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    求解大規(guī)模線性時不變系統(tǒng)的最優(yōu)2模型降階問題的共軛梯度法*

    2011-10-13 08:41:52曾泰山魯春元
    關(guān)鍵詞:降階流形共軛

    曾泰山,魯春元,陳 劍

    (1.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣東廣州510275;2.廣東藥學(xué)院醫(yī)藥信息工程學(xué)院,廣東廣州510006;3.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系,廣東佛山528000)

    曾泰山1,魯春元2,陳 劍3

    (1.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣東廣州510275;2.廣東藥學(xué)院醫(yī)藥信息工程學(xué)院,廣東廣州510006;3.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系,廣東佛山528000)

    針對最優(yōu)2模型降階問題,提出了適合大規(guī)模多輸入多輸出系統(tǒng)的共軛梯度法。該方法僅需利用一階導(dǎo)數(shù)信息,存儲量少,計(jì)算復(fù)雜度低,且具有超線性收斂性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示了算法的有效性。

    模型降階;共軛梯度法;Grassmann流形;線性時+不變系統(tǒng)

    近年來,模型降階越來越受到重視。它可以大大降低大規(guī)模系統(tǒng)模擬和控制中的時間復(fù)雜度,在超大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì),實(shí)時控制,天氣預(yù)報(bào)等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用。關(guān)于模型降階的綜述,參見文獻(xiàn)[1-2]。

    給定矩陣 A∈Rn×n,B∈Rn×p和 C∈Rq×n,線性時不變系統(tǒng)可以表示成:

    其中t≥0表示時間變量,u(t)∈Rp表示輸入,y(t)∈Rq表示輸出,x(t)∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)。n是系統(tǒng)的階。p和q是系統(tǒng)的輸入和輸出個數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)的階n很大的時候,由于需要大規(guī)模計(jì)算和存儲,這使得系統(tǒng)的數(shù)值模擬和控制非常困難。解決這一問題的一種關(guān)鍵方法是構(gòu)造一個低階的系統(tǒng)去逼近原始的高階系統(tǒng),并保持相應(yīng)的系統(tǒng)特性。

    由于正交投影能更好地保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性,本文用正交投影的辦法構(gòu)造降階系統(tǒng)。假設(shè)m=n?;谡煌队暗哪P徒惦A是選取一個正交矩陣U∈Rn×m,使得UTU=I。我們記A^=UTAU,B^=UTB,C^=CU。通過矩陣U的投影,我們可以獲得如下的降階系統(tǒng):

    定義全階系統(tǒng)(A,B,C)的傳遞函數(shù)為

    方程(3)和(4)描述的降階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)G(s)的2范數(shù)的平方定義為矩陣積分的跡[9]

    定義代價函數(shù)

    其中,Om表示所有m×m正交矩陣構(gòu)成的正交群,U∈Rn×m滿足UTU=I。由定義可知,等價類[U]中的矩陣的列向量張成的線性子空間相同。在實(shí)際計(jì)算中,我們將選擇其中一個正交矩陣U∈Rn×m來代表整個等價類。關(guān)于Grassmann流形的幾何性質(zhì),參看文獻(xiàn)[10-11]。

    由方程(6)以及代價函數(shù)J(U)的定義 (7)可以看出

    也就是說,代價函數(shù)J(U)只依賴于U的列向量張成的線性子空間。這意味著代價函數(shù)J(U)實(shí)際上是Grassmann流形上的光滑函數(shù)。因此,最優(yōu)2模型降階問題可以改寫為Grassmann流形上的最小化問題

    通過利用Grassmann流形的幾何性質(zhì),我們將提出求解問題(9)的數(shù)值算法。

    在(6)定義的誤差傳遞函數(shù)Ge(s)可改寫為

    實(shí)際上,矩陣Ae,Be和Ce定義了一個系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)為(Ae,Be,Ce)的誤差系統(tǒng)。Ge稱為是誤差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。誤差系統(tǒng)的可控性Gramian矩陣Ec和可觀測性Gramian矩陣Eo由如下的Lyapunov方程所定義

    我們將可控性Gramian矩陣Ec和可觀測性Gramian矩陣Eo做如下分劃co

    Lyapunov方程(10)和(11)可以轉(zhuǎn)化為

    代價函數(shù) J(U)可以用 Gramian矩陣 Ec表示如下[9]

    我們定義n×m的矩陣JU為代價函數(shù)J(U)相對于矩陣U∈Rn×m里面的元素的偏導(dǎo)數(shù):i=1,2,…,n,j=1,2,…,m 。由文獻(xiàn) [7],偏導(dǎo)數(shù)JU可以由以下方式給出:假設(shè)P,Q,X和Y是方程(14)、(15)、(16)和 (17)的解。假設(shè)R定義為

    代價函數(shù)J(U)在點(diǎn)U的偏導(dǎo)數(shù)為

    [11],在點(diǎn)[U]∈Gr(n,m)處的切空間 T[U]Gr(n,m) 可以表示為

    代價函數(shù) J的梯度 ▽J∈ T[U]Gr(n,m) 為

    2 共軛梯度法

    下面我們給出共軛梯度算法的概要。假設(shè)(A,B,C)是全階系統(tǒng)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。記Uk為第k步獲得的模型降階投影矩陣,k=0,1,…。在共軛梯度算法中,通過以Uk為起點(diǎn),以Fk為方向的測地線上搜索得到下一個投影矩陣Uk+1。流形上的測地線流形上兩點(diǎn)最短路徑。以Uk為起點(diǎn),方向?yàn)镕k的Grassmann流形的測地線為

    其中 Fk=WkΛkVTk是 Fk奇異值分解,Wk∈ Rn×m,Vk∈ Rm×m,Λk=diag(λ1k,λ2k,…,λmk) 。選取一個合適的步長tk≥0,我們可以構(gòu)造下一步的模型降階投影矩陣Uk+1,

    為了計(jì)算下一步的搜索方向Fk+1,首先計(jì)算在點(diǎn)Uk+1處的梯度Gk+1=▽J(Uk+1)。通過求解以下的Sylvester方程來計(jì)算矩陣Pk+1,Qk+1,Xk+1和Yk+1,

    矩陣Rk+1為

    在點(diǎn)Uk+1偏導(dǎo)數(shù)JUk+1為JUk+1=2Rk+1。代價函數(shù)J在點(diǎn)[Uk+1]∈Gr(n,m)的梯度為

    下面將介紹共軛梯度法的搜索方向構(gòu)造。計(jì)算舊搜索方向Fk的平行移動

    選取新的搜索方向?yàn)楣曹椞荻确较?,即舊搜索方向的平行移動和新的梯度的線性組合

    在式子 (28)中,τFk為切向量Fk的沿著測地線的平行移動。切向量在流形上的平行移動是歐氏空間中向量平移的推廣。類似于歐氏空間中共軛梯度法,組合系數(shù)γk可以通過下面的式子 (Polak-Ribiere法則)得到

    其中τGk是梯度Gk的平行移動

    值得指出的是,如果令γk=0,則Fk+1=-Gk+1,即搜索方向?yàn)樨?fù)梯度方向,此時共軛梯度法就退化為文獻(xiàn)[7]中的梯度流算法。

    下面是本文提出的共軛梯度法 (CGA)的主要框架。

    Algorithm 1:共軛梯度法 (CGA)

    1) 初始化:選取U0∈Rn×m,UT0U0=I,計(jì)算G0=▽J(U0)。置F0=-G0;

    2)For k=0,1,2,…,N - 1

    a)計(jì)算Fk的奇異值分解Fk=WkΛkVTk;

    b)求解極小化問題

    其中:Uk(t) =UkVkcos(tΛk)VTk+Wksin(tΛk)VTk;

    令 tk=tmin,Uk+1=Uk(tk);

    c)計(jì)算梯度Gk+1=▽J(Uk+1);

    d)平行移動切向量Fk和Gk到點(diǎn)[Uk+1]:

    計(jì)算新的搜索方向

    3) 獲得投影矩陣U=UN,計(jì)算

    在上述算法中,需要求解極小化問 (30),這可以通過不完全線性搜索算法來求得,例如Armijo搜索方法,可參見文獻(xiàn)[10]。

    對于Grassmann流形上的最優(yōu)化問題,共軛梯度法在滿足一定的條件下達(dá)到超線性收斂[10-11]。因此,本文提出的共軛梯度算法也能達(dá)到超線性收斂。

    另外,由于本文所提出的共軛梯度算法不需要求解大規(guī)模的 Lyapunov方程,因此計(jì)算量大大減少。下面,我們來分析共軛梯度算法的計(jì)算復(fù)雜性。在本文中,將以乘法次數(shù)來衡量計(jì)算復(fù)雜性。記Ns極小化問題 (30)的最大搜索步數(shù)。記N為最大迭代次數(shù)。

    定理1假設(shè)A∈Rn×n是個具有N(A)個非零元素的稀疏矩陣。假設(shè)存在一個只需要O(rn+N(A))次乘法運(yùn)算的線性方程求解方法求解方程其中r是個固定的整數(shù)。則共軛梯度法CGA計(jì)算復(fù)雜度為證明 在第k步迭代中,k=0,1,…,算法CGA的計(jì)算花費(fèi)主要來自以下三個方面:

    第一部分是Pk、Qk、Xk和Yk的計(jì)算,需要求解Sylvester方程 (23)-(26)。在文獻(xiàn) [7]中指出,如果存在一個只需要O(rn+N(A))次乘法運(yùn)算的方法求解方程(31),則利用文獻(xiàn) [12]中的方法求解Sylvester方程 (23)-(26)的計(jì)算復(fù)雜度只需第二部分是搜索方向Fk的計(jì)算。對給定的A,B,C和Uk,需要O(mN(A)+nm2+nmp+nmq)次乘法運(yùn)算來計(jì)算Rk。因此,它需要O(mN(A)+nm2+nmp+nmq)次乘法運(yùn)算來計(jì)算Fk。

    第三部分是非精確搜索方法求解最小化問題(30)以獲得步長tmin。對極小化問題(30)的每一個搜索步,我們需要計(jì)算測地線方程(21)。易知,測地線的計(jì)算復(fù)雜度為O(nm2)。因?yàn)樽畲蟮乃阉鞑綌?shù)為Ns,所以非精確搜索方法求解最小化問題(30)的計(jì)算復(fù)雜度為O(Nsnm2)。

    總而言之,算法CGA每一步迭代需要O(nmr+mN(A)+Nsnm2+nmp+nmq)次乘法次數(shù)。由于算法CGA的最大迭代次數(shù)為N,因此算法的總的復(fù)雜度為如果降階系統(tǒng)的階m遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原始大規(guī)模系統(tǒng)的階n,且系統(tǒng)的輸入輸出個數(shù)p和q也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于n,此時共軛梯度法的計(jì)算復(fù)雜度為線性O(shè)(Nn),其中N為迭代次數(shù)。

    3 數(shù)值算例

    在本節(jié),我們測試比較了本文提出的共軛梯度法的有效性。

    例1考慮在區(qū)域Ω =(0,1)2上的熱傳導(dǎo)方程。熱傳導(dǎo)方程可以有如下形式

    其中 u=u(t,x,y) ,(x,y) ∈ Ω ,t∈[0,∞) 。假設(shè)微分方程在空間域上等距剖分,格點(diǎn)數(shù)為d×d。導(dǎo)出的剛度矩陣A∈Rd2×d2是稀疏的、穩(wěn)定的,帶寬為d。系統(tǒng)的階為n=d2。假設(shè)b1∈Rn是一個所有元素都為1的向量。b2∈Rn是個隨機(jī)向量。假設(shè)B=[b1,b2],C=BT。此時,構(gòu)造的系統(tǒng)(A,B,C)是個多輸入多輸出系統(tǒng)。

    我們將使用本文提出的共軛梯度法 CGA將此大規(guī)模多輸入多輸出系統(tǒng)降階。我們將與以下的方法比較我們的結(jié)果:平衡截?cái)喾椒?BTM[9];快速梯度流算法 FGFA[7]。表1給出了數(shù)值結(jié)果的比較,2相對誤差定義為表中(n,m)給出了系統(tǒng)的階,其中n是原始大規(guī)模系統(tǒng)的階,m是降階系統(tǒng)的階。從表中可以看到,共軛梯度法的計(jì)算結(jié)果最好。

    表1 2相對誤差比較Table 1 Comparison of Relative 2error

    表1 2相對誤差比較Table 1 Comparison of Relative 2error

    BTM FGFA CGA(n,m)6.08 e-3 4.05 e-3 4.03 e-3(1600,3) 1.22 e-2 5.96 e-3 5.88 e-3(3600,3)(900,3)1.17 e-2 7.25 e-3 7.10 e-3

    為了觀察算法的收斂情況,圖1給出n=900的時算法FGFA和CGA的收斂曲線。在每一步迭代中,我們計(jì)算了2相對誤差。從圖1中可以看到,兩個算法FGFA,CGA的相對誤差都隨著迭代下降,而算法CGA的收斂速度達(dá)到了超線性。

    圖1 收斂曲線比較Fig.1 Comparison of convergence curves

    4 總 結(jié)

    參考文獻(xiàn):

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    A Conjugated Gradient Algorithm for Optimal2Model Reduction of Large Scale Dynamical Systems

    ZENG Taishan1,LU Chunyuan2,CHEN Jian3
    (1.School of Mathematics and Computational Science,Sun Yat-sen University,Guangzhou 510275,China;2.College of Medical Information Engineering,Guangdong Pharmaceutical University,Guangzhou 510006,China;3.Department of Mathematics,F(xiàn)oshan University,F(xiàn)oshan 528000,China)

    A conjugated gradient algorithm with super-linear convergence which is suitable for the optimal2model reduction of the multi-input multi-output large scale dynamical systems is proposed.The proposed algorithm computes only first-order derivative of the cost function.It has low storage requirement and computational cost.Numerical example demonstrates the approximation accuracy and computational efficiency.

    model reduction;conjugated gradient method;Grassmann manifold;linear time invariant system

    O241.8

    A

    0529-6579(2011)02-0001-05

    2010-04-30

    國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (10771224);中山大學(xué)985項(xiàng)目專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目

    曾泰山 (1981年生),男,博士生;E-mail:ztszsu@163.com

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