思考的藝術(shù)
——高職高數(shù)建模思維的教學(xué)

梁 軍

（天津?yàn)I海職業(yè)學(xué)院，天津市 300451）

思考的藝術(shù)
——高職高數(shù)建模思維的教學(xué)

梁 軍

（天津?yàn)I海職業(yè)學(xué)院，天津市 300451）

當(dāng)前高職數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模方法，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力。高職數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，向?qū)W生介紹一些“數(shù)學(xué)建模”案例，使學(xué)生從中感受數(shù)學(xué)建模的思維方式，即豐富的想象力、敏銳的洞察力、奇異的創(chuàng)造力，激發(fā)學(xué)生直覺(jué)思維和靈感思維。促使他們更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、品味數(shù)學(xué)和熱愛(ài)數(shù)學(xué)，樹(shù)立起創(chuàng)造性思維的人格。

數(shù)學(xué)建模；想象力；洞察力；創(chuàng)造力；突破性思維

數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)不是傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)課，它不是“學(xué)數(shù)學(xué)”，而是“學(xué)著用數(shù)學(xué)”。它是以現(xiàn)實(shí)世界為研究對(duì)象，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)建立模型并對(duì)模型進(jìn)行探索。建模沒(méi)有現(xiàn)成的普遍適用的準(zhǔn)則和技巧，需要成熟的經(jīng)驗(yàn)、見(jiàn)解和靈巧的簡(jiǎn)化手段，需要合理的假設(shè)，豐富的想象力，敏銳深入的洞察力，直覺(jué)和靈感往往也起著不可忽視的作用。因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中要把握“精髓”，側(cè)重于給學(xué)生一種綜合素質(zhì)的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力。

一、建模需要豐富的想象力

愛(ài)因斯坦說(shuō)：“想象力比知識(shí)更重要”。想象力可形象地稱(chēng)作“思維的漫游”。“思維的漫游”有兩個(gè)作用，一從不同的角度進(jìn)行大范圍的探索思考，有可能使得人們突破原有的思維模式；二“漫游”往往還意味著通過(guò)尋找并測(cè)試所有的可能性，對(duì)相關(guān)問(wèn)題獲得系統(tǒng)性的看法。因此通過(guò)廣泛的思維“漫游”，人的思維的隨機(jī)性逐漸減少，邏輯性、系統(tǒng)性逐漸增強(qiáng)，以這種合乎邏輯的、有效的方式進(jìn)行搜索問(wèn)題的解答，需要思維的廣闊性，以及對(duì)問(wèn)題的整合能力和具有集思廣益的科學(xué)態(tài)度。善于選取前人的智慧寶庫(kù)中的精華，通過(guò)巧妙組合形成新成果的“智慧雜交能力”，一定程度上也培養(yǎng)了學(xué)生的互相協(xié)作的思維品質(zhì)。

二、建模需要敏銳深入的洞察力

在解決具有突破性思維的問(wèn)題時(shí)，在毫無(wú)線索的情況下，其對(duì)策就是進(jìn)行“探測(cè)”隱藏的線索。“探測(cè)”意味著努力尋找給我們指明方向的線索。一般地我們傾向于以思維漫游的方式（橫向思維）來(lái)探究突破性思維，找出最快的解決問(wèn)題的方法，但需要銘記于心的是進(jìn)行更為深入的縱向探察。質(zhì)變也可以發(fā)自于當(dāng)前信息的更為仔細(xì)的關(guān)注，以及對(duì)這些信息的意義的更為敏感的靈活的把握。全力的邏輯推理，是創(chuàng)造性思維中最根本、最強(qiáng)大的策略之一。

在試圖尋找答案之前，必須進(jìn)行分析診斷，能夠精確的表述真正的問(wèn)題。愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題的構(gòu)成比該問(wèn)題的答案要重要得多?！币业秸_的解決辦法，我們必須首先正確地提出問(wèn)題，否則，答案就宛若如深藏在信息海洋中的一根針。我們可以仔細(xì)地重新閱讀題目，看看它的確切含義到底為何，或許我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)題目缺少條件，需要突破性思維的問(wèn)題中缺乏的條件——本來(lái)應(yīng)當(dāng)說(shuō)明但是卻沒(méi)有說(shuō)明的東西，往往就是我們的線索所在。

從對(duì)“問(wèn)題的探測(cè)”過(guò)程來(lái)看，它表現(xiàn)在隨新的條件而迅速確定解題方向，能從已知因素中看出新因素，從隱密的形式中分清實(shí)質(zhì)的能力。它是創(chuàng)造性思維最生動(dòng)的核心，主要體現(xiàn)出思維的連動(dòng)性和跨越性。連動(dòng)性即由此及彼，由表及里的思維能力，表現(xiàn)形式有三：一是“縱向連動(dòng)”，即發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象后，立即縱深一步，探究其產(chǎn)生的原因；常表現(xiàn)為對(duì)問(wèn)題的引申與推廣。二是“橫向連動(dòng)”，即發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象后，迅速聯(lián)想到其特點(diǎn)與之相似或相關(guān)的事物；常表現(xiàn)為對(duì)比、類(lèi)比、聯(lián)想。三是“逆向連動(dòng)”，即看到一種現(xiàn)象后，立即想到它的反面，在正面思考受阻時(shí)，迅速轉(zhuǎn)向反面探究?？缭叫约丛谒季S進(jìn)程上省略思維步驟，“前進(jìn)跨度”大；在思維條件上能由近及遠(yuǎn)，由“虛”及“實(shí)”，由“表”及“里”，能跨越事物“可現(xiàn)度”的限制，迅速完成“虛體”與“實(shí)體”之間的轉(zhuǎn)化。思維跨越性的實(shí)質(zhì)是類(lèi)比思想的運(yùn)用，由特殊到特殊的聯(lián)想。

那么我們還繼續(xù)分析上面的例子，通過(guò)猜想、想象、構(gòu)造我們初步找到了答案，從想象的過(guò)程中會(huì)感覺(jué)甲蟲(chóng)在“蠶食”，從數(shù)學(xué)角度來(lái)解釋甲蟲(chóng)的行為不就是微元思想的體現(xiàn)嗎？這種隨新的條件而迅速確定解題方向的思維連動(dòng)性和跨越性為建立數(shù)學(xué)模型提供思路。

原題改為：邊長(zhǎng)a為的方桌四角處各有（雌雄相間）的小蟲(chóng)一只，它們以相同速度按逆時(shí)針?lè)较蚺老蛩徑男∠x(chóng)，求蟲(chóng)們的爬行路線所滿足的微分方程。

解：以方桌的對(duì)角線為坐標(biāo)軸，中心在原點(diǎn)，不妨設(shè)第一只甲蟲(chóng)在X軸正向上，第二只在Y軸正向上。由于爬行速度v一樣及位置的對(duì)稱(chēng)性，四只甲蟲(chóng)的軌跡是全等形，所以只討論第一只蟲(chóng)子所滿足的微分方程。假

設(shè)在t時(shí)刻，第一只蟲(chóng)了位于點(diǎn)P（x，y），第二只蟲(chóng)了位于Q（x2，y2）。給時(shí)間t一個(gè)微小的增量dt，第一只甲蟲(chóng)的變量x、y，相應(yīng)地取得增量dx、dy。由于dt甚小，認(rèn)為第一只甲蟲(chóng)在該時(shí)間段［t，t＋dt］內(nèi)在PQ連線上運(yùn)動(dòng)了vdt，取

由于按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第一只與第二只甲蟲(chóng)的軌跡重合，則x2＝－y，y2＝x，該兩式相比，得顯然，第一只蟲(chóng)了的軌跡滿足可化為齊次方程解得x2＋y2但該解的形式不易對(duì)該問(wèn)題加以解釋?，F(xiàn)令x＝r cosθ，y＝r sinθ代入上式得通解為r＝ce－θ，由初始條件于是第一只蟲(chóng)子的爬行路線為（0，∞）。易得蟲(chóng)們相會(huì)于點(diǎn)（0，∞）即原點(diǎn)處。相會(huì)時(shí)每只蟲(chóng)子爬過(guò)的路程為

數(shù)學(xué)模型的建立具有藝術(shù)性。經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞察力、判斷力以及思維的連動(dòng)性和跨越性等在建模過(guò)程中所起的作用甚至比一些具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更大。

三、模型不止一種——“問(wèn)題的重構(gòu)”

在解決具有突破性思維的問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)有受局限的感覺(jué)，其對(duì)策就是進(jìn)行“問(wèn)題的重構(gòu)”。當(dāng)毫無(wú)成效地將精力耗費(fèi)在某個(gè)問(wèn)題上一段時(shí)間之后，我們可能注意到我們實(shí)際上陷入了沒(méi)有盡頭的循環(huán)之中，這個(gè)時(shí)候我們捫心自問(wèn)：“到底哪些約束條件是我想當(dāng)然地加進(jìn)來(lái)的呢？”之后我們可能放棄原來(lái)的框框，轉(zhuǎn)而尋找更加解放我們思維的框架，這樣我們就可能將眼光投向更為寬闊的范圍。隱含的通常理解的往往正是我們必須提出質(zhì)疑的所在。尋求以新的視角來(lái)看待問(wèn)題——“重構(gòu)”，從某種程度上說(shuō)，它也是突破困境的基本方式之一。實(shí)際上對(duì)事物的重構(gòu)往往都包含著對(duì)熟悉的東西的采納和改造，以及對(duì)類(lèi)比的廣泛使用。

當(dāng)然，這里的問(wèn)題是，人們無(wú)法通過(guò)直接推理的方式來(lái)獲得此種重構(gòu)，而要進(jìn)行更好的問(wèn)題重構(gòu)，本身就是一個(gè)不合邏輯的問(wèn)題，它并不一定比解決我們手頭的問(wèn)題本身更加容易。進(jìn)行更好的問(wèn)題重構(gòu)，應(yīng)具有頑強(qiáng)鉆研的科學(xué)態(tài)度和獨(dú)特新穎的思維方式。

如果人們能夠看到對(duì)問(wèn)題的重新構(gòu)造是如何引導(dǎo)出某個(gè)可能答案的，那么他們就具有了頓悟感，對(duì)其它類(lèi)似問(wèn)題可能會(huì)非常順利地探索出希望的重構(gòu)方式。

四、建模需要直覺(jué)和靈感

直覺(jué)思維是個(gè)體在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)事物整體的把握、直接的理解，以及對(duì)事物之間關(guān)系迅速的識(shí)別。是調(diào)動(dòng)個(gè)體全部的感知經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、思維能力獲得對(duì)事物的領(lǐng)悟力。靈感思維是大腦經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間緊張思考和專(zhuān)心探索之后，產(chǎn)生的頓悟，也可以解釋為在量的積累之后發(fā)生的質(zhì)變和升華。它們產(chǎn)生的前提是創(chuàng)造主體經(jīng)過(guò)直覺(jué)思維的思想準(zhǔn)備，使問(wèn)題處于“激發(fā)狀態(tài)”，運(yùn)用聯(lián)想、類(lèi)比、歸納的思維，形成“一觸即發(fā)”的態(tài)勢(shì)，它的誘發(fā)，往往是主體與外界信息相接觸，或者感受到潛意識(shí)的溝通，迸發(fā)出來(lái)的思想火花。直覺(jué)思維的特征是發(fā)散，靈感思維的特征是收斂，直覺(jué)思維是產(chǎn)生靈感思維的前提和準(zhǔn)備，靈感思維是在直覺(jué)思維的基礎(chǔ)上的再加工的結(jié)果。二者是創(chuàng)造性思維過(guò)程的辯證統(tǒng)一。

由上面的分析來(lái)看：甲蟲(chóng)在“蠶食繩子”時(shí)，“方向相對(duì)不變”，“甲蟲(chóng)A追趕速度在甲蟲(chóng)B速度上的分量為零”，將這些信息與個(gè)體的數(shù)學(xué)感知經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維能力相溝通，從數(shù)學(xué)角度來(lái)解釋甲蟲(chóng)間運(yùn)動(dòng)的行為就可以聯(lián)想向量及向量的微分等概念和方法，為建立數(shù)學(xué)模型提供思路。

讓我們嘗試著使用向量及微分等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決吧。我們觀察其中兩只相鄰的甲蟲(chóng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，兩只甲蟲(chóng)的速度方向總是夾一個(gè)不變的角——π／2。設(shè)定幾個(gè)記號(hào)：追逐者的位置是，被追者的位置是，兩者的相對(duì)位置表示兩者的距離。

由于d珝P1／dt表示追逐者的速度，d珝P2／dt表示被追者的速度，P表示相對(duì)位置。因此，珝P與d珝P1／dt共線，珝P與d珝P2／dt垂直，所以

上式中左式表示“吃繩子”的速率（即二者距離的變化率）確實(shí)等于右式追逐者爬行的速率。兩邊積分得，追逐者爬過(guò)的路程等于吃掉繩子的長(zhǎng)度。

“要提出新的問(wèn)題、新的可能性、從某個(gè)新的角度考慮一個(gè)舊問(wèn)題，都要求創(chuàng)造性的想象力，而且它們正是真正的科學(xué)進(jìn)步之所在?！边@句話很好地提醒我們，不是所有的問(wèn)題都只有一個(gè)正確解答方案，甚至可以說(shuō)那些本只有一種正確答案的問(wèn)題實(shí)際也不是如此。這里的困難是，當(dāng)你已經(jīng)知道某個(gè)具體答案時(shí)，甚至是你認(rèn)為你已經(jīng)知道了答案的時(shí)候，你就可能傾向于不再考慮其他解答方案了，這也是缺乏創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)，應(yīng)對(duì)之策還是創(chuàng)新。許多問(wèn)題都比表面上看起來(lái)具有開(kāi)放性，可能性往往是無(wú)限的。因此在解決某個(gè)難題時(shí)，不要停留在一種繁雜的解答方式之中，要具有思維的靈活性和多向性。要具備以下機(jī)智：轉(zhuǎn)向機(jī)智，即思維在一個(gè)方向受阻，立即轉(zhuǎn)向另一個(gè)方向（側(cè)向思維或逆向思維）；發(fā)散機(jī)智，即對(duì)一個(gè)問(wèn)題盡量提出多種答案；創(chuàng)優(yōu)機(jī)智，即刻意追求最優(yōu)解答和最優(yōu)命題。

應(yīng)當(dāng)注意到以上這四個(gè)方面之間都存在著某個(gè)共通性，它們都要求人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)新的可能性。此外，每個(gè)方面都有助于其他方面。但是這四個(gè)運(yùn)算過(guò)程又不是相互等同的，它們引導(dǎo)人們向不同的方向努力。但是它并不能非?？煽康厝〈笕叩淖饔谩?chuàng)造性思維的這四個(gè)方面相輔相成共同作用，才能解決具有突破性思維難題的挑戰(zhàn)。將理論應(yīng)用到實(shí)踐并非輕而易舉，這四個(gè)方面并不是什么魔杖，我們必須具有渴望創(chuàng)新的愿望——“饑餓的靈魂”（即創(chuàng)造性思維的人格），以細(xì)心而且堅(jiān)強(qiáng)的方式將它們付諸于實(shí)踐。通過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐和練習(xí)以習(xí)慣此類(lèi)問(wèn)題的風(fēng)格，才能有效地培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

“如果沒(méi)有過(guò)去經(jīng)驗(yàn)作支柱，思維不可能是創(chuàng)造的。”這就要求教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)歸納數(shù)學(xué)的思維方式，將現(xiàn)在課堂的“填鴨式”教育改革為探討研究式的課堂教學(xué)。現(xiàn)在的教學(xué)必須要為將來(lái)的發(fā)明創(chuàng)造做準(zhǔn)備，至少給一點(diǎn)發(fā)明創(chuàng)造的嘗試。使學(xué)生能夠更加深刻領(lǐng)會(huì)本文所提到突破性思維運(yùn)作的藝術(shù)過(guò)程。酸甜苦辣都是營(yíng)養(yǎng)，成功失敗都是收獲。尊重學(xué)生屬于自己的體驗(yàn)，讓他們體驗(yàn)生活、體驗(yàn)社會(huì)，即使是失敗，也可能成為學(xué)生終身受益無(wú)窮的財(cái)富。

［1］［美］大衛(wèi)·伯金斯．《The Art and Logic of Breakthrough Thinking》［M］．海南出版社．2001．

［2］楊旭巖．微元法、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)之間的關(guān)系 ［J］．河南機(jī)電高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)．2005，（5）．

［3］吳莉．?dāng)?shù)學(xué)建模：大學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的核心［J］．南京林業(yè)人學(xué)學(xué)報(bào)．2007，（6）．

Abs tra c t：Current teaching reform of Higher vocational college mathematics should emphasize mathematical modeling method to improve students＇applied awareness and ability．The mathematical teaching of higher vocational colleges should introduce some case of mathematical modeling to students in accordance with the teaching contents so as to make students feel the way of thinking on mathematical modeling which means rich imagination，sharp insight，and supernatural creativity．Thus can arouse students＇intuition and inspiration thinking，and therefore help them to understand mathematics，apply mathematics，taste mathematics and love mathematics much better to set up their personality of creative thinking．

Key w ords：mathematics modeling；imagination；insight；creativity；breakthrough thinking

Art of Thinking——Teaching on Thinking of Advanced Mathematical Modeling in Higher Vocational Colleges

LIANG Jun

（Tianjin Binhai Polytechnic Institute，Tianjin 300451 China）

G712

A

1673－582X（2011）01－0061－04

2010－10－15

梁軍（1967－），女，天津市人，天津?yàn)I海職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部主任，副教授，研究方向：高等數(shù)學(xué)。