導(dǎo)體尖端周圍電勢分布的有限差分法研究

伊厚會，吳新華，姚延立

（1.濱州學(xué)院 理論物理研究所，山東 濱州 256603；2.濱州學(xué)院 物理與電子科學(xué)系，山東 濱州 256603）

導(dǎo)體尖端周圍電勢分布的有限差分法研究

伊厚會1，吳新華2，姚延立2

（1.濱州學(xué)院 理論物理研究所，山東 濱州 256603；2.濱州學(xué)院 物理與電子科學(xué)系，山東 濱州 256603）

有限差分法是對電磁場進(jìn)行數(shù)值求解的重要方法.基于有限差分法的基本原理，計(jì)算了導(dǎo)體尖端周圍的空間電勢分布和局部的電場強(qiáng)度并討論了它們和尖端角度的關(guān)系.本文對于理解電勢的概念、尖端放電問題以及電場的具體應(yīng)用起到很好的幫助.研究對數(shù)值計(jì)算電磁場的本科教學(xué)和編程實(shí)現(xiàn)有一定的參考意義.

電場；有限差分法；導(dǎo)體尖端

1 引言

自麥克斯韋方程組提出以來，各種用于計(jì)算電磁場問題的解析手段被廣泛應(yīng)用并逐漸形成了許多系統(tǒng)而規(guī)范的計(jì)算方法，如分離變量法、電像法、復(fù)變函數(shù)法、格林函數(shù)法等[1-3].解析法計(jì)算電磁場雖然能求出精確解，但具有很大局限性，求解區(qū)域要求規(guī)則，對每個(gè)問題都需單獨(dú)進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算.而對于實(shí)際情況下的電磁場問題，由于結(jié)構(gòu)、邊界復(fù)雜，要求它的解析解并非易事，而且在絕大多數(shù)情況下都是無法求解的，只能用近似的解析計(jì)算方法或電場數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算，或用電場的實(shí)際測量或模擬測量技術(shù)測得.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各種用于電磁場數(shù)值計(jì)算的方法也得到了相應(yīng)的發(fā)展[4-6].數(shù)值計(jì)算方法借鑒了數(shù)學(xué)中偏微分方程數(shù)值解法及力學(xué)中的數(shù)值分析法，從數(shù)值分析角度求解電磁場，以期獲得滿足工程精度要求的近似解.有限差分法是一種數(shù)值解法，它將場域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并用有限差分方程近似地替代偏微分方程，然后引入所研究的特定問題的邊界條件求解差分方程，得到電勢的數(shù)值解，進(jìn)而求得電場[4-6].

本文基于有限差分法的基本原理，計(jì)算了導(dǎo)體尖端周圍的空間電勢分布和局部的電場強(qiáng)度，并討論了它們和導(dǎo)體尖端角度的對應(yīng)關(guān)系.研究對于本科教學(xué)理解電勢的概念、尖端放電問題以及電場的實(shí)際應(yīng)用起到很好的幫助.

2 有限差分法簡介

對于給定的邊值問題，應(yīng)用差分法把所研究的區(qū)域，離散化為很多網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn).對任一節(jié)點(diǎn)用差商代替微商，從而把所研究區(qū)域的偏微分方程變?yōu)楦鱾€(gè)節(jié)點(diǎn)上的差分方程組，則求場的微分方程的解就變?yōu)榍舐?lián)立差分方程組解的問題.

差分法求解該靜態(tài)場問題的過程：首先需從網(wǎng)格劃分著手決定離散點(diǎn)的分布方式，這里采用正方形網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)配置，從而在每個(gè)離散點(diǎn)上可得出相同形式的差分方程，有效地提高解題速度.然后按差分、差商的定義，采用泰勒級數(shù)展開法進(jìn)行差分離散化，推導(dǎo)出相應(yīng)的差分方程.由二維場拉氏方程的差分形式可得，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)（i，j）處的電勢滿足方程:

進(jìn)而可以通過迭代法在誤差允許的范圍內(nèi)精確求解電勢.根據(jù)電勢和電場強(qiáng)度的關(guān)系E軑=-塄覬，可以計(jì)算研究區(qū)域任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度.

3 結(jié)果和討論

圖1是模擬計(jì)算導(dǎo)體尖端處電勢分布的二維示意圖.研究區(qū)域的長度L為500，寬度D為200；計(jì)算區(qū)域右邊界中心處有向內(nèi)凹陷的尖端，尖端的形狀為等腰三角形，深度h=20，角度為θ.研究區(qū)域的左邊界電勢為1，右邊界電勢為0，其上下邊界的電勢由左向右依次降低.數(shù)值計(jì)算的迭代次數(shù)為100000時(shí)電場穩(wěn)定，開始分析研究區(qū)域的電勢分布和局部電場強(qiáng)度.

圖2 導(dǎo)體尖端角度θ為30°，60°，90°，120°時(shí)的電勢分布圖

圖3 導(dǎo)體尖端頂點(diǎn)A處相對電場強(qiáng)度和角度θ之間的關(guān)系

圖2是尖端頂角θ為30°，60°，90°，120°時(shí)金屬導(dǎo)體周圍的電勢分布圖，由圖可知，尖端金屬導(dǎo)體對電勢的影響在其頂尖處和底部更加明顯.由于尖端的存在并且尖端的表面是等勢面，電勢分布隨尖端形狀做不同程度的彎曲.圖3給出了在導(dǎo)體尖端外A點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小和尖端角度θ的關(guān)系.在計(jì)算中定義電場強(qiáng)度的相對量E/E0，其中E0為無尖端時(shí)A點(diǎn)的電場強(qiáng)度（即兩平行板間的電場強(qiáng)度），E為在尖端頂尖外A點(diǎn)的電場強(qiáng)度.計(jì)算結(jié)果表明，隨著尖端角度的減少，尖端頂尖外A點(diǎn)的電場強(qiáng)度增加.當(dāng)劈尖角度θ=30°時(shí)，A點(diǎn)的電場強(qiáng)度是無尖端時(shí)該點(diǎn)的電場強(qiáng)度三倍多.計(jì)算結(jié)果能很好的解釋尖端放電的原因.圖4給出了在尖端底端凹陷處B點(diǎn)相對電場強(qiáng)度的大小和角度α的關(guān)系，B點(diǎn)相對電場強(qiáng)度的定義和A點(diǎn)相同.計(jì)算發(fā)現(xiàn)，凹陷處B點(diǎn)的電場強(qiáng)度小于兩平行板間的電場強(qiáng)度并且電場強(qiáng)度E/E0隨角度α的增加而增大.根據(jù)電荷密度和電場強(qiáng)度的關(guān)系可知，導(dǎo)體尖端頂尖處的電荷密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于劈尖底部凹陷處的電荷密度.定量的計(jì)算結(jié)果和理論分析得到的結(jié)果相符合[7].

圖4 尖端頂點(diǎn)B處相對電場強(qiáng)度和角度α之間的關(guān)系

4 結(jié)論

本文基于有限差分法的基本原理，計(jì)算了尖端周圍的空間電勢分布和局部的電場強(qiáng)度和劈尖角度的關(guān)系.研究對于理解電勢的概念、導(dǎo)體表面電荷面密度與曲率半徑的關(guān)系、尖端放電問題等以及電場的具體應(yīng)用起到很好的幫助作用，并對數(shù)值計(jì)算電磁場的本科教學(xué)和熟練掌握計(jì)算機(jī)輔助求解電磁場邊值問題提供了參考實(shí)例.

〔1〕郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1997.

〔2〕馮慈章.電磁場(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1983.

〔3〕Bhag Sing Gurn,Hiziroglu.電磁場與電磁波[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2000.

〔4〕劉圣民.電磁場的數(shù)值方法[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1991.

〔5〕胡之光.電機(jī)電磁場的分析和計(jì)算[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1982.

〔6〕呂英華.計(jì)算電磁學(xué)的數(shù)值方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006.

〔7〕游榮義.錐形導(dǎo)體尖端的電場特性[J].大學(xué)物理,2003,22(9)：18-20.

O44

A

1673-260X（2011）11-0021-02

濱州學(xué)院重點(diǎn)課程（BZXYZDKC200912）；濱州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目（BYJYZD201010）；濱州學(xué)院博士基金（2007Y03）