張金羽
(河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450052)
定義1設(shè)A為左R-模,若A為f.g.的,且A的每個f.g.子模為f.p.的,則稱模A為凝聚模。
定義2設(shè)R為環(huán),若R作為左R-模為凝聚的,則稱R為左凝聚環(huán)。
類似地,可定義右凝聚環(huán)。
定義3令∏=∏RR為任意個RR的積,若∏的每個f.g.子模為f.p.的,則稱環(huán)R為左Π-凝聚環(huán)。
類似地,可定義右Π-凝聚環(huán)。
定義4設(shè)R為環(huán),令⊕=⊕RR為任意個RR的上積,若⊕的每個有限生成子模為有限表現(xiàn)的,即任一自由模的每個f.g.子模為f.p.的,則稱R為左弱∏-凝聚環(huán)。
類似地,可定義右弱Π-凝聚環(huán)。
顯然,Π-凝聚環(huán)為弱Π-凝聚環(huán),而弱Π-凝聚環(huán)為凝聚環(huán)。
定義5一個模A稱為弱余生成的是指它可嵌入一個自由模中,即有正合列0→A→RR(I),其中I為任意集合。
定理1設(shè)R為環(huán),則下列陳述等價:
(1)R為左弱Π-凝聚環(huán);
(2)每個f.g.弱余生成的左R-模為f.p.的。
證明(1)?(2)。設(shè)A為 f.g.弱余生成的左 R-模,即有正合列,從而A為⊕RR的f.g.子模,由左弱Π-凝聚環(huán)的定義,有A為f.p.的。
(2)?(1)。設(shè)A為⊕RR的f.g.子模,即A為弱余生成的,從而A為f.p.的,故R為左弱Π-凝聚環(huán)。
凝聚環(huán)和凝聚環(huán)上f.p.模的性質(zhì),對于弱Π-凝聚環(huán)和弱Π-凝聚環(huán)上的f.g.弱余生成模也成立。
命題1 設(shè)R為交換弱Π-凝聚環(huán),若A和B為f.g.弱余生成R-模,則HomR(A,B)為f.g.弱余生成的。
證明因A為f.g.弱余生成R-模,由定理1可知,A為f.p.的,從而有R-模的正合列
其中 F1,F(xiàn)0為 f.g.自由模,由于函子 HomR( -, B)為左正合反變函子,故有正合列
而
由正合列
其中 HomR(F0,B )。Imφ*為 f.g.的,從而 HomR(A ,B)為f.g.的,而 HomR(F0,B)為弱余生成的, HomR(A,B)為它的子模,故 HomR(A,B )為f.g.弱余生成的。
命題2設(shè)R為交換弱∏-凝聚環(huán),若A,B為f.g.弱余生成R-模,則和為f.g.的。
證明因A為f.g.弱余生成R-模,R為弱Π-凝聚環(huán),故A為f.p.的,從而有R-模的正合列
其中每個Fi為f.g.自由模。
從而有復(fù)形
故
因
B為f.g.弱余生成的,故 B(m)為f.g.弱余生成的,即為f.g.弱余生成模,又 R為弱Π-凝聚環(huán),從而為 f.p.的,?i≥0考慮正合列
命題 3設(shè) R為左弱Π-凝聚環(huán),A為 f.g.弱余生成左R-模,n(≥-1)為整數(shù),則下列陳述等價:
證明(1)?(2)顯然。
(1)?(2)。對結(jié)論(2)采用數(shù)學(xué)歸納法證明。
若 n=-1,由(2)有 HomR(A ,B) = 0,其中B為任意f.g.弱余生成左R-模,故 HomR(A ,A) = 0,從而有A=0,所以l.P dRA=-1。
若n=0,顯然A為f.p.的,故有R-模的正合列
其中F為f.g.自由模,k為f.g.弱余生成左R-模,因此由(2)及上同調(diào)長正合列定理有正合列
若n≥1,類似地,有正合列
而F為自由模,B為f.g.弱余生成模,故
由歸納法假設(shè)有
另由正合列
可知 l. PdRA ≤ n.證畢。
定義6 設(shè)R為環(huán),若對任意f.p.左R-模A都有
定理2環(huán)R為左弱FP-內(nèi)射環(huán)?每個f.p.右R-模為弱余生成的。
推論1設(shè)R為左弱∏-凝聚,左弱FP-內(nèi)射環(huán),A為任意f.g.弱余生成左R模,則下列陳述等價:
(1) l.P dRA ≤ n ;
證明(1)?(2)。由于左弱Π-凝聚環(huán)R上f.g.弱余生成左 R-模為 f.p.的,從而由凝聚環(huán)的性質(zhì)有l(wèi).fdRA=l.P dRA,故當(dāng) l. PdRA ≤ n 時,必有,對
知R/I為 f.p.的,從而由定理 2知R/I為 f.g.弱余生成右R-模,故由(2)又有
(2)?(1)。對任意f.g.右理想,由正合列