• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

      凝聚環(huán)的擴(kuò)展研究

      2011-10-25 10:17:40張金羽
      唐山師范學(xué)院學(xué)報 2011年2期
      關(guān)鍵詞:子模環(huán)上等價

      張金羽

      (河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450052)

      定義1設(shè)A為左R-模,若A為f.g.的,且A的每個f.g.子模為f.p.的,則稱模A為凝聚模。

      定義2設(shè)R為環(huán),若R作為左R-模為凝聚的,則稱R為左凝聚環(huán)。

      類似地,可定義右凝聚環(huán)。

      定義3令∏=∏RR為任意個RR的積,若∏的每個f.g.子模為f.p.的,則稱環(huán)R為左Π-凝聚環(huán)。

      類似地,可定義右Π-凝聚環(huán)。

      定義4設(shè)R為環(huán),令⊕=⊕RR為任意個RR的上積,若⊕的每個有限生成子模為有限表現(xiàn)的,即任一自由模的每個f.g.子模為f.p.的,則稱R為左弱∏-凝聚環(huán)。

      類似地,可定義右弱Π-凝聚環(huán)。

      顯然,Π-凝聚環(huán)為弱Π-凝聚環(huán),而弱Π-凝聚環(huán)為凝聚環(huán)。

      定義5一個模A稱為弱余生成的是指它可嵌入一個自由模中,即有正合列0→A→RR(I),其中I為任意集合。

      定理1設(shè)R為環(huán),則下列陳述等價:

      (1)R為左弱Π-凝聚環(huán);

      (2)每個f.g.弱余生成的左R-模為f.p.的。

      證明(1)?(2)。設(shè)A為 f.g.弱余生成的左 R-模,即有正合列,從而A為⊕RR的f.g.子模,由左弱Π-凝聚環(huán)的定義,有A為f.p.的。

      (2)?(1)。設(shè)A為⊕RR的f.g.子模,即A為弱余生成的,從而A為f.p.的,故R為左弱Π-凝聚環(huán)。

      凝聚環(huán)和凝聚環(huán)上f.p.模的性質(zhì),對于弱Π-凝聚環(huán)和弱Π-凝聚環(huán)上的f.g.弱余生成模也成立。

      命題1 設(shè)R為交換弱Π-凝聚環(huán),若A和B為f.g.弱余生成R-模,則HomR(A,B)為f.g.弱余生成的。

      證明因A為f.g.弱余生成R-模,由定理1可知,A為f.p.的,從而有R-模的正合列

      其中 F1,F(xiàn)0為 f.g.自由模,由于函子 HomR( -, B)為左正合反變函子,故有正合列

      由正合列

      其中 HomR(F0,B )。Imφ*為 f.g.的,從而 HomR(A ,B)為f.g.的,而 HomR(F0,B)為弱余生成的, HomR(A,B)為它的子模,故 HomR(A,B )為f.g.弱余生成的。

      命題2設(shè)R為交換弱∏-凝聚環(huán),若A,B為f.g.弱余生成R-模,則和為f.g.的。

      證明因A為f.g.弱余生成R-模,R為弱Π-凝聚環(huán),故A為f.p.的,從而有R-模的正合列

      其中每個Fi為f.g.自由模。

      從而有復(fù)形

      B為f.g.弱余生成的,故 B(m)為f.g.弱余生成的,即為f.g.弱余生成模,又 R為弱Π-凝聚環(huán),從而為 f.p.的,?i≥0考慮正合列

      命題 3設(shè) R為左弱Π-凝聚環(huán),A為 f.g.弱余生成左R-模,n(≥-1)為整數(shù),則下列陳述等價:

      證明(1)?(2)顯然。

      (1)?(2)。對結(jié)論(2)采用數(shù)學(xué)歸納法證明。

      若 n=-1,由(2)有 HomR(A ,B) = 0,其中B為任意f.g.弱余生成左R-模,故 HomR(A ,A) = 0,從而有A=0,所以l.P dRA=-1。

      若n=0,顯然A為f.p.的,故有R-模的正合列

      其中F為f.g.自由模,k為f.g.弱余生成左R-模,因此由(2)及上同調(diào)長正合列定理有正合列

      若n≥1,類似地,有正合列

      而F為自由模,B為f.g.弱余生成模,故

      由歸納法假設(shè)有

      另由正合列

      可知 l. PdRA ≤ n.證畢。

      定義6 設(shè)R為環(huán),若對任意f.p.左R-模A都有

      定理2環(huán)R為左弱FP-內(nèi)射環(huán)?每個f.p.右R-模為弱余生成的。

      推論1設(shè)R為左弱∏-凝聚,左弱FP-內(nèi)射環(huán),A為任意f.g.弱余生成左R模,則下列陳述等價:

      (1) l.P dRA ≤ n ;

      證明(1)?(2)。由于左弱Π-凝聚環(huán)R上f.g.弱余生成左 R-模為 f.p.的,從而由凝聚環(huán)的性質(zhì)有l(wèi).fdRA=l.P dRA,故當(dāng) l. PdRA ≤ n 時,必有,對

      知R/I為 f.p.的,從而由定理 2知R/I為 f.g.弱余生成右R-模,故由(2)又有

      (2)?(1)。對任意f.g.右理想,由正合列

      猜你喜歡
      子模環(huán)上等價
      素*-環(huán)上可乘混合斜Lie(Jordan)導(dǎo)子的可加性
      τ-C11模的直和分解*
      幾乎經(jīng)典素子模
      n次自然數(shù)冪和的一個等價無窮大
      中文信息(2017年12期)2018-01-27 08:22:58
      交換環(huán)上四階反對稱矩陣?yán)畲鷶?shù)的BZ導(dǎo)子
      取繩子
      收斂的非線性迭代數(shù)列xn+1=g(xn)的等價數(shù)列
      投射可遷環(huán)上矩陣環(huán)的若當(dāng)同態(tài)
      極小素子模及其拓?fù)湫再|(zhì)
      環(huán)Fpm+uFpm+…+uk-1Fpm上常循環(huán)碼的等價性
      石柱| 宾阳县| 利辛县| 汉阴县| 岑巩县| 中山市| 高安市| 北辰区| 阜新| 清原| 呼玛县| 洛阳市| 双桥区| 阿拉善右旗| 龙山县| 府谷县| 托克托县| 宁海县| 龙泉市| 光泽县| 厦门市| 德兴市| 汝州市| 鞍山市| 准格尔旗| 乌苏市| 灵山县| 稻城县| 武清区| 普定县| 娱乐| 东莞市| 荥经县| 岳池县| 通榆县| 崇信县| 高邑县| 濉溪县| 正阳县| 孟村| 阿克苏市|