基于牛頓迭代搜索法的多節(jié)點(diǎn)協(xié)同振源定位研究*

朱亞坤，馮立杰

(1.武警工程學(xué)院研究生管理大隊(duì)，西安 710086;2.武警工程學(xué)院通信工程系，西安 710086)

多節(jié)點(diǎn)協(xié)同振源定位技術(shù)無(wú)論是在橋梁監(jiān)控、倉(cāng)庫(kù)監(jiān)視、環(huán)境監(jiān)測(cè)，還是在軍事上對(duì)哨位監(jiān)視、戰(zhàn)場(chǎng)探測(cè)等方面有著廣泛的應(yīng)用。近年來(lái)，由于時(shí)差測(cè)量技術(shù)和精度的不斷提高，基于到達(dá)時(shí)間差(Time difference of arrival，TDOA)的目標(biāo)定位技術(shù)成為該領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一，產(chǎn)生了豐富多樣的定位算法。受應(yīng)用環(huán)境和系統(tǒng)復(fù)雜度等因素的影響，采用多節(jié)點(diǎn)協(xié)同定位對(duì)二維空間的目標(biāo)進(jìn)行定位更為適宜，如人跡罕至惡劣條件的邊遠(yuǎn)地區(qū)邊境巡邏的被動(dòng)定位等。目前研究較多的是特殊平面陣列(如十字陣、五元陣)的目標(biāo)定位技術(shù)［1］，本文對(duì)傳感器陣列的牛頓迭代協(xié)同定位進(jìn)行研究。目標(biāo)定位算法通過(guò)求解一組以各傳感器為焦點(diǎn)的雙曲線方程(即TDOA方程)獲得目標(biāo)空間坐標(biāo)的估計(jì)［2］。由于TDOA估計(jì)誤差無(wú)法避免，如何提高定位精度是定位技術(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵。本文通過(guò)引入灰色關(guān)聯(lián)的概念建立了多傳感器節(jié)點(diǎn)協(xié)同定位的模型，其次討論了多節(jié)點(diǎn)協(xié)同定位的原理與算法，最后將該算法與平均加權(quán)算法［3］和最小二乘法［4］進(jìn)行仿真比較。

1 灰色關(guān)聯(lián)

圖1 多節(jié)點(diǎn)協(xié)同定位模型

在多節(jié)點(diǎn)協(xié)同定位中(如圖1)，對(duì)來(lái)自于同一目標(biāo)的振源信號(hào)先進(jìn)行相關(guān)分析是很重要的。實(shí)際經(jīng)驗(yàn)已表明，對(duì)相同的振源，采集的不同的傳感器節(jié)點(diǎn)信號(hào)在同一時(shí)間內(nèi)特征參數(shù)(如頻率、過(guò)零率、振幅，頻譜密度等)具有很大的相似性。所以，對(duì)采集的各節(jié)點(diǎn)信號(hào)某些特征參數(shù)，按振源信號(hào)類(lèi)內(nèi)相似性盡量大、類(lèi)間相似性盡量小的準(zhǔn)則［5］加以相關(guān)處理。由于灰色關(guān)聯(lián)度的基本思想是根據(jù)曲線間相似程度來(lái)判斷因素間的關(guān)聯(lián)程度的，這里采用灰色系統(tǒng)理論的絕對(duì)關(guān)聯(lián)度定義和性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

假設(shè)X0=(x0(1)，x0(2)，x0(3)，…，x0(n))為參考節(jié)點(diǎn)的收到的振源信號(hào)特征序列(即，為要定位的振源信號(hào)特征序列，x0(k)(k=1，2，3，…，n)為該振源信號(hào)所對(duì)應(yīng)的特征參數(shù)，如頻率、過(guò)零率、振幅，頻譜密度等)，Xi=(xi(1)，xi(2)，xi(3)，…，xi(n))，i=1，2，3，…，m為某節(jié)點(diǎn)協(xié)同定位的與之比較的振源信號(hào)特征序列(以上序列均歸一化)，則X0與Xi的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度定義為［6］:

于是 ζ0i(i=1，2，3，…，m)中的最大值所對(duì)應(yīng)的信號(hào)，既是要定位的振源信號(hào).

2 定位原理

對(duì)振源進(jìn)行定位，實(shí)質(zhì)上是一種無(wú)源定位技術(shù)，采用多站測(cè)向交叉的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)振源的定位［7］。振源定位系統(tǒng)每個(gè)接收基陣的若干個(gè)(4個(gè)以上)接收傳感器陣元按某種幾何關(guān)系進(jìn)行布陣。由于各接收傳感器無(wú)法得到信源發(fā)出信號(hào)的時(shí)刻，它們難以實(shí)現(xiàn)時(shí)間同步，只能利用信號(hào)到達(dá)N個(gè)接收傳感器之間的時(shí)延差，建立雙曲面交匯模型來(lái)求解振源位置［8］。

建立了一個(gè)以特定基點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)的二維坐標(biāo)系。設(shè)已知N個(gè)接收傳感器在此坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為Ci(xi，yi)(i=1，2，…N)，振源到N個(gè)接收傳感器的距離值為ri(i=1，2，…N)，振源定位示意圖如圖2。假定振源發(fā)出信號(hào)的傳播速度為常數(shù)c，τi1表示振源到第i個(gè)接收傳感器與到第1個(gè)接收傳感器之間的時(shí)間差，ri1表示信源到第i個(gè)接收傳感器與到第1個(gè)接收傳感器之間的距離差。

圖2 振源定位示意圖

則可建立N－1個(gè)定位方程為:

求解上述方程組等價(jià)于非線性最優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)改進(jìn)算法可以得到最優(yōu)解。

3 定位算法

牛頓迭代法具有收斂速度快的特性，在滿(mǎn)足一定定位精度的條件下，可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間，但是牛頓迭代法是否收斂及其收斂速度與初始值的選擇有關(guān)，解決好初始值的問(wèn)題是保證牛頓迭代法良好性能的前提條件［9］。而最小二乘法具有很好的估計(jì)特性，但受測(cè)量誤差的影響較大，使用最小二乘法進(jìn)行定位解算會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，難以滿(mǎn)足定位精度的要求?；趦煞N算法的優(yōu)缺點(diǎn)，將最小二乘法的得到的估計(jì)值作為牛頓迭代算法的初始值進(jìn)行迭代計(jì)算，可以很好地實(shí)現(xiàn)算法的優(yōu)化。根據(jù)牛頓迭代搜索法的條件，從N－1個(gè)方程中選出前2個(gè)建立如下方程組:

其雅可比矩陣為:

當(dāng)雅可比矩陣為非奇異陣時(shí)，［f'(x，y)］－1存在，則必滿(mǎn)足det(f')≠0，具體表示為:如果滿(mǎn)足上述條件，則振源的位置利用牛頓迭代法可表示為［10］:

由上述表達(dá)式可知，要得到振源的精確位置，需要設(shè)定合適的初值(x(0)，y(0))，才能保證算法是否收斂及其收斂速度。

由前面的分析可知，為了解決信源初始值的選定問(wèn)題，可以充分利用最小二乘法的估計(jì)結(jié)果，作為牛頓迭代法的初始值。根據(jù)文獻(xiàn)［4］的推導(dǎo)結(jié)果，可以得到如下線性方程組:

將方程組(14)轉(zhuǎn)化成矩陣型式為［11］:

利用最小二乘法得到估計(jì)解:

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的性能，對(duì)此算法與平均加權(quán)法和最小二乘法法進(jìn)行了仿真，比較三者的統(tǒng)計(jì)特性，這里的估計(jì)器都是有偏估計(jì)器，其性能評(píng)價(jià)準(zhǔn)則一般采用均方根誤差(RMS)，即

式中:α為樣本估計(jì)偏差;β為樣本標(biāo)準(zhǔn)方差。本文將使用Monte-Carlo方法比較三種算法的樣本偏差、樣本標(biāo)準(zhǔn)方差和均方根誤差。仿真中采用5個(gè)傳感器組成的半徑為10 m的平面圓陣，建立坐標(biāo)系如圖3所示。

設(shè)振動(dòng)傳播的速度c=140 m/s，TDOA測(cè)量值由真實(shí)的TDOA值加上零均值，方差為σrms的白噪聲序列得到。這里設(shè)σrms=0.05 m，那么TDOA測(cè)量誤差的方差 σrms/c為357 μs。

圖3 五元十字陣傳感器陣列和目標(biāo)的關(guān)系

五元十字陣可以看作是8個(gè)等腰直角三角陣和兩個(gè)線形振的組合。

對(duì)于等腰直角三角形定位算法，可知:

對(duì)于線性振定位算法，可知:

令此算法為算法1，平均加權(quán)法為算法2，最小二乘法為算法3。

目標(biāo)方位角Φ=π/4，陣源L距原點(diǎn)的距離為r從20 m到100 m的范圍變化。對(duì)近場(chǎng)目標(biāo)，目標(biāo)到原點(diǎn)的距離r從20 m到100 m之間變化時(shí)，定位誤差曲線如圖4所示。

在r=50 m時(shí)，Φ的誤差如圖5所示。

圖4 偏角固定的近場(chǎng)目標(biāo)定位誤差

圖5 距離固定的近場(chǎng)目標(biāo)定向誤差

從圖4圖5可以看出，對(duì)近場(chǎng)目標(biāo)，通過(guò)算法1的樣本定位精度提高了3～10倍。算法1曲線較平穩(wěn)，在抑制標(biāo)準(zhǔn)方差上性能最佳，抑噪性能最優(yōu)。

以目標(biāo)到原點(diǎn)的距離大于陣列孔徑10倍作為遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)。對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)，設(shè)Φ=π/6，定位誤差曲線如圖6所示。

圖6 偏角固定的遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)定位誤差

圖7 距離固定的遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)定向誤差

由圖6可以看出，對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)，各算法樣本偏差差別較大。算法1在樣本標(biāo)準(zhǔn)方差上性能明顯優(yōu)于算法2，3，從而r的均方根誤差最小。此外，通過(guò)仿真也可以看出使用平面陣對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位，隨著目標(biāo)距離增大，目標(biāo)定位誤差也隨之增加。

由圖7可以看出，在遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)，算法1的目標(biāo)定向的精度比算法2高出近4倍，比算法3高出近10倍，在r=200時(shí)，算法1的定向誤差范圍是2 m，算法2的定向范圍誤差是4 m，算法3的定向誤差范圍是6 m。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文解決了牛頓迭代法的初始值問(wèn)題，避免了人為設(shè)定初始值造成牛頓迭代算法的不收斂，實(shí)現(xiàn)了算法的優(yōu)化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，牛頓迭代定位算法具有良好的收斂性能，文中提出的算法對(duì)于提高協(xié)同定位精度是有效的。算法對(duì)近、遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)定位性能均優(yōu)于傳統(tǒng)的最小二乘法和平均加權(quán)法，改善了TDOA測(cè)量誤差對(duì)目標(biāo)定位精度的影響。

［1］郅熙彪，王位策，劉強(qiáng)，等.正三角震動(dòng)陣列對(duì)地面目標(biāo)定位研究［J］.探測(cè)與控制學(xué)報(bào)，2006，08(4):27－29.

［2］SCHAU H C，ROBINSON A Z.Passive Source Location Employing Intersecting Spherical Surfaces from Time-of-Arrival Difference［J］.IEEE Transon Acoustic，Speech，and Signal Processing.1987.ASSP－35(1):1223－1225.

［3］孫勇，景博，張吉力.最優(yōu)加權(quán)與遞推最小二乘法相結(jié)合的多傳感器信息融合［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2004，17(12):630－632，654.

［4］劉利軍，韓焱.基于最小二乘法的牛頓迭代信源定位算法［J］.導(dǎo)彈與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2006，26(3):325－328.

［5］Harwig D，Lin S Y.Proc 6th Int Conf Trends in Welding Reserch［R］.Material Park，OH:ASM，international，2003:995.

［6］Smith J，Abel S.Closed-Form Least-Squares Source Location Estimation from Range-Difference［J］.IEEE Trans Acoust，Speech，Signal Processing，1987，35(12):1661－1669.

［7］Friedlander B.A Passive Localization Algorithm Andits Accuracy Analysis［J］.IEEE J Ocean Eng，1987，12(1):234－245.

［8］Fang B T.Simple Solutions for Hyperbolic and Relatedposition Fixes［J］.IEEE Trans Aerosp Eletron Syst，1990，26(9):748－753.

［9］Schau H C，Robinson.Passive Source Localization Employing Intersecting Spherical Surfaces from Time-of-Arrival Differences［J］.IEEE Trans Acoust，Speech，Signal Processing，1987，35(8):1223－1225.

［10］DING F，CHEN T.Identification of Multivariable Systems Based on Finite Impulse Response Models with Flexible Orders［C］//Proceeding of the IEEE International Conference on Mechatronics＆Automation Niagara Falls.Piscataway:IEEE，2005:770－775.

［11］羅慶生，韓寶玲.一種基于超聲波與紅外線探測(cè)技術(shù)的測(cè)距定位系統(tǒng)［J］.計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2005，13(4):304－306.