關(guān)于炮彈運(yùn)動(dòng)方向、抽水做功辨析

陶印修

(天津渤海職業(yè)技術(shù)學(xué)院,天津市 300402)

關(guān)于炮彈運(yùn)動(dòng)方向、抽水做功辨析

陶印修

(天津渤海職業(yè)技術(shù)學(xué)院,天津市 300402)

對(duì)某高職高數(shù)教材的例題關(guān)于炮彈運(yùn)動(dòng)方向的處理展開(kāi)研究,澄清導(dǎo)數(shù)的幾何意義涉及到的角并非是炮彈運(yùn)動(dòng)方向中提到的角,而二者的正切值相等具有必然性,體現(xiàn)炮彈運(yùn)動(dòng)方向中正、負(fù)角的含義,品味正、負(fù)號(hào)的美,品味炮彈運(yùn)動(dòng)軌道方程;此外,還就幾乎所有高數(shù)教材關(guān)于抽水做功的例題展開(kāi)研究,澄清質(zhì)量、重力(重量)、比重這些概念,揭示抽水做功的思想、方法。

方向;抽水做功;積零為整;微元法

數(shù)學(xué)在實(shí)際中如何應(yīng)用,讓我們來(lái)看下面兩個(gè)問(wèn)題.

一、炮彈運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)題與理想炮彈運(yùn)動(dòng)軌道方程

例1 不計(jì)空氣阻力的情況下,炮彈以初速度 v0、發(fā)射角α射出,它的軌道由參數(shù)方程表示,t為參數(shù).試求在任意時(shí)刻t炮彈的運(yùn)動(dòng)方向.解(書(shū)上的解法)這是一個(gè)拋物線方程(見(jiàn)圖1).

用θ表示軌道的切線與水平方向的夾角,因此它刻畫(huà)了炮彈運(yùn)動(dòng)的方向.則

圖1

2.θ角與切線的傾斜角的聯(lián)系

當(dāng)炮彈往上運(yùn)動(dòng)時(shí),θ角由發(fā)射角α逐漸減小,且θ角是正銳角,正號(hào)表示炮彈往上運(yùn)動(dòng),到達(dá)頂點(diǎn)時(shí)θ角為零弧度的角β,此θ角是切線的傾斜角β,即;θ=β (2)

當(dāng)炮彈往下運(yùn)動(dòng)時(shí),θ角由零弧度的角逐漸減小,且θ角是負(fù)銳角,負(fù)號(hào)表示炮彈往下運(yùn)動(dòng),雖然θ角不是切線的傾斜角β,但θ角與切線的傾斜角β之間滿足:-θ+β=π,即θ=β-π. (3)

當(dāng)炮彈往上運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)(1)、(2)式,得當(dāng)炮彈往下運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)(1)、(3)式,得

需要強(qiáng)調(diào)的是,θ角既不是數(shù)學(xué)中兩向量之間的夾角,也不是數(shù)學(xué)中關(guān)于直線的傾斜角,而是數(shù)學(xué)中有關(guān)的正、負(fù)角,體現(xiàn)了θ角逐漸減小的實(shí)際意義,即θ角由發(fā)射角α(正銳角)逐漸減小到零弧度的角(炮彈往上運(yùn)動(dòng)),再逐漸減小,θ角就只能是負(fù)銳角(炮彈往下運(yùn)動(dòng)),亦即正號(hào)表示炮彈往上運(yùn)動(dòng),負(fù)號(hào)表示炮彈往下運(yùn)動(dòng).關(guān)鍵問(wèn)題是,“+”號(hào)表示“正方向”,“-”號(hào)表示“反方向”.在此也能體會(huì)到數(shù)學(xué)中關(guān)于正、負(fù)號(hào)的美.

4.理想炮彈運(yùn)動(dòng)軌道方程

實(shí)際上炮彈不是從地面上射出,而是從離地面一定的高度h處射出,因而炮彈的軌道方程應(yīng)調(diào)整為

上面理想炮彈運(yùn)動(dòng)軌道方程把炮彈運(yùn)動(dòng)方向的數(shù)學(xué)模型作了調(diào)整,以期更符合實(shí)際.需要說(shuō)明的是,h相對(duì)于炮彈上升的最大高度微乎其微,可以忽略不計(jì),這就是例1.中為什么不加h的緣故;但對(duì)于投擲運(yùn)動(dòng)員來(lái)說(shuō),為提高運(yùn)動(dòng)成績(jī),就必須考慮投擲物出手的高度.

本文對(duì)炮彈運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)題研究可以深刻理解恩格斯所說(shuō)的數(shù)學(xué)是什么的問(wèn)題,即數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)量關(guān)系及空間形式的科學(xué),體會(huì)到數(shù)學(xué)中關(guān)于正、負(fù)號(hào)的美;本文對(duì)可忽略與不可忽略的情形作了簡(jiǎn)單介紹,體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際中如何應(yīng)用.

二、抽水做功的問(wèn)題

下面所用單位為國(guó)際單位.

1.抽水做功中應(yīng)引起重視的幾個(gè)基本概念問(wèn)題

抽水做功中用到質(zhì)量、重力(重量)、密度這些概念,由于諸多教材中的這些概念或多或少有問(wèn)題,因此有必要澄清這幾個(gè)基本概念.

首先看質(zhì)量與重力的區(qū)別

質(zhì)量是物體的屬性,質(zhì)量不會(huì)因物體所處的位置而改變,質(zhì)量一般用 m表示,其國(guó)際單位為 kg(千克);重力是物體受其它物體(如地球、月球等)的吸引而受到的力,重力會(huì)因物體所處的位置而改變,重力一般用 G表示,其國(guó)際單位為 N(牛頓).

其次看質(zhì)量與重力的聯(lián)系

在地球上,物體的質(zhì)量 m與重力G之間的聯(lián)系為G=m g,而在月球上,物體的質(zhì)量 m與重力G之間的聯(lián)系為其中 g的國(guó)際單位為m/s2(米/秒2)或 N/kg(牛頓/千克),一般地取 g=9.8m/s2或 g=9.8N/kg.本文用到 g的國(guó)際單位為N/kg.

另外需澄清,重力才是物體的重量,重量不等同于質(zhì)量,故唐國(guó)興主編高等數(shù)學(xué)(二)第二分冊(cè)在第185頁(yè)上[例6.1]把質(zhì)量寫(xiě)成重量不妥,應(yīng)把重量改寫(xiě)成質(zhì)量.

最后看比重

比重即密度.以前的教材用比重概念,而現(xiàn)在的教材用密度概念.

所謂密度,即單位體積的質(zhì)量,而非單位體積的重力.密度的國(guó)際單位為 kg/m3(千克/米3).水的密度應(yīng)為103kg/m3(單位體積的質(zhì)量).故同濟(jì)高數(shù)第四版教材在第360頁(yè)上第一行把水的比重寫(xiě)成9.8 kN/m3(單位體積的重力)不妥.

2.抽水做功的計(jì)算

抽水做功的計(jì)算也用定積分來(lái)計(jì)算,其思想是積零為整,即把抽水過(guò)程實(shí)質(zhì)上看成把一層層水分別提升到指定位置的過(guò)程;其方法是微元法,即將各層水抽出所做功的和,認(rèn)為是泵抽水所做的功.

首先完善楊杰、叢金明主編書(shū)上第150頁(yè)的例7(本文例2)

例2 半徑為 Rm,高為 Hm的圓柱形水箱盛滿了水,問(wèn)要將箱內(nèi)的水全部抽出要做多少功?

解 作 x軸如圖2(原點(diǎn)選在水面圓心處,向下的方向?yàn)檎较?,取水深度 x為積分變量,它的變化區(qū)間為[0,H].

圖2

相應(yīng)于[1,H]上任一小區(qū)間[x,x+d x]的一薄層水的高度為 d x,這薄層水的體積為πR2d x,質(zhì)量為103πR2dx·g=103πR2gd x,重力為。把這薄層水抽出箱外需做之功近似地為 dW=103πR2gd x·x=103πR2gx d x,此即功元素.

于是所求的功為

說(shuō)明一:例7的解把原點(diǎn)選在水底圓心處,向上的方向?yàn)檎较?未畫(huà)出薄層水,其求解公式為W=103πR2(H-x)d x未推導(dǎo);而例2的解把原點(diǎn)選在水面圓心處,向下的方向?yàn)檎较?畫(huà)出薄層水,其求解公式為W=03πR2gx d x做了推導(dǎo).

說(shuō)明二:例7無(wú)單位(該書(shū)在第153頁(yè)的習(xí)題5-4的第7題也無(wú)單位),其解中把質(zhì)量當(dāng)成重力(習(xí)題答案中也把質(zhì)量當(dāng)成重力),答案為π 2·R2H2;而例2補(bǔ)充了單位,其解中把質(zhì)量與重力區(qū)分好,答案為

說(shuō)明三:例2的解若也像例7那樣,把原點(diǎn)選在水底圓心處,向上的方向?yàn)檎较?類似例2的解法,可得所求的功的公式,即

取水高度 x為積分變量,它的變化區(qū)間為[0,H].

相應(yīng)于[0,H]上任一小區(qū)間[x+x+d x]的一薄層水的高度為 d x,這薄層水的體積為πR2dx,質(zhì)量為103πR2dx·g=103πR2gd x,重力為.把這薄層水抽出箱外需做之功近似地為

dW=103πR2gd x·(H-x)=103πR2g(H-x)d x,此即功元素.

于是所求的功為

我們還可以證明(4)式與(5)式是等價(jià)的.

事實(shí)上,在(5)式中,設(shè) H-x=y,則 d x=-dy,x=0時(shí),y=H,x=H時(shí),y=0。故

至此,(4)式與(5)式是等價(jià)的.

說(shuō)明四:楊杰、叢金明主編高等數(shù)學(xué)在變力做功中只寫(xiě)了一個(gè)例題(本文例2),容易使讀者誤認(rèn)為變力做功,但該例并非變力做功。

其次修正楊杰、叢金明主編書(shū)上第153頁(yè)的習(xí)題5-4的第7題的答案(本文例3)

例3 半徑 Rm為的半球形水池中貯滿了水,要把這一池水抽到高為 Rm的水塔頂上,要做多少功?

解 作 x軸如圖3(原點(diǎn)選在水面圓心處,向下的方向?yàn)檎较?,取水深度 x為積分變量,它的變化區(qū)間為[0,R].

相應(yīng)于[0,R]上任一小區(qū)間[x,x+dx]的一薄層水的高度為 d x,這薄層水的體積近似為π(R2-x2)d x,質(zhì)量近似為103π(R2-x2)d x,重力近似為 103πg(shù)(R2-x2)d x.

把這薄層水抽出水池需做之功近似地為

dW=103πg(shù)(R2-x2)d x·(R+x)=103πg(shù)(R2-x2)(R+x)d x,此即功元素.

圖3

最后完善閻章杭等主編書(shū)上第152頁(yè)的例2(本文例4)之解

例4 修建一座大橋的橋墩時(shí)先要下圍囹,并抽盡其中的水以便施工.已知半徑是10m的圓柱形圍囹的上沿高出水面2m,河水深18m,問(wèn)抽盡圍囹內(nèi)的水做多少功?

原題的解中,把質(zhì)量當(dāng)成重力,需完善之.下面的解與原題的解僅此區(qū)別.

解 作 x軸如圖4(原點(diǎn)選在圍囹上沿處,向下的方向?yàn)檎较?,取水深度 x為積分變量,它的

楊杰、叢金明主編書(shū)上第153頁(yè)的習(xí)題5-4的第7題的答案為變化區(qū)間為[2,20].

圖4

相應(yīng)于[2,20]上任一小區(qū)間[x,x+d x]的一薄層水的高度為 d x,這薄層水的體積為π·102d x,質(zhì)量為103π·102d x=105πdx,重力為105πg(shù)dx。把這薄層水抽出圍囹外時(shí),需要提升的距離近似為x,因此需做之功近似地為 dW=105πg(shù)x d x,此即功元素.

[1]胡農(nóng).高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]楊杰,叢金明.高等數(shù)學(xué)[M].山東:山東電子音像出版社,2002.

[3]唐國(guó)興.高等數(shù)學(xué)(二)第二分冊(cè)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2000.

[4]閻章杭,劉青桂,張衛(wèi)華.高等數(shù)學(xué)與工程數(shù)學(xué)[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2005.

[5]張順燕著.數(shù)學(xué)的源與流[M].北京:高等教育出版社,2001.

[6]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京:高等教育出版社,2008.

[7]張順燕著.數(shù)學(xué)的美與理[M].北京:北京大學(xué)出版社,2004.

[8]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)上冊(cè)(第4版)[M].北京:高等教育出版社,1997.

[9]張順燕著.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用[M].北京:北京大學(xué)出版社,2003.

A bs tra c t:This article illustrates the author’s research on several controversial p roblems regarding shell’s movement direction and pumping w ork that appear in advanced mathematics course books and clarifies the concep ts such as the geometric meaning of derivative,quality,gravity and p roportion,and also reveals the idea and method of pump ing work.

Key word s:direction;pumping w ork;deposition of zero;infinitesimalmethod

Disc rim ination of Shells’Movem ent D irection&Pump ing Work

TAO Yin-xiu
(Tianjin Bohai Vocational Technical College,Tianjin 300201 China)

O 369

A

1673-582X(2011)02-0116-05

2010-10-15

陶印修(1963-),男,天津市人,天津渤海職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授,碩士,主要研究概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。