現(xiàn)“化歸”并最終解決問題的關(guān)鍵。

化歸方法；輔助問題；揭露差異；逆向轉(zhuǎn)化；突破創(chuàng)新

1 ．化而不歸

眾所周知，“化歸方法”是一種間接方法，當(dāng)所給問題直接下手較為困難時，即可構(gòu)造輔助問題將其化為已經(jīng)解決或較易解決的問題去處理。這就是所謂的“化歸”策略。在“化歸”的過程中，構(gòu)造輔助問題乃是實(shí)施“化歸”策略的關(guān)鍵，如果構(gòu)造不了相應(yīng)的輔助問題，那就不可能實(shí)現(xiàn)“化歸”。由于輔助問題并非明顯存在，且一般不易發(fā)現(xiàn)，故對大多數(shù)人來說，實(shí)施“化歸方法”并非易事，往往會遭遇“化而不歸”的尷尬。

例1 對于任意 x,y,z ∈ R ，試證：

直接從條件出發(fā)證明結(jié)論，幾乎是不可能的，為此，必須運(yùn)用“化歸”策略，將原有問題加以轉(zhuǎn)化。這就需要構(gòu)造出相應(yīng)的輔助問題，并借助輔助問題實(shí)現(xiàn)“化歸”。但是，我們卻不知其相應(yīng)的輔助問題是什么，更不知從何下手去構(gòu)造該輔助問題，所以只能是想“化”而“化不了”，即“化而不歸”。

由此可知，“化歸方法”雖好，但如不能解決如何有效地尋求輔助問題的話，那么這種方法就只能是徒有虛名而沒有什么實(shí)際作用。正因?yàn)槿绱?，所以尋求?gòu)造輔助問題的有效途徑，從根本上解決“化而不歸”的問題就成了我們的迫切任務(wù)。

2 ．突破創(chuàng)新

數(shù)學(xué)問題中存在著各種差異，這種差異就是條件與條件、條件與結(jié)論之間的不同點(diǎn)。而數(shù)學(xué)解題的過程，就是消除條件與條件、條件與結(jié)論之間的各種差異，并將條件轉(zhuǎn)化為結(jié)論的過程。由于差異就是矛盾，所以這個過程就是一種矛盾轉(zhuǎn)化的過程。而矛盾轉(zhuǎn)化是有其客觀規(guī)律的，即矛盾雙方在一定條件下各自向其對立面轉(zhuǎn)化，直到與對立面化同。《數(shù)學(xué)解題通論》中，正是以此轉(zhuǎn)化規(guī)律為指導(dǎo)，提出了“揭露差異——逆向轉(zhuǎn)化”的解題策略，從而有效地解決了尋求輔助問題的難題。

所謂“揭露差異”，就是將所給問題中條件與條件、條件與結(jié)論間的差異揭露出來。如“已知”與“未知”的差異、“一般”與“特殊”的差異、“整體”與“局部”的差異、“有限”與“無限”的差異、“運(yùn)動”與“靜止”的差異、“數(shù)”與“形”的差異、“多”與“少”的差異、“曲”與“直”的差異、“高”與“低”的差異等。

所謂“逆向轉(zhuǎn)化”，就是讓上述差異的雙方各自向其對立面轉(zhuǎn)化，如化“已知”為“未知”，化“未知”為“已知”；或化“一般”為“特殊”，化“特殊”為“一般”；以及化“動”為“靜”，化“靜”為“動”；或化“數(shù)”為“形”，化“形”為“數(shù)”等等。借助這些“逆向轉(zhuǎn)化”，即可順其自然地找到相應(yīng)的輔助問題。下面我們運(yùn)用這個方法來尋求輔助問題并借其解題。請看對例1的證明：

首先“揭露差異”：觀察原問題，發(fā)現(xiàn)結(jié)論為不等式，其對立面為等式（或方程），所以本題存在著“等”與“不等”的差異。因此，證明本題可以采取如下的矛盾轉(zhuǎn)化：“化不等為相等”及“化相等為不等”。

首先“化不等為相等”，即設(shè)法將不等式（1）轉(zhuǎn)化為等式。由于x,y,z為未知數(shù)，因此這種等式即為方程。由于不等式（1）形似一元二次方程根的判別式，故可聯(lián)想到構(gòu)造一元二次方程。

由此便實(shí)現(xiàn)了“化不等為相等”。

這就是所需構(gòu)造的輔助問題，下面我們將借其完成證明。為此，尚需“逆向轉(zhuǎn)化”，即“化相等為不等”。

∵方程（2）的系數(shù)和為

∴方程（2）有實(shí)根1.

又∵ x,y,z∈ R，∴方程（2）的系數(shù)為實(shí)數(shù)，

∴方程（2）的判別式為非負(fù)，即

于是又“化相等為不等”。

若x(x +y +z)=0，則不等式（1）顯然成立。

從而原不等式得證。

這樣，借助于“等”與“不等”的轉(zhuǎn)換，我們就在不知不覺中找到了輔助問題——方程（2），它是條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，通過它的橋梁作用即可順利導(dǎo)致證明。

從以上的證明過程中不難看出，我們是在矛盾分析與矛盾轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上完成證明的，是按照矛盾轉(zhuǎn)化的規(guī)律辦事的。證明過程循序漸進(jìn)、和諧自然，沒有人為雕琢的痕跡。以例1為例，我們沒有執(zhí)意將結(jié)論式的左端配成平方，而是在矛盾分析后，先化不等式為等式，并由此得到啟發(fā)，構(gòu)造出相應(yīng)的輔助方程（2），然后再“逆向轉(zhuǎn)化”，化等式為不等式，即將方程（2）轉(zhuǎn)化為不等式，為此只需利用一元二次方程有實(shí)根的條件，即可證明不等式（1）。

盡管在構(gòu)造輔助方程（2）時少不了用到個人的一些直覺與經(jīng)驗(yàn)，但因是根據(jù)客觀規(guī)律辦事，所以能夠有所遵循，并不需要盲目探索。事實(shí)上，在“化不等為相等”的啟發(fā)下，自然會想到構(gòu)造一個等式，這里即是方程；而根據(jù)不等式的特點(diǎn)，也只能想到構(gòu)造相應(yīng)的一元二次方程。不過這個方程究竟如何構(gòu)造，則是需要有一點(diǎn)聰明才智的，其中的關(guān)鍵就是方程（2）根的判別式應(yīng)與結(jié)論式一致，且各項(xiàng)系數(shù)的和必須為零，這樣才能使其有實(shí)根1，才能確保判別式非負(fù)，從而導(dǎo)致結(jié)論的證明。所以此法雖然不依賴于個人的聰明才智，但也不完全排除個人才智的作用。

3 ．原理淺析

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，尋求條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系是至關(guān)重要的，因?yàn)樗菍?shí)現(xiàn)條件向結(jié)論轉(zhuǎn)化的橋梁，也是構(gòu)造輔助問題的基礎(chǔ)。而“揭露差異——逆向轉(zhuǎn)化”則有助于揭示這種聯(lián)系。

在數(shù)學(xué)問題中，差異乃是表象，而內(nèi)在聯(lián)系則是本質(zhì)。由于本質(zhì)常被表象所掩蓋，因此如果用形而上學(xué)的觀點(diǎn)去看問題，就很難發(fā)現(xiàn)這種本質(zhì)聯(lián)系，這就是我們難以找到輔助問題的原因。

但如采取“揭露差異——逆向轉(zhuǎn)化”的做法，那就不是用形而上學(xué)而是用唯物辯證的觀點(diǎn)去處看待數(shù)學(xué)問題了。由于“揭露差異——逆向轉(zhuǎn)化”破壞了原有的數(shù)學(xué)問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，使得差異與聯(lián)系發(fā)生轉(zhuǎn)化，從而消除了表象對本質(zhì)的掩蓋，將內(nèi)在聯(lián)系充分地暴露出來。這就是為什么能夠較易找到輔助問題并較易解決問題的原因。

不難看出，遵循這種做法，就能使我們有章可循、有法可依，從而克服盲目性，提高自覺性，提高解題效率。這是一種全新的數(shù)學(xué)解題模式。它不僅適用于才智較高的學(xué)生，而且也適用于才智一般的學(xué)生，因此不僅適用于精英教育，而且更適用于大眾教育。在提倡素質(zhì)教育與大眾教育的今天，我們就應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中大力推廣這種方法，以便全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與解決問題能力。

[1] 顧越嶺. 數(shù)學(xué)解題通論[M]. 廣西教育出版社，2000.

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1008-7427（2011）06-0126-01

2011-03-23

作者系江蘇鹽城技師學(xué)院高級講師。