具有年齡結(jié)構(gòu)的SIRS流行病模型的分析

劉軍軍,閆萍,白江紅

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,烏魯木齊830046)

具有年齡結(jié)構(gòu)的SIRS流行病模型的分析

劉軍軍,閆萍,白江紅

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,烏魯木齊830046)

建立和研究一類具有非終身免疫并帶有年齡結(jié)構(gòu)的SIRS流行病模型平衡解的存在性與穩(wěn)定性。在總?cè)丝谝?guī)模不變的假設(shè)下,運(yùn)用微分方程和積分方程的理論和方法得到了決定疾病消亡與否的基本再生數(shù) R0的表達(dá)式;證明了當(dāng) R0＜1時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的,當(dāng) R0＞1時(shí)此時(shí)至少存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn),并在一定的條件下證明了該地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。

年齡結(jié)構(gòu)SIRS流行病模型;基本再生數(shù);無(wú)病平衡點(diǎn);地方病平衡點(diǎn);穩(wěn)定性

流行病在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在,對(duì)流行病的研究已是數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的一個(gè)重要領(lǐng)域。目前,建立和研究年齡結(jié)構(gòu)的流行病模型的工作有許多[1-6],但這些研究的都是具有終身免疫的年齡結(jié)構(gòu)流行病模型。方彬等[7-8]研究了潛伏期和染病期均具有康復(fù)和傳染的MSEIS流行病模型的穩(wěn)定性,但模型沒(méi)有考慮免疫期,因?yàn)橛行┘膊?例如鼠疫、白喉、炭疽、霍亂等許多流行病有暫時(shí)的免疫期,病人康復(fù)后先進(jìn)入具有免疫力的移出者類,再以比例喪失免疫力而變成易感者。

靳禎[9]和Cooke雖然考慮了具有非終身免疫的傳染病模型,但沒(méi)有考慮年齡結(jié)構(gòu)的因素。而年齡結(jié)構(gòu)對(duì)傳染病的影響是很重要的[11],因此,建立和研究非終身免疫且?guī)в心挲g結(jié)構(gòu)的傳染病模型具有重要的理論和實(shí)際意義。本文建立和研究具有非終身免疫且?guī)в心挲g結(jié)構(gòu)的SIRS傳染病模型,運(yùn)用微分方程和積分方程的理論和方法討論SIPR流行病模型平衡解的存在性與穩(wěn)定性。

1 模型及其轉(zhuǎn)化

把一個(gè)疾病傳播的封閉社會(huì)的總?cè)丝诜譃槿糠?易感類,染病類與康復(fù)類。首先引入一些記號(hào):令 a和t分別表示年齡和時(shí)間,a+表示個(gè)體存活的最大年齡,分別用 S(a,t)、I(a,t)、R(a,t)、N(a,t)表示該社會(huì)時(shí)刻易感類、染病類、康復(fù)類和總?cè)丝陉P(guān)于年齡的密度函數(shù),用b(a)和μ(a)分別表示年齡為的個(gè)體的出生率和死亡率,并假設(shè)b(a)和μ(a)不受疾病存在的影響,用c(a)表示年齡為的康復(fù)者失去免疫率,用α(a)表示年齡為 a的染病類進(jìn)入康復(fù)類的比率。

本文不考慮疾病引起的死亡率,根據(jù)倉(cāng)室建模思想得到具有非終身免疫并帶有年齡結(jié)構(gòu)的SIRS

流行病模型如下:

對(duì)系統(tǒng)(1)作如下歸一化變換:

則系統(tǒng)(1)可化為如下較簡(jiǎn)單的系統(tǒng):

2 無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性

2.1 無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性

設(shè)(ˉs(a),ˉi(a),ˉr(a))為系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn),則滿足下面的方程組:

2.2 地方病平衡點(diǎn)的存在性

若系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn) P＊(s＊(a),i＊(a),r＊(a))存在,即

通過(guò)對(duì)方程組(4)求解得:a

則方程(6)變?yōu)橄铝嘘P(guān)于s＊(a)的Volterra積分方程

式(7)中,K(a,τ,λ＊)是一個(gè)連續(xù)的 Volterra 核,對(duì)于每一個(gè)λ＊,方程(7)都有唯一依賴λ＊的解s＊(a)。將式(5)代入方程組(4)的第4個(gè)方程得

當(dāng)λ＊=0時(shí),模型(2)有無(wú)病平衡解 P0(1,0,0),當(dāng)λ＊≠0時(shí),有

記式(9)右邊為 H(λ＊),則 H(λ＊)是通過(guò) s＊(a)依賴于λ＊的函數(shù),令

這就是基本再生數(shù)的表達(dá)式,它表示一個(gè)典型的染病個(gè)體在其整個(gè)染病期間,在易感人群中所感染該種流行病的個(gè)體的平均數(shù)。

當(dāng) R0＜1時(shí),式(8)只有唯一解,相應(yīng)的系統(tǒng)(2)只有唯一的無(wú)病平衡解 P0(1,0,0),當(dāng) R0＞1時(shí),即 H(0)＞1。由式(5)及 i＊(a)＜1且有

從而對(duì)任意的λ＊＞0,由式(9)和(10)得:

則當(dāng) R＞1時(shí),系統(tǒng)(2)除存在無(wú)病平衡點(diǎn) P0(1,0,0)外,至少存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn) P＊(s＊(a),i＊r＊(a))。因此,有如下定理:

定理1當(dāng) R0＜1時(shí),系統(tǒng)(2)只有無(wú)病平衡解P0(1,0,0),當(dāng) R0＞1時(shí),系統(tǒng)(2)除無(wú)病平衡解 P0(1,0,0)外,至少存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn) P＊(s＊(a),i＊(a),r＊(a)) 。

2.3 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2 當(dāng) R0＜1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn) P0(1,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的;當(dāng) R0＞1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn) P0(1,0,0)不穩(wěn)定。

證明:為討論無(wú)病平衡點(diǎn) P0的局部漸近穩(wěn)定性,將系統(tǒng)(2)在無(wú)病平衡點(diǎn) P0處線性化,令并考慮到

則函數(shù)^s(a)^i(a),^r(a)及參數(shù)ω滿足下列方程:由系統(tǒng)(11)的第2個(gè)方程可得:

把式(12)代入系統(tǒng)(11)的第4個(gè)方程得:

對(duì)于式(13),當(dāng)ω取實(shí)數(shù)時(shí)有:

于是,函數(shù) F(ω)在(-∞,+∞)上是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng) R0＜1(即 F(0)＜1)時(shí),方程(13)存在唯一的負(fù)實(shí)數(shù)根ω＊;當(dāng)且僅當(dāng) R0＞1時(shí),方程(13)存在唯一的正實(shí)數(shù)根。故當(dāng) R0＜1時(shí)特征方程(13)只有負(fù)實(shí)部特征根,當(dāng) R0＞1時(shí),特征方程(13)有正實(shí)部的特征根。由此得到,當(dāng) R0＜1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng) R0＞1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。

為了得到全局漸近穩(wěn)定性,對(duì)系統(tǒng)(2)的第2個(gè)方程沿特征線積分得:(14)當(dāng) t＞a時(shí),把式(14)代入系統(tǒng)(2)的第5個(gè)方程得:

-0同時(shí)有s(a,t)≤1=s(a),故且有

由于 R0＜1,故只有令由式(14)知:

對(duì)方程(2)的第3個(gè)方程沿著特征線積分并利用Fatou引理得:

2.4 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

為了討論地方病平衡點(diǎn) P＊(s＊(a),i＊(a),r＊(a))的穩(wěn)定性,首先對(duì)系統(tǒng)(2)在 P＊點(diǎn)處線性化,令

并考慮到:

為了討論方便,假設(shè)Λ≠0,令:

則系統(tǒng)(2)可化為

把系統(tǒng)(15)前三個(gè)方程相加,并考慮邊界條件得:s(a)+i(a)+r(a)=0。

由系統(tǒng)(15)的前三個(gè)方程分別得:

顯然 h(a,τ)和 f(a)是與參數(shù)λ無(wú)關(guān)的非負(fù)函數(shù),且方程(21)為關(guān)于 i(a)的Volterra積分方程,由文獻(xiàn)[12]知積分方程(21)有以下解:

式(22)中 G(a,τ)是與參數(shù)λ無(wú)關(guān)的非負(fù)函數(shù)。

定理3:若假設(shè)式(20)成立,則有:

證明:1)由于

把 ˉi(a,λ)代入式 (23),整理后得 :

其中U(a,τ)=k(τ)g(a,τ)+∫aτG(a,η)k(τ)g(η,τ)dη。由前面假設(shè)知:U(a,τ)(對(duì) 0≤τ≤a≤a+)是與參數(shù)λ無(wú)關(guān)的非負(fù)函數(shù)。所以由方程(24)知 Q(λ)≥0,并且 Q(λ)是關(guān)于 x的遞減函數(shù),故當(dāng)λ→+∞時(shí),Q(λ)→0。

2)把式(17)代入 Q(λ)的表達(dá)式,當(dāng)λ=0時(shí),

由式(9)知:上式中第2項(xiàng)積分恰好等于1。再由式(20)知:

又因?yàn)?/p>

故可得s(a)≤0,?a∈[0,a+],從而上式第1項(xiàng)積分為負(fù)。

綜上所述,所以有 Q(0)＜1。

由定理3知,在式(20)的假設(shè)下,若 R0＞1,則特征方程(23)只有負(fù)實(shí)部的根,從而地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。因此有如下定理:

定理4:當(dāng) R0＞1時(shí),若式(20)滿足,則地方病平衡點(diǎn) P＊是局部漸近穩(wěn)定的。

3 結(jié)論

本文建立和討論了具有非終身免疫且具有年齡結(jié)構(gòu)的SIRS流行病模型,得到了基本再生數(shù) R0的表達(dá)式,證明了當(dāng) R0＜1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的,當(dāng) R0＞1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,此時(shí)系統(tǒng)至少存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn),并在一定條件下證明了該地方病平衡點(diǎn)時(shí)局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng) R0＞1時(shí),是否存在多個(gè)地方病平衡點(diǎn)以及地方病平衡點(diǎn)是否為全局漸近穩(wěn)定的仍是一個(gè)有待解決的問(wèn)題。

[1]Hoppensteadt F.An age-structured epidemic mode[J].Franklin Inst,1974,197:325-333.

[2]Inaba H.Threshold and stability results for an agestructured epidemic model[J].Math Biol,1990,28:411-434.

[3]Li X Z,Geni Gupur,Zhu G T.Threhold and stability results for an age-structured SEIR epidemic model[J].Comp Math Appl,2001,42:883-907.

[4]Li X Z,Gupur Geni,Zhu G T.Analysis for an Agestructured SEIR Epidemic Model with Vaccination.Inter[J].Diff Equ Appl,2003,7(1):47-67.

[5]Li X Z,Gupur Geni,Zhu G T.Existence and Uniqueness of Endemic State for the Age-structured SEIR Epidemic Model[J].Acta Math Appl,2002,18(3):441-454.

[6]榮翠賢,盛其榮.一類傳染病動(dòng)力學(xué)偏微分方程組解的適定性[J].石河子大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,25(2):251-255.

[7]方彬,李學(xué)志.潛伏期具有傳染性的年齡結(jié)構(gòu)MSEIS流行病模型的穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,31(1):110-125.

[8]方彬,楊金根,李學(xué)志.潛伏期和染病期均具有康復(fù)的年齡結(jié)構(gòu)MSEIS流行病模型的穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,22(1):90-100.

[9]靳禎.在脈沖作用下的生態(tài)和流行病模型的研究[D].西安:西安交通大學(xué),2001:34-65.

[10]Cooke K L,Driessche P Van Den.Analysis of an SEIRS epidemic model with two delays.J Math Biol,1996,35:240-258.

[11]馬知恩,周義倉(cāng),王穩(wěn)地,等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京:科學(xué)出版社,2004:335-393.

[12]Gripenberg G,Londen S,Staffans O.Volterra Integral and Functional Equation[M].Camberidge:Camberidge Univ Press,1990:145-150.

An SIRS Epidemic Model with an Age-Structured

LIU Junjun,YAN Ping,BAI Jianghong
(College of Mathematics and Systems Science,Xinjiang University,Urumqi 830046)

An SIRS epidemic model with an age-structured is studied.By using the theory and methods of Differential and Integral Equation,the explicit expression of the basic reproductive numberR0was obtained.It is showed that the disease-free equilibrium is locally and globally asymptotically stable ifR0＜1,at least one endemic equilibrium exists ifR0＞1,the stability conditions of endemic equilibrium are also given.

age-structured SIRS epidemic models;the basic reproductive number;the disease-free equilibrium;endemic equilibrium;stability

O175.12 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

A

2010-09-29

新疆高?？蒲兄攸c(diǎn)項(xiàng)目(XJ EDU2007I03)與創(chuàng)新團(tuán)體項(xiàng)目(XJ EDU2007G01)

劉軍軍 (1984-),男,碩士研究生,專業(yè)研究方向?yàn)槠⒎址匠汤碚摷皯?yīng)用;e-mail:liujunjun?0517@163。com。